Principio de incertidumbre

Foundational principle in quantum physics

Regla de conmutación canónica para las variables posición q y momento p de una partícula, 1927. pq − qp = h /(2 πi ). Principio de incertidumbre de Heisenberg, 1927.

El principio de incertidumbre , también conocido como principio de indeterminación de Heisenberg , es un concepto fundamental de la mecánica cuántica . Afirma que existe un límite a la precisión con la que se pueden conocer simultáneamente ciertos pares de propiedades físicas, como la posición y el momento . En otras palabras, cuanto más exactamente se mide una propiedad, con menos precisión se puede conocer la otra.

Más formalmente, el principio de incertidumbre es cualquiera de una variedad de desigualdades matemáticas que afirman un límite fundamental al producto de la precisión de ciertos pares de mediciones relacionadas en un sistema cuántico, como la posición , x , y el momento, p . ^[1] Estas variables pareadas se conocen como variables complementarias o variables conjugadas canónicamente .

Introducida por primera vez en 1927 por el físico alemán Werner Heisenberg , ^{[2] [3] [4] [5]} la desigualdad formal que relaciona la desviación estándar de la posición σ _x y la desviación estándar del momento σ _p fue derivada por Earle Hesse Kennard ^[6] más tarde ese año y por Hermann Weyl ^[7] en 1928:

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

¿Dónde está la constante de Planck reducida ? ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

El principio de incertidumbre, por excelencia de la mecánica cuántica, se presenta en muchas formas distintas a la posición-momento. La relación energía-tiempo se utiliza ampliamente para relacionar la duración de un estado cuántico con los anchos de energía medidos, pero su derivación formal está plagada de cuestiones confusas sobre la naturaleza del tiempo. El principio básico se ha extendido en numerosas direcciones; debe tenerse en cuenta en muchos tipos de mediciones físicas fundamentales.

Posición-momento

La superposición de varias ondas planas para formar un paquete de ondas. Este paquete de ondas se vuelve cada vez más localizado con la adición de muchas ondas. La transformada de Fourier es una operación matemática que separa un paquete de ondas en sus ondas planas individuales. Las ondas que se muestran aquí son reales solo con fines ilustrativos; en mecánica cuántica, la función de onda es generalmente compleja .

Es vital ilustrar cómo se aplica el principio a situaciones físicas relativamente inteligibles, ya que es indiscernible en las escalas macroscópicas ^{[8] que experimentan los humanos. Dos marcos alternativos para la física cuántica ofrecen explicaciones diferentes para el principio de incertidumbre. La imagen de} la mecánica ondulatoria del principio de incertidumbre es más intuitiva visualmente, pero la imagen más abstracta de la mecánica matricial lo formula de una manera que se generaliza más fácilmente.

Matemáticamente, en mecánica ondulatoria, la relación de incertidumbre entre posición y momento surge porque las expresiones de la función de onda en las dos bases ortonormales correspondientes en el espacio de Hilbert son transformadas de Fourier entre sí (es decir, la posición y el momento son variables conjugadas ). Una función distinta de cero y su transformada de Fourier no pueden estar localizadas nítidamente al mismo tiempo. ^[9] Una compensación similar entre las varianzas de los conjugados de Fourier surge en todos los sistemas subyacentes al análisis de Fourier, por ejemplo en las ondas sonoras: un tono puro es un pico agudo en una sola frecuencia, mientras que su transformada de Fourier da la forma de la onda sonora en el dominio del tiempo, que es una onda sinusoidal completamente deslocalizada. En mecánica cuántica, los dos puntos clave son que la posición de la partícula toma la forma de una onda de materia, y el momento es su conjugado de Fourier, asegurado por la relación de De Broglie p = ħk , donde k es el número de onda .

En mecánica matricial , la formulación matemática de la mecánica cuántica , cualquier par de operadores autoadjuntos no conmutativos que representan observables están sujetos a límites de incertidumbre similares. Un estado propio de un observable representa el estado de la función de onda para un cierto valor de medición (el valor propio). Por ejemplo, si se realiza una medición de un observable A , entonces el sistema está en un estado propio particular Ψ de ese observable. Sin embargo, el estado propio particular del observable A no necesita ser un estado propio de otro observable B : si es así, entonces no tiene una medición asociada única para él, ya que el sistema no está en un estado propio de ese observable. ^[10]

Visualización

El principio de incertidumbre se puede visualizar utilizando las funciones de onda del espacio de posición y momento para una partícula sin espín con masa en una dimensión.

Cuanto más localizada sea la función de onda del espacio de posición, más probable es que la partícula se encuentre con las coordenadas de posición en esa región y, correspondientemente, la función de onda del espacio de momento está menos localizada, por lo que los posibles componentes de momento que podría tener la partícula están más extendidos. Por el contrario, cuanto más localizada sea la función de onda del espacio de momento, más probable es que la partícula se encuentre con esos valores de componentes de momento en esa región y, correspondientemente, cuanto menos localizada sea la función de onda del espacio de posición, por lo que las coordenadas de posición que podría ocupar la partícula están más extendidas. Estas funciones de onda son transformadas de Fourier entre sí: matemáticamente, el principio de incertidumbre expresa la relación entre las variables conjugadas en la transformada.

Funciones de onda de posición x y momento p correspondientes a partículas cuánticas. La opacidad del color de las partículas corresponde a la densidad de probabilidad de encontrar la partícula con posición x o componente de momento p .
Arriba: Si se desconoce la longitud de onda λ , también se desconocen el momento p , el vector de onda k y la energía E (relaciones de De Broglie). Como la partícula está más localizada en el espacio de posición, Δ x es menor que para Δ p _x .
Abajo: Si se conoce λ , también se conocen p , k y E . Como la partícula está más localizada en el espacio de momento, Δ p es menor que para Δ x .

Interpretación de la mecánica ondulatoria

Propagación de las ondas de De Broglie en 1d: la parte real de la amplitud compleja es azul, la parte imaginaria es verde. La probabilidad (mostrada como la opacidad del color ) de encontrar la partícula en un punto dado x se extiende como una forma de onda, no hay una posición definida de la partícula. A medida que la amplitud aumenta por encima de cero, la curvatura invierte el signo, por lo que la amplitud comienza a disminuir nuevamente, y viceversa: el resultado es una amplitud alterna: una onda.

Según la hipótesis de De Broglie , cada objeto del universo está asociado a una onda . Por lo tanto, todos los objetos, desde una partícula elemental hasta los átomos, las moléculas, los planetas y más allá, están sujetos al principio de incertidumbre.

La función de onda independiente del tiempo de una onda plana monomodo de número de onda k ₀ o momento p ₀ es $${\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}$$

La regla de Born establece que esto debe interpretarse como una función de amplitud de densidad de probabilidad en el sentido de que la probabilidad de encontrar la partícula entre a y b es $${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}$$

En el caso de la onda plana monomodo, es 1 si es así y 0 en caso contrario. En otras palabras, la posición de la partícula es extremadamente incierta en el sentido de que podría estar prácticamente en cualquier parte a lo largo del paquete de ondas. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$ ${\displaystyle X=x}$

Por otra parte, considere una función de onda que es una suma de muchas ondas , que podemos escribir como donde A _n representa la contribución relativa del modo p _n al total general. Las figuras a la derecha muestran cómo con la adición de muchas ondas planas, el paquete de ondas puede volverse más localizado. Podemos llevar esto un paso más allá hasta el límite continuo , donde la función de onda es una integral sobre todos los modos posibles con que representa la amplitud de estos modos y se llama función de onda en el espacio de momento . En términos matemáticos, decimos que es la transformada de Fourier de y que x y p son variables conjugadas . Sumar todas estas ondas planas tiene un costo, es decir, el momento se ha vuelto menos preciso, habiéndose convertido en una mezcla de ondas de muchos momentos diferentes. ^[11] $${\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}$$ $${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}$$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

Una forma de cuantificar la precisión de la posición y el momento es la desviación estándar  σ . Como es una función de densidad de probabilidad para la posición, calculamos su desviación estándar. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

La precisión de la posición se mejora, es decir, se reduce σ _x , al utilizar muchas ondas planas, lo que debilita la precisión del momento, es decir, aumenta σ _p . Otra forma de expresarlo es que σ _x y σ _p tienen una relación inversa o al menos están acotadas desde abajo. Este es el principio de incertidumbre, cuyo límite exacto es el límite de Kennard.

