la serie de grandi

La suma infinita de términos alternos 1 y -1

En matemáticas , la serie infinita 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ , también escrita

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

A veces se la llama serie de Grandi , en honor al matemático, filósofo y sacerdote italiano Guido Grandi , quien dio un tratamiento memorable de la serie en 1703. Es una serie divergente , lo que significa que no tiene suma.

Sin embargo, puede manipularse para producir una serie de resultados matemáticamente interesantes. Por ejemplo, en matemáticas se utilizan muchos métodos de suma para asignar valores numéricos incluso a una serie divergente. Por ejemplo, la sumatoria de Cesàro y la sumatoria de Ramanujan de esta serie es 1/2.

Métodos no rigurosos

Un método obvio para encontrar la suma de la serie.

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

es tratarlo como una serie telescópica y realizar las restas en su lugar:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

Por otra parte, un procedimiento similar de paréntesis conduce al resultado aparentemente contradictorio

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.

Por lo tanto, al aplicar paréntesis a la serie de Grandi de diferentes maneras, se puede obtener 0 o 1 como "valor". (A veces se utilizan variaciones de esta idea, llamada estafa de Eilenberg-Mazur , en teoría de nudos y álgebra ). Al tomar el promedio de estos dos "valores", se puede justificar que la serie converge a ⁠1/2⁠ .

Tratando la serie de Grandi como una serie geométrica divergente y utilizando los mismos métodos algebraicos que evalúan series geométricas convergentes para obtener un tercer valor:

S = 1 − 1 + 1 − 1 + ..., entonces

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + ...) = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = S

1- S = S

1 = 2S ,

resultando en S = ⁠1/2⁠ . La misma conclusión se obtiene al calcular − S (de − S = (1 − S ) − 1) , restar el resultado de  S y resolver 2 S = 1 . ^[1]

Las manipulaciones anteriores no consideran lo que realmente significa la suma de una serie y cómo dichos métodos algebraicos pueden aplicarse a series geométricas divergentes . Aún así, en la medida en que es importante poder poner entre corchetes series a voluntad, y que es más importante poder realizar aritmética con ellas, se puede llegar a dos conclusiones:

• La serie 1 − 1 + 1 − 1 + ... no tiene suma. ^{[1] [2]}
• ... pero su suma debería ser ⁠1/2⁠ . ^[2]

De hecho, ambas afirmaciones pueden hacerse precisas y probadas formalmente, pero sólo utilizando conceptos matemáticos bien definidos que surgieron en el siglo XIX. Después de la introducción del cálculo en Europa a finales del siglo XVII , pero antes del advenimiento del rigor moderno , la tensión entre estas respuestas alimentó lo que se ha caracterizado como una disputa "interminable" y "violenta" entre matemáticos . ^[3]

Relación con la serie geométrica.

Para cualquier número en el intervalo ⁠ ⁠ , la suma hasta el infinito de una serie geométrica se puede evaluar mediante ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}r^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}.}$

Para cualquiera , se encuentra así ${\displaystyle \varepsilon \in (0,2)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{1-(-1+\varepsilon )}}={\frac {1}{2-\varepsilon }},}$

y entonces el límite de evaluaciones en serie es ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{2}}.}$

Sin embargo, como se mencionó, la serie obtenida al cambiar los límites,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

es divergente.

En términos de análisis complejo , ⁠1/2⁠ se ve así como el valor en z = −1 de la continuación analítica de la serie ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{N}z^{n}}$ , que sólo se define en el disco unitario complejo, | z | < 1 .

Primeras ideas

Divergencia

En matemáticas modernas, la suma de una serie infinita se define como el límite de la secuencia de sus sumas parciales , si existe. La secuencia de sumas parciales de la serie de Grandi es 1, 0, 1, 0,..., que claramente no se acerca a ningún número (aunque sí tiene dos puntos de acumulación en 0 y 1). Por tanto, la serie de Grandi es divergente .

Se puede demostrar que no es válido realizar muchas operaciones aparentemente inocuas en una serie, como reordenar términos individuales, a menos que la serie sea absolutamente convergente . De lo contrario estas operaciones pueden alterar el resultado de la suma. ^[4] Además, los términos de la serie de Grandi se pueden reorganizar para que tengan sus puntos de acumulación en cualquier intervalo de dos o más números enteros consecutivos, no solo 0 o 1. Por ejemplo, la serie

${\displaystyle 1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-\cdots }$

(en el que, después de cinco términos +1 iniciales, los términos se alternan en pares de términos +1 y −1; la infinidad de +1 y −1 permite anteponer cualquier número finito de 1 o −1, según la paradoja de Hilbert de el Grand Hotel ) es una permutación de la serie de Grandi en la que cada valor de la serie reordenada corresponde a un valor que está como máximo a cuatro posiciones de él en la serie original; sus puntos de acumulación son 3, 4 y 5.

