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suma de euler

En las matemáticas de series convergentes y divergentes , la suma de Euler es un método de suma. Es decir, es un método para asignar un valor a una serie, diferente al método convencional de tomar límites de sumas parciales. Dada una serie Σ an , si su transformada de Euler converge a una suma, entonces esa suma se llama suma de Euler de la serie original. Además de usarse para definir valores para series divergentes, la suma de Euler se puede usar para acelerar la convergencia de series.

La suma de Euler se puede generalizar en una familia de métodos denominados (E, q ), donde q ≥ 0. La suma (E, 1) es la suma de Euler ordinaria. Todos estos métodos son estrictamente más débiles que la suma de Borel ; para q > 0 son incomparables con la suma de Abel .

Definición

Para algún valor y podemos definir la suma de Euler (si converge para ese valor de y ) correspondiente a una suma formal particular como:

Si todas las sumas formales realmente convergen, la suma de Euler será igual al lado izquierdo. Sin embargo, el uso de la suma de Euler puede acelerar la convergencia (esto es especialmente útil para series alternas); a veces también puede dar un significado útil a sumas divergentes.

Para justificar el enfoque, observe que para la suma intercambiada, la suma de Euler se reduce a la serie inicial, porque

Este método en sí no puede mejorarse mediante una aplicación iterativa, ya que

Ejemplos

Con una elección adecuada de y (es decir, igual o cercana a − 1/z ) ​​esta serie converge a 1/1- z .

Ver también

Referencias