Demostración de la desigualdad de Kennard mediante la mecánica ondulatoria

Nos interesan las variaciones de posición y momento, definidas como $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.}$$

Sin pérdida de generalidad , supondremos que las medias se desvanecen, lo que simplemente equivale a un desplazamiento del origen de nuestras coordenadas. (A continuación se ofrece una prueba más general que no hace esta suposición). Esto nos da la forma más simple $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.}$$

La función puede interpretarse como un vector en un espacio funcional . Podemos definir un producto interno para un par de funciones u ( x ) y v ( x ) en este espacio vectorial: donde el asterisco denota el conjugado complejo . ${\displaystyle f(x)=x\cdot \psi (x)}$ $${\displaystyle \langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,}$$

Con este producto interno definido, observamos que la varianza para la posición se puede escribir como $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.}$$

Podemos repetir esto para el momento interpretando la función como un vector, pero también podemos aprovechar el hecho de que y son transformadas de Fourier entre sí. Evaluamos la transformada de Fourier inversa a través de la integración por partes : donde en la integración por partes, el término cancelado se desvanece porque la función de onda se desvanece en el infinito, y las dos integraciones finales reafirman las transformadas de Fourier. A menudo, el término se denomina operador de momento en el espacio de posición. Aplicando el teorema de Parseval , vemos que la varianza para el momento se puede escribir como ${\displaystyle {\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {-i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \,e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=-i{\sqrt {\frac {\hbar }{2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle v={\frac {\hbar }{-ip}}e^{-ip\chi /\hbar }}$ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma que $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.}$$

El módulo al cuadrado de cualquier número complejo z se puede expresar como dejamos y y los sustituimos en la ecuación anterior para obtener $${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.}$$ ${\displaystyle z=\langle f|g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$ $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.}$$

Ahora sólo queda evaluar estos productos internos.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle ={}&\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx\\&{}-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\={}&i\hbar \end{aligned}}}$$

Conectando esto a las desigualdades anteriores, obtenemos o tomando la raíz cuadrada $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

con igualdad si y solo si p y x son linealmente dependientes. Nótese que la única física involucrada en esta prueba fue que y son funciones de onda para la posición y el momento, que son transformadas de Fourier entre sí. Un resultado similar se cumpliría para cualquier par de variables conjugadas. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$

Interpretación de la mecánica matricial

(Ref ^[11] )

En mecánica matricial, los observables como la posición y el momento se representan mediante operadores autoadjuntos. Al considerar pares de observables, una cantidad importante es el conmutador . Para un par de operadores  y , se define su conmutador como En el caso de la posición y el momento, el conmutador es la relación de conmutación canónica ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}$$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

El significado físico de la no conmutatividad se puede entender considerando el efecto del conmutador sobre los estados propios de posición y momento . Sea un estado propio derecho de posición con un valor propio constante x ₀ . Por definición, esto significa que Al aplicar el conmutador a se obtiene donde Î es el operador identidad . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}$$

Supongamos, a los efectos de la prueba por contradicción , que también es un estado propio correcto del momento, con valor propio constante p ₀ . Si esto fuera cierto, entonces se podría escribir Por otro lado, la relación de conmutación canónica anterior requiere que Esto implica que ningún estado cuántico puede ser simultáneamente un estado propio de posición y de momento. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}$$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}$$

Cuando se mide un estado, se proyecta sobre un estado propio en base al observable relevante. Por ejemplo, si se mide la posición de una partícula, entonces el estado equivale a un estado propio de posición. Esto significa que el estado no es un estado propio de momento, sino que puede representarse como una suma de múltiples estados propios de base de momento. En otras palabras, el momento debe ser menos preciso. Esta precisión puede cuantificarse mediante las desviaciones estándar, $${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}$$

Al igual que en la interpretación de la mecánica ondulatoria anterior, se observa una compensación entre las respectivas precisiones de ambos, cuantificada por el principio de incertidumbre.

Ejemplos

(Refs ^[11] )

Estados estacionarios del oscilador armónico cuántico

Consideremos un oscilador armónico cuántico unidimensional. Es posible expresar los operadores de posición y momento en términos de los operadores de creación y aniquilación : $${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$$ $${\displaystyle {\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).}$$

Utilizando las reglas estándar para los operadores de creación y aniquilación en los estados propios de energía, las varianzas se pueden calcular directamente. El producto de estas desviaciones estándar es entonces $${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$$ $${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}$$

En particular, el límite de Kennard anterior ^[6] está saturado para el estado fundamental n = 0 , para el cual la densidad de probabilidad es simplemente la distribución normal .

Osciladores armónicos cuánticos con condición inicial gaussiana

Densidades de probabilidad de posición (azul) y momento (rojo) para una distribución gaussiana inicial. De arriba a abajo, las animaciones muestran los casos Ω = ω , Ω = 2 ω y Ω = ω /2 . Nótese la compensación entre los anchos de las distribuciones.

En un oscilador armónico cuántico de frecuencia angular característica ω , coloque un estado que esté desplazado del fondo del potencial por algún desplazamiento x ₀ como donde Ω describe el ancho del estado inicial pero no necesita ser el mismo que ω . A través de la integración sobre el propagador , podemos resolver la solución dependiente del tiempo completa. Después de muchas cancelaciones, las densidades de probabilidad se reducen a donde hemos usado la notación para denotar una distribución normal de media μ y varianza σ ² . Copiando las varianzas anteriores y aplicando identidades trigonométricas , podemos escribir el producto de las desviaciones estándar como $${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},}$$ $${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)}$$ $${\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}$$

De las relaciones podemos concluir lo siguiente (la igualdad más a la derecha se cumple sólo cuando Ω = ω ): $${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

Estados coherentes

Un estado coherente es un estado propio correcto del operador de aniquilación , que puede representarse en términos de estados de Fock como $${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,}$$ $${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$$

En la imagen donde el estado coherente es una partícula masiva en un oscilador armónico cuántico, los operadores de posición y momento pueden expresarse en términos de los operadores de aniquilación en las mismas fórmulas anteriores y usarse para calcular las varianzas. Por lo tanto, cada estado coherente satura el límite de Kennard con la posición y el momento, cada uno de los cuales contribuye con una cantidad de manera "equilibrada". Además, cada estado coherente comprimido también satura el límite de Kennard, aunque las contribuciones individuales de la posición y el momento no necesitan estar equilibradas en general. $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$ ${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$

Partícula en una caja

Consideremos una partícula en una caja unidimensional de longitud . Las funciones propias en el espacio de posición y momento son y donde y hemos utilizado la relación de De Broglie . Las varianzas de y se pueden calcular explícitamente: ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}$$ ${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}$$

El producto de las desviaciones típicas es, por tanto, Para todo , la cantidad es mayor que 1, por lo que nunca se viola el principio de incertidumbre. Para la concreción numérica, el valor más pequeño se da cuando , en cuyo caso $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}$$ ${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$ ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}$$

Impulso constante

Densidad de probabilidad en el espacio de posición de un estado inicialmente gaussiano que se mueve con un momento constante y mínimamente incierto en el espacio libre

Supongamos que una partícula tiene inicialmente una función de onda espacial de momento descrita por una distribución normal alrededor de un momento constante p ₀ según donde hemos introducido una escala de referencia , con que describe el ancho de la distribución (cf. no dimensionalización) . Si se permite que el estado evolucione en el espacio libre, entonces las funciones de onda espaciales de momento y posición dependientes del tiempo son $${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),}$$ ${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle \omega _{0}>0}$ $${\displaystyle \Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),}$$ $${\displaystyle \Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).}$$

Dado que y , esto puede interpretarse como una partícula que se mueve con un momento constante con una precisión arbitrariamente alta. Por otra parte, la desviación estándar de la posición es tal que el producto de incertidumbre solo puede aumentar con el tiempo como ${\displaystyle \langle p(t)\rangle =p_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}$ $${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