Educación

Impacto cognitivo

Hacia 1987, Anna Sierpińska presentó la serie de Grandi a un grupo de estudiantes de precálculo de 17 años en un liceo de Varsovia . Se centró en los estudiantes de humanidades con la expectativa de que su experiencia matemática fuera menos significativa que la de sus pares que estudian matemáticas y física, por lo que los obstáculos epistemológicos que exhiben serían más representativos de los obstáculos que aún pueden estar presentes en los estudiantes de liceo.

Inicialmente, Sierpińska esperaba que los estudiantes se resistieran a asignar un valor a la serie de Grandi, momento en el que pudo sorprenderlos afirmando que 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠1/2⁠ como resultado de la fórmula de la serie geométrica. Idealmente, al buscar el error en el razonamiento e investigar la fórmula de varias razones comunes, los estudiantes "notarían que hay dos tipos de series y nacería una concepción implícita de convergencia". ^[5] Sin embargo, los estudiantes no mostraron sorpresa cuando les dijeron que 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠1/2⁠ o incluso que 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ = −1 . Sierpińska señala que , a priori , la reacción de los estudiantes no debería sorprender demasiado, dado lo que pensaron Leibniz y Grandi ⁠1/2⁠ ser un resultado plausible;

"A posteriori, sin embargo, la explicación de esta falta de sorpresa por parte de los estudiantes puede ser algo diferente. Aceptaron con calma el absurdo porque, después de todo, 'las matemáticas son completamente abstractas y están lejos de la realidad', y 'con esas matemáticas "En las transformaciones se pueden demostrar todo tipo de tonterías", como dijo más tarde uno de los chicos." ^[5]

En última instancia, los estudiantes no fueron inmunes a la cuestión de la convergencia; Sierpińska logró involucrarlos en el asunto relacionándolo con expansiones decimales al día siguiente. Tan pronto como 0,999... = 1 tomó por sorpresa a los estudiantes, el resto de su material "se les pasó por alto". ^[5]

Preconceptos

En otro estudio realizado en Treviso , Italia , alrededor del año 2000, a alumnos de tercer y cuarto año del Liceo Scientifico (entre 16 y 18 años) se les entregaron tarjetas en las que se preguntaba lo siguiente:

"En 1703, el matemático Guido Grandi estudió la suma: 1 − 1 + 1 − 1 +... (las sumas, infinitas, son siempre +1 y –1). ¿Cuál es su opinión al respecto?"

A los estudiantes se les había presentado la idea de un conjunto infinito, pero no tenían experiencia previa con series infinitas. Les dieron diez minutos sin libros ni calculadoras. Las 88 respuestas se clasificaron de la siguiente manera:

(26) el resultado es 0

(18) el resultado puede ser 0 o 1

(5) el resultado no existe

(4) el resultado es ⁠1/2⁠

(3) el resultado es 1

(2) el resultado es infinito

(30) sin respuesta

El investigador Giorgio Bagni entrevistó a varios de los estudiantes para determinar su razonamiento. Unos 16 de ellos justificaron una respuesta 0 utilizando una lógica similar a la de Grandi y Riccati. Otros justificados ⁠1/2⁠ como el promedio de 0 y 1. Bagni señala que su razonamiento, si bien es similar al de Leibniz, carece de la base probabilística que fue tan importante para las matemáticas del siglo XVIII. Concluye que las respuestas son consistentes con un vínculo entre desarrollo histórico y desarrollo individual, aunque el contexto cultural sea diferente. ^[6]

Perspectivas

Joel Lehmann describe el proceso de distinguir entre diferentes conceptos de suma como construir un puente sobre una grieta conceptual: la confusión sobre la divergencia que persiguió a las matemáticas del siglo XVIII.