Principio de incertidumbre energía-tiempo

Ancho de línea del espectro de energía vs. vida útil

Una relación de incertidumbre de energía-tiempo como tiene una historia larga y controvertida; el significado de y varía y diferentes formulaciones tienen diferentes áreas de validez. ^[12] Sin embargo, una aplicación bien conocida está bien establecida ^{[13] [14]} y verificada experimentalmente: ^{[15] [16]} la conexión entre la vida útil de un estado de resonancia y su ancho de energía : En física de partículas, los anchos de los ajustes experimentales a la distribución de energía de Breit-Wigner se utilizan para caracterizar la vida útil de estados cuasi-estables o en descomposición. ^[17] $${\displaystyle \Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2,}$$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}}$ ${\displaystyle \Delta E}$ $${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}\Delta E=\pi \hbar /4.}$$

Un significado informal y heurístico del principio es el siguiente: ^[18] Un estado que solo existe por un corto tiempo no puede tener una energía definida. Para tener una energía definida, la frecuencia del estado debe definirse con precisión, y esto requiere que el estado se mantenga durante muchos ciclos, el recíproco de la precisión requerida. Por ejemplo, en espectroscopia , los estados excitados tienen una vida útil finita. Por el principio de incertidumbre tiempo-energía, no tienen una energía definida y, cada vez que se desintegran, la energía que liberan es ligeramente diferente. La energía promedio del fotón saliente tiene un pico en la energía teórica del estado, pero la distribución tiene un ancho finito llamado ancho de línea natural . Los estados de desintegración rápida tienen un ancho de línea amplio, mientras que los estados de desintegración lenta tienen un ancho de línea estrecho. ^[19] El mismo efecto del ancho de línea también dificulta especificar la masa en reposo de partículas inestables de desintegración rápida en física de partículas . Cuanto más rápido se desintegra la partícula (cuanto más corta es su vida), menos segura es su masa (cuanto mayor es el ancho de la partícula ).

El tiempo en la mecánica cuántica

El concepto de "tiempo" en mecánica cuántica presenta muchos desafíos. ^[20] No existe una teoría cuántica de medición del tiempo; la relatividad es fundamental para el tiempo y difícil de incluir en la mecánica cuántica. ^[12] Mientras que la posición y el momento están asociados con una sola partícula, el tiempo es una propiedad del sistema: no tiene ningún operador necesario para la relación de Robertson-Schrödinger. ^[1] El tratamiento matemático de los sistemas cuánticos estables e inestables difiere. ^[21] Estos factores se combinan para hacer que los principios de incertidumbre energía-tiempo sean controvertidos.

Se pueden distinguir tres nociones de "tiempo": ^[12] externo, intrínseco y observable. El tiempo externo o de laboratorio es el que ve el experimentador; el tiempo intrínseco se infiere a partir de cambios en variables dinámicas, como las manecillas de un reloj o el movimiento de una partícula libre; el tiempo observable se refiere al tiempo como algo observable, la medición de eventos separados en el tiempo.

Un principio de incertidumbre de energía-tiempo externo podría decir que medir la energía de un sistema cuántico con una precisión requiere un intervalo de tiempo . ^[14] Sin embargo, Yakir Aharonov y David Bohm ^{[22] [12]} han demostrado que, en algunos sistemas cuánticos, la energía se puede medir con precisión dentro de un tiempo arbitrariamente corto: los principios de incertidumbre de tiempo externo no son universales. ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \Delta t>h/\Delta E}$

El tiempo intrínseco es la base de varias formulaciones de relaciones de incertidumbre energía-tiempo, incluida la relación de Mandelstam-Tamm que se analiza en la siguiente sección. Un sistema físico con un tiempo intrínseco que coincide estrechamente con el tiempo externo del laboratorio se denomina "reloj". ^{[20] : 31}

El tiempo observable, que mide el tiempo entre dos eventos, sigue siendo un desafío para las teorías cuánticas; se han logrado algunos avances utilizando conceptos de medida con valores de operador positivos . ^[12]

Mandelstam–Tamm

En 1945, Leonid Mandelstam e Igor Tamm derivaron una relación de incertidumbre de tiempo-energía no relativista como sigue. ^{[23] [12] A partir de la mecánica de Heisenberg, el} teorema de Ehrenfest generalizado para un observable B sin dependencia temporal explícita, representado por un operador autoadjunto, relaciona la dependencia temporal del valor promedio de con el promedio de su conmutador con el hamiltoniano: ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle .}$$

El valor de se sustituye entonces en la relación de incertidumbre de Robertson por el operador de energía y : dando (siempre que el denominador no sea cero). Si bien este es un resultado universal, depende del observable elegido y de que las desviaciones y se calculen para un estado particular. La identificación de y el tiempo característico da una relación energía-tiempo Aunque tiene la dimensión del tiempo, es diferente del parámetro de tiempo t que entra en la ecuación de Schrödinger . Esto se puede interpretar como el tiempo para el cual el valor esperado del observable, cambia en una cantidad igual a una desviación estándar. ^[24] Ejemplos: ${\displaystyle \langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}$$ $${\displaystyle \sigma _{H}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{H}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$ ${\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{E}}$ $${\displaystyle \tau _{B}\equiv {\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}}$$ ${\displaystyle \Delta E\tau _{B}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle ,}$

• El tiempo que una partícula cuántica libre pasa por un punto en el espacio es más incierto ya que la energía del estado está controlada con mayor precisión: dado que la dispersión del tiempo está relacionada con la dispersión de la posición de la partícula y la dispersión de la energía está relacionada con la dispersión del momento, esta relación está directamente relacionada con la incertidumbre de la posición-momento. ^{[25] : 144} ${\displaystyle \Delta T=\hbar /2\Delta E.}$
• Una partícula delta , un compuesto cuasistible de quarks relacionados con protones y neutrones, tiene una vida útil de 10 ⁻²³  s, por lo que su masa medida equivalente a energía , 1232 MeV/ c ² , varía en ±120 MeV/ c ² ; esta variación es intrínseca y no causada por errores de medición. ^{[25] : 144}
• Dos estados de energía con energías superpuestas para crear un estado compuesto ${\displaystyle \psi _{1,2}}$ ${\displaystyle E_{1,2},}$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=a\psi _{1}(x)e^{-iE_{1}t/h}+b\psi _{2}(x)e^{-iE_{2}t/h}.}$$

La amplitud de probabilidad de este estado tiene un término de interferencia dependiente del tiempo:

$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}=a^{2}|\psi _{1}(x)|^{2}+b^{2}|\psi _{2}(x)|^{2}+2ab\cos({\frac {E_{2}-E_{1}}{\hbar }}t).}$$

El período de oscilación varía inversamente con la diferencia de energía: . ^{[25] : 144} ${\displaystyle \tau =2\pi \hbar /(E_{2}-E_{1})}$

Cada ejemplo tiene un significado diferente para la incertidumbre temporal, según el observable y el estado utilizado.

Teoría cuántica de campos

Algunas formulaciones de la teoría cuántica de campos utilizan pares electrón-positrón temporales en sus cálculos, denominados partículas virtuales . La masa-energía y la duración de vida de estas partículas están relacionadas por la relación de incertidumbre energía-tiempo. La energía de un sistema cuántico no se conoce con la precisión suficiente para limitar su comportamiento a una historia única y simple. Por lo tanto, la influencia de todas las historias debe incorporarse a los cálculos cuánticos, incluidas aquellas con mucha mayor o mucha menor energía que la media de la distribución de energía medida/calculada.

El principio de incertidumbre energía-tiempo no viola temporalmente la conservación de la energía ; no implica que la energía pueda ser "tomada prestada" del universo siempre que sea "devuelta" dentro de un corto período de tiempo. ^{[25] : 145} La energía del universo no es un parámetro exactamente conocido en todo momento. ^[1] Cuando los eventos ocurren en intervalos de tiempo muy cortos, hay incertidumbre en la energía de estos eventos.

Incertidumbre cuántica intrínseca

Históricamente, el principio de incertidumbre se ha confundido ^{[26] [27]} con un efecto relacionado en física , llamado efecto del observador , que señala que las mediciones de ciertos sistemas no se pueden realizar sin afectar al sistema, ^{[28] [29]} es decir, sin cambiar algo en un sistema. Heisenberg utilizó dicho efecto del observador a nivel cuántico (ver más abajo) como una "explicación" física de la incertidumbre cuántica. ^[30] Sin embargo, desde entonces ha quedado más claro que el principio de incertidumbre es inherente a las propiedades de todos los sistemas ondulatorios , ^[31] y que surge en la mecánica cuántica simplemente debido a la naturaleza ondulatoria de la materia de todos los objetos cuánticos. ^[32] Por lo tanto, el principio de incertidumbre en realidad establece una propiedad fundamental de los sistemas cuánticos y no es una declaración sobre el éxito observacional de la tecnología actual. ^[33]

Formalismo matemático

Partiendo de la derivación de Kennard de la incertidumbre de posición-momento, Howard Percy Robertson desarrolló ^{[34] [1]} una formulación para operadores hermíticos arbitrarios expresados ​​en términos de su desviación estándar, donde los corchetes indican un valor esperado . Para un par de operadores y , defina su conmutador como ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ $${\displaystyle \sigma _{\mathcal {O}}={\sqrt {\langle {\hat {\mathcal {O}}}^{2}\rangle -\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle ^{2}}},}$$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {O}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}},}$$

y la relación de incertidumbre de Robertson está dada por $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}$$

Erwin Schrödinger ^[35] mostró cómo permitir la correlación entre los operadores, dando una desigualdad más fuerte, conocida como la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger , ^{[36] [1]}

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|^{2},}$

donde se utiliza el anticonmutador . ${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Prueba de la relación de incertidumbre de Schrödinger

La derivación que se muestra aquí incorpora y se basa en las que se muestran en Robertson, ^[34] Schrödinger ^[36] y libros de texto estándar como Griffiths. ^{[25] : 138} Para cualquier operador hermítico , basado en la definición de varianza , tenemos que y por lo tanto ${\displaystyle {\hat {A}}}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle .}$$ ${\displaystyle |f\rangle =|({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle }$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle f\mid f\rangle \,.}$$

De manera similar, para cualquier otro operador hermítico en el mismo estado para ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle ({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle =\langle g\mid g\rangle }$$ ${\displaystyle |g\rangle =|({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle .}$

El producto de las dos desviaciones puede entonces expresarse como

Para relacionar los dos vectores y , utilizamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz ^[37] que se define como y por lo tanto la ecuación ( 1 ) se puede escribir como ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$ $${\displaystyle \langle f\mid f\rangle \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2},}$$

Como es en general un número complejo, utilizamos el hecho de que el módulo al cuadrado de cualquier número complejo se define como , donde es el conjugado complejo de . El módulo al cuadrado también se puede expresar como ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{*}}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle z}$

Dejamos y y sustituimos estos en la ecuación anterior para obtener ${\displaystyle z=\langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$

El producto interno se escribe explícitamente como y utilizando el hecho de que y son operadores hermíticos, encontramos ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle =\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle ,}$$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle &=\langle \Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle -{\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid {\hat {A}}{\hat {B}}\Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle \Psi \rangle +\langle \Psi \mid \langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .\end{aligned}}}$$

De manera similar se puede demostrar que ${\displaystyle \langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$

Así pues, tenemos y $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }$$ $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle +\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -2\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$$

Ahora sustituimos las dos ecuaciones anteriores en la ecuación ( 4 ) y obtenemos $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}={\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}\,.}$$

Sustituyendo lo anterior en la ecuación ( 2 ) obtenemos la relación de incertidumbre de Schrödinger $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\sqrt {{\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}}}.}$$

Esta prueba tiene un problema ^[38] relacionado con los dominios de los operadores involucrados. Para que la prueba tenga sentido, el vector tiene que estar en el dominio del operador ilimitado , lo que no siempre es el caso. De hecho, la relación de incertidumbre de Robertson es falsa si es una variable angular y es la derivada con respecto a esta variable. En este ejemplo, el conmutador es una constante distinta de cero, al igual que en la relación de incertidumbre de Heisenberg, y sin embargo hay estados donde el producto de las incertidumbres es cero. ^[39] (Véase la sección de contraejemplos a continuación). Este problema se puede superar utilizando un método variacional para la prueba, ^{[40] [41]} o trabajando con una versión exponencial de las relaciones de conmutación canónicas. ^[39] ${\displaystyle {\hat {B}}|\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Obsérvese que en la forma general de la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger no es necesario suponer que los operadores y son operadores autoadjuntos . Basta con suponer que son simplemente operadores simétricos . (La distinción entre estas dos nociones generalmente se pasa por alto en la literatura de física, donde se utiliza el término hermítico para una o ambas clases de operadores. Véase el Capítulo 9 del libro de Hall ^[42] para una discusión detallada de esta distinción importante pero técnica). ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Estados mixtos

La relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger puede generalizarse de manera sencilla para describir estados mixtos . $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}.}$$

Las relaciones de incertidumbre de Maccone-Pati

La relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger puede ser trivial si se elige que el estado del sistema sea el estado propio de uno de los observables. Las relaciones de incertidumbre más fuertes probadas por Lorenzo Maccone y Arun K. Pati dan límites no triviales a la suma de las varianzas para dos observables incompatibles. ^[43] (Trabajos anteriores sobre relaciones de incertidumbre formuladas como la suma de varianzas incluyen, por ejemplo, Ref. ^[44] debido a Yichen Huang). Para dos observables no conmutativos y la primera relación de incertidumbre más fuerte viene dada por donde , , es un vector normalizado que es ortogonal al estado del sistema y se debe elegir el signo de para hacer de esta cantidad real un número positivo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid [A,B]|\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},}$$ ${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid [A,B]\mid \Psi \rangle }$

La segunda relación de incertidumbre más fuerte viene dada por donde es un estado ortogonal a . La forma de implica que el lado derecho de la nueva relación de incertidumbre es distinto de cero a menos que sea un estado propio de . Se puede observar que puede ser un estado propio de sin ser un estado propio de ninguno de los dos o . Sin embargo, cuando es un estado propio de uno de los dos observables, la relación de incertidumbre de Heisenberg-Schrödinger se vuelve trivial. Pero el límite inferior en la nueva relación es distinto de cero a menos que sea un estado propio de ambos. $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}}$$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Mejora de la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger basada en descomposiciones de la matriz de densidad

La incertidumbre de Robertson-Schrödinger se puede mejorar notando que debe cumplirse para todos los componentes en cualquier descomposición de la matriz de densidad dada como Aquí, para las probabilidades y se cumplen. Luego, usando la relación para , se deduce que ^[45] donde la función en el límite está definida La relación anterior muy a menudo tiene un límite mayor que el de la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger original. Por lo tanto, necesitamos calcular el límite de la incertidumbre de Robertson-Schrödinger para los componentes mixtos del estado cuántico en lugar de para el estado cuántico, y calcular un promedio de sus raíces cuadradas. La siguiente expresión es más fuerte que la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger donde en el lado derecho hay un techo cóncavo sobre las descomposiciones de la matriz de densidad. La relación mejorada anterior está saturada por todos los estados cuánticos de un solo cúbit. ^[45] ${\displaystyle \varrho _{k}}$ $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.}$$ ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$ $${\displaystyle \sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}}$$ ${\displaystyle a_{k},b_{k}\geq 0}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$ $${\displaystyle L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$

Con argumentos similares, se puede derivar una relación con un techo convexo en el lado derecho ^[45] donde denota la información cuántica de Fisher y la matriz de densidad se descompone en estados puros como La derivación aprovecha el hecho de que la información cuántica de Fisher es el techo convexo de la varianza multiplicada por cuatro. ^{[46] [47]} $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq 4\left[\min _{p_{k},\Psi _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert )\right]^{2}}$$ ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]}$ $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$$

Se sigue una desigualdad más simple sin techo convexo ^[48] que es más fuerte que la relación de incertidumbre de Heisenberg, ya que para la información cuántica de Fisher tenemos mientras que para los estados puros la igualdad se cumple. $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},}$$ $${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]\leq 4\sigma _{B},}$$

Espacio de fases

En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, la relación de Robertson-Schrödinger se deduce de una condición de positividad en una función estrella-cuadrada real. Dada una función de Wigner con producto estrella ★ y una función f , lo siguiente es generalmente cierto: ^[49] ${\displaystyle W(x,p)}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}$$

Eligiendo , llegamos a ${\displaystyle f=a+bx+cp}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.}$$

Como esta condición de positividad es verdadera para todos a , b y c , se deduce que todos los valores propios de la matriz son no negativos.