"Dado que las series generalmente se presentan sin historia y separadas de las aplicaciones, el estudiante debe preguntarse no sólo "¿Qué son estas cosas?" sino también "¿Por qué hacemos esto?" La preocupación por determinar la convergencia, pero no la suma, hace que todo el proceso parezca artificial y sin sentido para muchos estudiantes... y también para profesores". ^[7]

Como resultado, muchos estudiantes desarrollan una actitud similar a la de Euler:

"... los problemas que surgen naturalmente (es decir, de la naturaleza) tienen soluciones, por lo que la suposición de que las cosas eventualmente funcionarán se justifica experimentalmente sin la necesidad de pruebas de existencia. Supongamos que todo está bien, y si se llega a ello, Si la solución funciona, probablemente tenías razón, o al menos la suficiente... entonces, ¿por qué molestarte con los detalles que sólo aparecen en los problemas de tarea? ^[8]

Lehmann recomienda enfrentar esta objeción con el mismo ejemplo que presentó Jean-Charles Callet contra el tratamiento que Euler dio a la serie de Grandi. Euler había visto la suma como la evaluación en x = 1 de la serie geométrica ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots =1/(1+x)}$ , dando la suma ⁠1/2⁠ . Sin embargo, Callet señaló que, en cambio, se podría ver la serie de Grandi como la evaluación en x = 1 de una serie diferente, ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1-x^{2}+x^{3}-x^{5}+x^{6}-\cdots ={\tfrac {1+x}{1+x+x^{2}}}}$ , dando la suma ⁠2/3⁠ . Lehman sostiene que ver un resultado tan conflictivo en evaluaciones intuitivas puede motivar la necesidad de definiciones rigurosas y atención al detalle. ^[8]

Sumabilidad

Problemas relacionados

La serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ... ( hasta el infinito) también es divergente, pero se pueden usar algunos métodos para sumarla a ⁠1/4⁠ . Este es el cuadrado del valor que la mayoría de los métodos de suma asignan a la serie de Grandi, lo cual es razonable ya que puede verse como el producto de Cauchy de dos copias de la serie de Grandi.

Ver también

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• resumen de ramanujan
• Suma Cesàro
• lampara de thomson

Notas

1. Devlin 1994, pág. 77
2. Davis 1989, pág. 152
3. Kline 1983, pag. 307; Knopp 1990, pág. 457
4. Protter y Morrey 1991
5. Sierpińska 1987, págs. 371–378
6. Bagni 2005, págs. 6–8
7. Lehmann 1995, pag. 165
8. Lehmann 1995, pág. 176

Referencias

• Bagni, Giorgio T. (junio de 2005). «Series infinitas desde la Historia hasta la Educación Matemática» (PDF) . Revista Internacional para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas . Archivado desde el original (PDF) el 29 de diciembre de 2006.
• Davis, Harry F. (mayo de 1989). Series de Fourier y funciones ortogonales . Dover. ISBN 978-0-486-65973-2.
• Devlin, Keith (1994). Matemáticas, la ciencia de los patrones: la búsqueda del orden en la vida, la mente y el universo . Biblioteca científica americana. ISBN 978-0-7167-6022-1.
• Kline, Morris (noviembre de 1983). "Serie Euler y Infinita". Revista Matemáticas . 56 (5): 307–314. CiteSeerX  10.1.1.639.6923 . doi :10.2307/2690371. JSTOR  2690371.
• Knopp, Konrad (1990) [1922]. Teoría y Aplicación de Series Infinitas . Dover. ISBN 978-0-486-66165-0.
• Hobson, EW (1907). La teoría de funciones de una variable real y la teoría de las series de Fourier. Prensa de la Universidad de Cambridge . artículo 331. ISBN 978-1-4181-8651-7.
• Lehmann, Joel (1995). "Conceptos convergentes de series: aprender de la historia". En Swetz, Frank; Fauvel, Juan; Bekken, Otto; Johansson, Bengt; Katz, Víctor (eds.). ¡Aprende de los Maestros! (PDF) . Asociación Matemática de América. págs. 161–180.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1991). Un primer curso de análisis real. Textos de Pregrado en Matemáticas . Saltador. pag. 249.ISBN​ 978-0-387-97437-8.
• Sierpińska, Anna (noviembre de 1987). "Los estudiantes de humanidades y los obstáculos epistemológicos relacionados con los límites". Estudios Educativos en Matemáticas . 18 (4): 371–396. doi :10.1007/BF00240986. JSTOR  3482354. S2CID  144880659.
• Whittaker, et al ; Watson, GN (1962). Un curso de análisis moderno (cuarta edición, reimpresa). Prensa de la Universidad de Cambridge . § 2.1.

enlaces externos

• Uno menos uno más uno menos uno – Numberphile, la serie de Grandi