Los valores propios no negativos implican entonces una condición de no negatividad correspondiente en el determinante o , explícitamente, después de una manipulación algebraica, $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.}$$

Ejemplos

Dado que las relaciones de Robertson y Schrödinger se aplican a operadores generales, se pueden aplicar a dos observables cualesquiera para obtener relaciones de incertidumbre específicas. A continuación se presentan algunas de las relaciones más comunes que se encuentran en la literatura.

• Relación de incertidumbre entre posición y momento lineal : para los operadores de posición y momento lineal, la relación de conmutación canónica implica la desigualdad de Kennard de arriba: ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$
• Relación de incertidumbre del momento angular : Para dos componentes ortogonales del operador de momento angular total de un objeto: donde i , j , k son distintos, y J _i denota el momento angular a lo largo del eje x _i . Esta relación implica que a menos que los tres componentes se anulen juntos, solo un único componente del momento angular de un sistema puede definirse con precisión arbitraria, normalmente el componente paralelo a un campo externo (magnético o eléctrico). Además, para , una elección , , en multipletes de momento angular, ψ = | j , m ⟩, limita el invariante de Casimir (momento angular al cuadrado, ) desde abajo y, por lo tanto, produce restricciones útiles como j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) , y, por lo tanto, j ≥ m , entre otras. $${\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}$$ ${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}=J_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}$ ${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle }$

• Para el número de electrones en un superconductor y la fase de su parámetro de orden Ginzburg-Landau ^{[50] [51]} $${\displaystyle \Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.}$$

Limitaciones

La derivación de la desigualdad de Robertson para los operadores y requiere que se definan y . Hay sistemas cuánticos donde estas condiciones no son válidas. ^[52] Un ejemplo es una partícula cuántica en un anillo , donde la función de onda depende de una variable angular en el intervalo . Defina los operadores de "posición" y "momento" y por y con condiciones de contorno periódicas en . La definición de depende del rango de 0 a . Estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación habituales para los operadores de posición y momento, . Más precisamente, siempre que tanto y estén definidos, y el espacio de tales es un subespacio denso del espacio cuántico de Hilbert. ^[53] ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ],}$$ $${\displaystyle {\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }},}$$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Ahora sea cualquiera de los estados propios de , que están dados por . Estos estados son normalizables, a diferencia de los estados propios del operador de momento en la línea. Además, el operador está acotado, ya que varía en un intervalo acotado. Por lo tanto, en el estado , la incertidumbre de es cero y la incertidumbre de es finita, de modo que El principio de incertidumbre de Robertson no se aplica en este caso: no está en el dominio del operador , ya que la multiplicación por altera las condiciones de contorno periódicas impuestas a . ^[39] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle \psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}=0.}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Para los operadores de posición y momento habituales y en la línea real, no pueden darse tales contraejemplos. Mientras y estén definidos en el estado , se cumple el principio de incertidumbre de Heisenberg, incluso si no está en el dominio de o de . ^[54] ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {P}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {X}}}$

Relaciones de incertidumbre adicionales

Límite de Heisenberg

En metrología cuántica , y especialmente en interferometría , el límite de Heisenberg es la tasa óptima a la que la precisión de una medición puede escalar con la energía utilizada en la medición. Normalmente, se trata de la medición de una fase (aplicada a un brazo de un divisor de haz ) y la energía viene dada por el número de fotones utilizados en un interferómetro . Aunque algunos afirman haber roto el límite de Heisenberg, esto refleja un desacuerdo sobre la definición del recurso de escala. ^[55] Definido adecuadamente, el límite de Heisenberg es una consecuencia de los principios básicos de la mecánica cuántica y no se puede superar, aunque sí se puede superar el límite débil de Heisenberg. ^[56]

Errores sistemáticos y estadísticos

Las desigualdades anteriores se centran en la imprecisión estadística de los observables cuantificados por la desviación típica . Sin embargo, la versión original de Heisenberg se ocupaba del error sistemático , una perturbación del sistema cuántico producida por el aparato de medición, es decir, un efecto del observador. ${\displaystyle \sigma }$

Si representamos el error (es decir, la inexactitud ) de una medición de un observable A y la perturbación producida en una medición posterior de la variable conjugada B por la medición anterior de A , entonces la desigualdad propuesta por Ozawa, que abarca tanto los errores sistemáticos como los estadísticos, se cumple: ^[27] ${\displaystyle \varepsilon _{A}}$ ${\displaystyle \eta _{B}}$

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

El principio de incertidumbre de Heisenberg, tal como se describió originalmente en la formulación de 1927, menciona solo el primer término de la desigualdad de Ozawa, en relación con el error sistemático . Si se utiliza la notación anterior para describir el efecto de error/perturbación de las mediciones secuenciales (primero A , luego B ), se podría escribir como

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

La derivación formal de la relación de Heisenberg es posible pero lejos de ser intuitiva. No fue propuesta por Heisenberg, sino formulada de manera matemáticamente consistente solo en años recientes. ^{[57] [58]} Además, debe enfatizarse que la formulación de Heisenberg no tiene en cuenta los errores estadísticos intrínsecos y . Hay cada vez más evidencia experimental ^{[31] [59] [60] [61]} de que la incertidumbre cuántica total no puede describirse solo por el término de Heisenberg, sino que requiere la presencia de los tres términos de la desigualdad de Ozawa. ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$

Utilizando el mismo formalismo, ^[1] es posible también introducir el otro tipo de situación física, a menudo confundida con la anterior, es decir el caso de medidas simultáneas ( A y B al mismo tiempo):

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\varepsilon _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Las dos mediciones simultáneas en A y B son necesariamente ^[62] poco nítidas o débiles .

También es posible derivar una relación de incertidumbre que, como la de Ozawa, combina los componentes de error estadístico y sistemático, pero mantiene una forma muy cercana a la desigualdad original de Heisenberg. Añadiendo Robertson ^[1]

${\displaystyle \sigma _{A}\,\sigma _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

y las relaciones de Ozawa obtenemos Los cuatro términos se pueden escribir como: Definiendo: como la inexactitud en los valores medidos de la variable A y como la fluctuación resultante en la variable conjugada B , Kazuo Fujikawa ^[63] estableció una relación de incertidumbre similar a la original de Heisenberg, pero válida tanto para errores sistemáticos como estadísticos : $${\displaystyle \varepsilon _{A}\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}+\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$ $${\displaystyle (\varepsilon _{A}+\sigma _{A})\,(\eta _{B}+\sigma _{B})\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$ $${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,\equiv \,(\varepsilon _{A}+\sigma _{A})}$$ $${\displaystyle {\bar {\eta }}_{B}\,\equiv \,(\eta _{B}+\sigma _{B})}$$

${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,{\bar {\eta }}_{B}\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Principio de incertidumbre entrópica cuántica

Para muchas distribuciones, la desviación estándar no es una forma particularmente natural de cuantificar la estructura. Por ejemplo, las relaciones de incertidumbre en las que uno de los observables es un ángulo tienen poco significado físico para fluctuaciones mayores a un período. ^{[41] [64] [65] [66]} Otros ejemplos incluyen distribuciones altamente bimodales o distribuciones unimodales con varianza divergente.

Una solución que supera estos problemas es una incertidumbre basada en la incertidumbre entrópica en lugar del producto de las varianzas. Mientras formulaba la interpretación de los múltiples mundos de la mecánica cuántica en 1957, Hugh Everett III conjeturó una extensión más fuerte del principio de incertidumbre basada en la certeza entrópica. ^[67] Esta conjetura, también estudiada por II Hirschman ^[68] y demostrada en 1975 por W. Beckner ^[69] y por Iwo Bialynicki-Birula y Jerzy Mycielski ^[70] es que, para dos pares de transformadas de Fourier adimensionales y normalizadas f ( a ) y g ( b ) donde

${\displaystyle f(a)=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\ e^{2\pi iab}\,db}$   y    ${\displaystyle \,\,\,g(b)=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\ e^{-2\pi iab}\,da}$

Las entropías de información de Shannon están sujetas a la siguiente restricción: $${\displaystyle H_{a}=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\log(f(a))\,da,}$$ $${\displaystyle H_{b}=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\log(g(b))\,db}$$

${\displaystyle H_{a}+H_{b}\geq \log(e/2)}$

donde los logaritmos pueden estar en cualquier base.

Las funciones de distribución de probabilidad asociadas con la función de onda de posición ψ ( x ) y la función de onda de momento φ ( x ) tienen dimensiones de longitud inversa y momento respectivamente, pero las entropías pueden volverse adimensionales mediante donde x ₀ y p ₀ son una longitud y momento elegidos arbitrariamente respectivamente, lo que hace que los argumentos de los logaritmos sean adimensionales. Nótese que las entropías serán funciones de estos parámetros elegidos. Debido a la relación de transformada de Fourier entre la función de onda de posición ψ ( x ) y la función de onda de momento φ ( p ) , la restricción anterior puede escribirse para las entropías correspondientes como $${\displaystyle H_{x}=-\int |\psi (x)|^{2}\ln \left(x_{0}\,|\psi (x)|^{2}\right)dx=-\left\langle \ln \left(x_{0}\,\left|\psi (x)\right|^{2}\right)\right\rangle }$$ $${\displaystyle H_{p}=-\int |\varphi (p)|^{2}\ln(p_{0}\,|\varphi (p)|^{2})\,dp=-\left\langle \ln(p_{0}\left|\varphi (p)\right|^{2})\right\rangle }$$

${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)}$

donde h es la constante de Planck .

Dependiendo de la elección del producto x ₀ p ₀ , la expresión puede escribirse de muchas maneras. Si se elige que x ₀ p ₀ sea h , entonces $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$

Si, en cambio, se elige que x ₀ p ₀ sea ħ , entonces $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log(e\,\pi )}$$

Si se elige que x ₀ y p ₀ sean la unidad en cualquier sistema de unidades que se utilice, entonces donde h se interpreta como un número adimensional igual al valor de la constante de Planck en el sistema de unidades elegido. Nótese que estas desigualdades se pueden extender a estados cuánticos multimodo o funciones de onda en más de una dimensión espacial. ^[71] $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2}}\right)}$$

El principio de incertidumbre entrópica cuántica es más restrictivo que el principio de incertidumbre de Heisenberg. De las desigualdades logarítmicas inversas de Sobolev ^[72] (equivalentemente, del hecho de que las distribuciones normales maximizan la entropía de todas las que tienen una varianza dada), se deduce fácilmente que este principio de incertidumbre entrópica es más fuerte que el basado en las desviaciones estándar , porque $${\displaystyle H_{x}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{x}^{2}/x_{0}^{2})~,}$$ $${\displaystyle H_{p}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{p}^{2}/p_{0}^{2})~,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}\exp \left(H_{x}+H_{p}-\log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

En otras palabras, el principio de incertidumbre de Heisenberg es una consecuencia del principio de incertidumbre entrópica cuántica, pero no viceversa. Algunas observaciones sobre estas desigualdades. En primer lugar, la elección de la base e es una cuestión de convención popular en física. El logaritmo puede estar alternativamente en cualquier base, siempre que sea consistente en ambos lados de la desigualdad. En segundo lugar, recuerde que se ha utilizado la entropía de Shannon , no la entropía cuántica de von Neumann . Finalmente, la distribución normal satura la desigualdad, y es la única distribución con esta propiedad, porque es la distribución de probabilidad de máxima entropía entre aquellas con varianza fija (cf. aquí para la prueba).

Un aparato de medición tendrá una resolución finita determinada por la discretización de sus posibles salidas en compartimentos, con la probabilidad de estar dentro de uno de los compartimentos dada por la regla de Born. Consideraremos la situación experimental más común, en la que los compartimentos son de tamaño uniforme. Sea δx una medida de la resolución espacial. Suponemos que el compartimento cero está centrado cerca del origen, con posiblemente algún pequeño desplazamiento constante c . La probabilidad de estar dentro del intervalo j de ancho δx es $${\displaystyle \operatorname {P} [x_{j}]=\int _{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}|\psi (x)|^{2}\,dx}$$

Para tener en cuenta esta discretización, podemos definir la entropía de Shannon de la función de onda para un aparato de medición dado como $${\displaystyle H_{x}=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {P} [x_{j}]\ln \operatorname {P} [x_{j}].}$$

Según la definición anterior, la relación de incertidumbre entrópica es $${\displaystyle H_{x}+H_{p}>\ln \left({\frac {e}{2}}\right)-\ln \left({\frac {\delta x\delta p}{h}}\right).}$$

Aquí observamos que δx δp / h es un volumen de espacio de fase infinitesimal típico utilizado en el cálculo de una función de partición . La desigualdad también es estricta y no está saturada. Los esfuerzos para mejorar este límite son un área activa de investigación.

Relación de incertidumbre con tres componentes del momento angular

Para una partícula de momento angular total se cumple la siguiente relación de incertidumbre donde son los componentes del momento angular. La relación se puede derivar de y La relación se puede fortalecer como ^{[45] [73]} donde es la información cuántica de Fisher. ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+\sigma _{J_{z}}^{2}\geq j,}$$ ${\displaystyle J_{l}}$ $${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle =j(j+1),}$$ $${\displaystyle \langle J_{x}\rangle ^{2}+\langle J_{y}\rangle ^{2}+\langle J_{z}\rangle ^{2}\leq j.}$$ $${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j,}$$ ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,J_{z}]}$

Análisis armónico

En el contexto del análisis armónico , una rama de las matemáticas, el principio de incertidumbre implica que no se puede localizar al mismo tiempo el valor de una función y su transformada de Fourier. Es decir, se cumple la siguiente desigualdad: $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {\|f\|_{2}^{4}}{16\pi ^{2}}}.}$$

Otras desigualdades de incertidumbre matemática, incluida la incertidumbre entrópica mencionada anteriormente , se cumplen entre una función f y su transformada de Fourier ƒ̂ : ^{[74] [75] [76]} $${\displaystyle H_{x}+H_{\xi }\geq \log(e/2)}$$

Procesamiento de señales

En el contexto del procesamiento de señales , y en particular del análisis tiempo-frecuencia , los principios de incertidumbre se conocen como el límite de Gabor , en honor a Dennis Gabor , o a veces el límite de Heisenberg-Gabor . El resultado básico, que se desprende del "teorema de Benedict", a continuación, es que una función no puede estar limitada en el tiempo y en la banda (una función y su transformada de Fourier no pueden tener ambas un dominio acotado); consulte limitado en banda frente a limitado en el tiempo . Más exactamente, el producto tiempo-ancho de banda o duración-ancho de banda satisface donde y son las desviaciones estándar de las representaciones de energía o potencia (es decir, al cuadrado) de tiempo y frecuencia respectivamente. ^[77] El mínimo se alcanza para un pulso en forma de Gauss ( ondícula de Gabor ) [Para la magnitud de la gaussiana no cuadrada (es decir, la amplitud de la señal) y su transformada de Fourier no cuadrada ; El cuadrado reduce cada uno en un factor .] Otra medida común es el producto del tiempo y la frecuencia del ancho completo a la mitad del máximo (de la potencia/energía), que para el gaussiano es igual a (ver pulso limitado por ancho de banda ). $${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}\cdot \sigma _{{\text{energy}},f}\geq {\frac {1}{4\pi }}\approx 0.08{\text{ cycles}},}$$ ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}}$ ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},f}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}\sigma _{f}=1/2\pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2\ln 2/\pi \approx 0.44}$

Dicho de otra manera, "no se puede localizar de forma simultánea y nítida una señal (función f ) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia ( ƒ̂ , su transformada de Fourier)".

Cuando se aplica a filtros , el resultado implica que no se puede lograr una alta resolución temporal y resolución de frecuencia al mismo tiempo; un ejemplo concreto son los problemas de resolución de la transformada de Fourier de tiempo corto : si se utiliza una ventana amplia, se logra una buena resolución de frecuencia a costa de la resolución temporal, mientras que una ventana estrecha tiene la compensación opuesta.

Los teoremas alternativos dan resultados cuantitativos más precisos y, en el análisis de tiempo-frecuencia, en lugar de interpretar los dominios de tiempo y frecuencia (unidimensionales) por separado, se interpreta el límite como un límite inferior en el soporte de una función en el plano de tiempo-frecuencia (bidimensional). En la práctica, el límite de Gabor limita la resolución simultánea de tiempo-frecuencia que se puede lograr sin interferencias; es posible lograr una resolución más alta, pero a costa de que los diferentes componentes de la señal interfieran entre sí.

Como resultado, para analizar señales donde los transitorios son importantes, a menudo se utiliza la transformada wavelet en lugar de la de Fourier.

Transformada de Fourier discreta

Sea una secuencia de N números complejos y su transformada de Fourier discreta . ${\displaystyle \left\{\mathbf {x_{n}} \right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {X_{k}} \right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},}$

Denote por el número de elementos distintos de cero en la secuencia de tiempo y por el número de elementos distintos de cero en la secuencia de frecuencia . Entonces, ${\displaystyle \|x\|_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \|X\|_{0}}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1}}$ $${\displaystyle \|x\|_{0}\cdot \|X\|_{0}\geq N.}$$

Esta desigualdad es aguda y se alcanza la igualdad cuando x o X es una masa de Dirac, o más generalmente cuando x es un múltiplo distinto de cero de un peine de Dirac apoyado en un subgrupo de los enteros módulo N (en cuyo caso X es también un peine de Dirac apoyado en un subgrupo complementario, y viceversa).

De manera más general, si T y W son subconjuntos de los enteros módulo N , denotemos el operador limitador de tiempo y los operadores limitadores de banda , respectivamente. Entonces donde la norma es la norma del operador de los operadores en el espacio de Hilbert de funciones en los enteros módulo N . Esta desigualdad tiene implicaciones para la reconstrucción de señales . ^[78] ${\displaystyle L_{T},R_{W}:\ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$ $${\displaystyle \|L_{T}R_{W}\|^{2}\leq {\frac {|T||W|}{|G|}}}$$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$

Cuando N es un número primo , se cumple una desigualdad más fuerte: descubierta por Terence Tao , esta desigualdad también es aguda. ^[79] $${\displaystyle \|x\|_{0}+\|X\|_{0}\geq N+1.}$$

Teorema de Benedict

El teorema de Amrein-Berthier ^[80] y de Benedict ^[81] dice intuitivamente que el conjunto de puntos donde f no es cero y el conjunto de puntos donde ƒ̂ no es cero no pueden ser ambos pequeños.

En concreto, es imposible que una función f en L ² ( R ) y su transformada de Fourier ƒ̂ se respalden ambas en conjuntos de medida de Lebesgue finita . Una versión más cuantitativa es ^{[82] [83]} $${\displaystyle \|f\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}\leq Ce^{C|S||\Sigma |}{\bigl (}\|f\|_{L^{2}(S^{c})}+\|{\hat {f}}\|_{L^{2}(\Sigma ^{c})}{\bigr )}~.}$$

Se espera que el factor Ce ^{C | S || Σ |} pueda ser reemplazado por Ce ^{C (| S || Σ |) 1/ d} , lo cual sólo se conoce si S o Σ son convexos.

Principio de incertidumbre de Hardy

El matemático GH Hardy formuló el siguiente principio de incertidumbre: ^[84] no es posible que f y ƒ̂ sean ambos "muy rápidamente decrecientes". Específicamente, si f en es tal que y ( un entero), entonces, si ab > 1, f = 0 , mientras que si ab = 1 , entonces existe un polinomio P de grado ≤ N tal que ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle |f(x)|\leq C(1+|x|)^{N}e^{-a\pi x^{2}}}$$ $${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq C(1+|\xi |)^{N}e^{-b\pi \xi ^{2}}}$$ ${\displaystyle C>0,N}$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-a\pi x^{2}}.}$$

Esto se mejoró posteriormente de la siguiente manera: si es tal que entonces donde P es un polinomio de grado ( N − d )/2 y A es una matriz real d × d definida positiva. ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)||{\hat {f}}(\xi )|{\frac {e^{\pi |\langle x,\xi \rangle |}}{(1+|x|+|\xi |)^{N}}}\,dx\,d\xi <+\infty ~,}$$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

Este resultado fue establecido en las obras completas de Beurling sin prueba y demostrado en Hörmander ^[85] (el caso ) y Bonami, Demange y Jaming ^[86] para el caso general. Nótese que la versión de Hörmander-Beurling implica el caso ab > 1 en el Teorema de Hardy mientras que la versión de Bonami-Demange-Jaming cubre toda la fuerza del Teorema de Hardy. Una prueba diferente del teorema de Beurling basada en el teorema de Liouville apareció en la referencia ^{[87] .} ${\displaystyle d=1,N=0}$

Una descripción completa del caso ab < 1 así como la siguiente extensión a las distribuciones de clase de Schwartz aparece en la referencia ^{[88] .}

Teorema  —  Si una distribución templada es tal que y entonces, para algún polinomio conveniente P y una matriz definida positiva real A de tipo d × d . ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$ $${\displaystyle e^{\pi |x|^{2}}f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$$ $${\displaystyle e^{\pi |\xi |^{2}}{\hat {f}}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})~,}$$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

Historia

En 1925 Heisenberg publicó el artículo Umdeutung (reinterpretación) donde demostró que el aspecto central de la teoría cuántica era la no conmutatividad : la teoría implicaba que el orden relativo de la medición de la posición y el momento era significativo. Trabajando con Max Born y Pascual Jordan , continuó desarrollando la mecánica matricial , que se convertiría en la primera formulación de la mecánica cuántica moderna. ^[89]

Werner Heisenberg y Niels Bohr

En marzo de 1926, mientras trabajaba en el Instituto de Bohr, Heisenberg se dio cuenta de que la no conmutatividad implica el principio de incertidumbre. En febrero de 1927, escribió a Wolfgang Pauli y elaboró ​​los conceptos básicos. ^[90]

En su célebre artículo de 1927 " Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik" ("Sobre el contenido perceptual de la cinemática y la mecánica teóricas cuánticas"), Heisenberg estableció esta expresión como la cantidad mínima de perturbación inevitable del momento causada por cualquier medición de posición, ^[2] pero no dio una definición precisa para las incertidumbres Δx y Δ p . En cambio, dio algunas estimaciones plausibles en cada caso por separado. Su artículo dio un análisis en términos de un microscopio que Bohr demostró que era incorrecto; Heisenberg incluyó un apéndice a la publicación.

En su conferencia de Chicago de 1930 ^[91] refinó su principio:

Trabajos posteriores ampliaron el concepto. No se pueden medir simultáneamente dos variables que no conmutan: cuanto más exactamente se conoce una, menos exactamente se puede conocer la otra. Heisenberg escribió:

En su forma más simple, se puede expresar de la siguiente manera: nunca se puede conocer con exactitud perfecta los dos factores importantes que determinan el movimiento de una de las partículas más pequeñas: su posición y su velocidad. Es imposible determinar con exactitud tanto la posición como la dirección y la velocidad de una partícula en el mismo instante . ^[92]

Kennard ^{[6] [1] : 204} en 1927 demostró por primera vez la desigualdad moderna:

donde ħ = ⁠yo/2π​⁠ , y σ _x , σ _p son las desviaciones estándar de la posición y el momento. (Heisenberg sólo demostró la relación ( A2 ) para el caso especial de los estados gaussianos. ^[91] ) En 1929, Robertson generalizó la desigualdad a todos los observables y en 1930, Schrödinger extendió la forma para permitir la covarianza no nula de los operadores; este resultado se conoce como desigualdad de Robertson-Schrödinger. ^{[1] : 204}

Terminología y traducción

En el cuerpo principal de su artículo original de 1927, escrito en alemán, Heisenberg utilizó la palabra "Ungenauigkeit" ^[2] para describir el principio teórico básico. Sólo en la nota final cambió a la palabra "Unsicherheit". Más tarde, siempre utilizó "Unbestimmtheit". Sin embargo, cuando se publicó la versión en inglés del libro de texto de Heisenberg, Los principios físicos de la teoría cuántica , en 1930, sólo se utilizó la palabra inglesa "uncertainty" [incertidumbre], y se convirtió en el término en el idioma inglés. ^[93]

El microscopio de Heisenberg

Microscopio de rayos gamma de Heisenberg para localizar un electrón (mostrado en azul). El rayo gamma incidente (mostrado en verde) es dispersado por el electrón hasta el ángulo de apertura del microscopio θ . El rayo gamma dispersado se muestra en rojo. La óptica clásica muestra que la posición del electrón puede determinarse solo hasta una incertidumbre Δ x que depende de θ y de la longitud de onda λ de la luz incidente.

El principio es bastante contraintuitivo, por lo que los primeros estudiantes de la teoría cuántica tuvieron que estar seguros de que las mediciones ingenuas que lo violaran siempre serían inviables. Una forma en que Heisenberg ilustró originalmente la imposibilidad intrínseca de violar el principio de incertidumbre fue utilizando el efecto observador de un microscopio imaginario como dispositivo de medición. ^[91]

Se imagina a un experimentador intentando medir la posición y el momento de un electrón disparándole un fotón . ^{[94] : 49–50}

• Problema 1 – Si el fotón tiene una longitud de onda corta y, por lo tanto, un gran momento, la posición se puede medir con precisión. Pero el fotón se dispersa en una dirección aleatoria, transfiriendo una cantidad grande e incierta de momento al electrón. Si el fotón tiene una longitud de onda larga y un momento bajo, la colisión no altera mucho el momento del electrón, pero la dispersión revelará su posición solo vagamente.
• Problema 2 – Si se utiliza una gran apertura para el microscopio, la ubicación del electrón se puede resolver bien (véase el criterio de Rayleigh ); pero por el principio de conservación del momento , el momento transversal del fotón entrante afecta el momento de la línea de haz del electrón y, por lo tanto, el nuevo momento del electrón se resuelve mal. Si se utiliza una apertura pequeña, la precisión de ambas resoluciones es al revés.

La combinación de estas compensaciones implica que, sin importar qué longitud de onda de fotón y tamaño de apertura se utilicen, el producto de la incertidumbre en la posición medida y el momento medido es mayor o igual a un límite inferior, que es (hasta un pequeño factor numérico) igual a la constante de Planck . ^[95] Heisenberg no se preocupó por formular el principio de incertidumbre como un límite exacto, y prefirió usarlo en cambio, como una declaración cuantitativa heurística, correcta hasta pequeños factores numéricos, lo que hace inevitable la no conmutatividad radicalmente nueva de la mecánica cuántica.

Reacciones críticas

The Copenhagen interpretation of quantum mechanics and Heisenberg's uncertainty principle were, in fact, initially seen as twin targets by detractors. According to the Copenhagen interpretation of quantum mechanics, there is no fundamental reality that the quantum state describes, just a prescription for calculating experimental results. There is no way to say what the state of a system fundamentally is, only what the result of observations might be.

Albert Einstein believed that randomness is a reflection of our ignorance of some fundamental property of reality, while Niels Bohr believed that the probability distributions are fundamental and irreducible, and depend on which measurements we choose to perform. Einstein and Bohr debated the uncertainty principle for many years.

Ideal detached observer

Wolfgang Pauli called Einstein's fundamental objection to the uncertainty principle "the ideal of the detached observer" (phrase translated from the German):

"Like the moon has a definite position" Einstein said to me last winter, "whether or not we look at the moon, the same must also hold for the atomic objects, as there is no sharp distinction possible between these and macroscopic objects. Observation cannot create an element of reality like a position, there must be something contained in the complete description of physical reality which corresponds to the possibility of observing a position, already before the observation has been actually made." I hope, that I quoted Einstein correctly; it is always difficult to quote somebody out of memory with whom one does not agree. It is precisely this kind of postulate which I call the ideal of the detached observer.

— Letter from Pauli to Niels Bohr, February 15, 1955^[96]

Einstein's slit

The first of Einstein's thought experiments challenging the uncertainty principle went as follows:

Consider a particle passing through a slit of width d. The slit introduces an uncertainty in momentum of approximately ⁠h/d⁠ because the particle passes through the wall. But let us determine the momentum of the particle by measuring the recoil of the wall. In doing so, we find the momentum of the particle to arbitrary accuracy by conservation of momentum.

Bohr's response was that the wall is quantum mechanical as well, and that to measure the recoil to accuracy Δp, the momentum of the wall must be known to this accuracy before the particle passes through. This introduces an uncertainty in the position of the wall and therefore the position of the slit equal to ⁠h/Δp⁠, and if the wall's momentum is known precisely enough to measure the recoil, the slit's position is uncertain enough to disallow a position measurement.

A similar analysis with particles diffracting through multiple slits is given by Richard Feynman.^[97]

Einstein's box

Bohr was present when Einstein proposed the thought experiment which has become known as Einstein's box. Einstein argued that "Heisenberg's uncertainty equation implied that the uncertainty in time was related to the uncertainty in energy, the product of the two being related to the Planck constant."^[98] Consider, he said, an ideal box, lined with mirrors so that it can contain light indefinitely. The box could be weighed before a clockwork mechanism opened an ideal shutter at a chosen instant to allow one single photon to escape. "We now know, explained Einstein, precisely the time at which the photon left the box."^[99] "Now, weigh the box again. The change of mass tells the energy of the emitted light. In this manner, said Einstein, one could measure the energy emitted and the time it was released with any desired precision, in contradiction to the uncertainty principle."^[98]

Bohr spent a sleepless night considering this argument, and eventually realized that it was flawed. He pointed out that if the box were to be weighed, say by a spring and a pointer on a scale, "since the box must move vertically with a change in its weight, there will be uncertainty in its vertical velocity and therefore an uncertainty in its height above the table. ... Furthermore, the uncertainty about the elevation above the Earth's surface will result in an uncertainty in the rate of the clock,"^[100] because of Einstein's own theory of gravity's effect on time. "Through this chain of uncertainties, Bohr showed that Einstein's light box experiment could not simultaneously measure exactly both the energy of the photon and the time of its escape."^[101]

EPR paradox for entangled particles

In 1935, Einstein, Boris Podolsky and Nathan Rosen published an analysis of spatially separated entangled particles (EPR paradox).^[102] According to EPR, one could measure the position of one of the entangled particles and the momentum of the second particle, and from those measurements deduce the position and momentum of both particles to any precision, violating the uncertainty principle. In order to avoid such possibility, the measurement of one particle must modify the probability distribution of the other particle instantaneously, possibly violating the principle of locality.^[103]

In 1964, John Stewart Bell showed that this assumption can be falsified, since it would imply a certain inequality between the probabilities of different experiments. Experimental results confirm the predictions of quantum mechanics, ruling out EPR's basic assumption of local hidden variables.

Popper's criticism

Science philosopher Karl Popper approached the problem of indeterminacy as a logician and metaphysical realist.^[104] He disagreed with the application of the uncertainty relations to individual particles rather than to ensembles of identically prepared particles, referring to them as "statistical scatter relations".^[104][105] In this statistical interpretation, a particular measurement may be made to arbitrary precision without invalidating the quantum theory.

In 1934, Popper published Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Critique of the Uncertainty Relations) in Naturwissenschaften,^[106] and in the same year Logik der Forschung (translated and updated by the author as The Logic of Scientific Discovery in 1959^[104]), outlining his arguments for the statistical interpretation. In 1982, he further developed his theory in Quantum theory and the schism in Physics, writing:

[Heisenberg's] formulae are, beyond all doubt, derivable statistical formulae of the quantum theory. But they have been habitually misinterpreted by those quantum theorists who said that these formulae can be interpreted as determining some upper limit to the precision of our measurements. [original emphasis]^[107]

Popper proposed an experiment to falsify the uncertainty relations, although he later withdrew his initial version after discussions with Carl Friedrich von Weizsäcker, Heisenberg, and Einstein; Popper sent his paper to Einstein and it may have influenced the formulation of the EPR paradox.^[108]: 720

Free will

Some scientists including Arthur Compton^[109] and Martin Heisenberg^[110] have suggested that the uncertainty principle, or at least the general probabilistic nature of quantum mechanics, could be evidence for the two-stage model of free will. One critique, however, is that apart from the basic role of quantum mechanics as a foundation for chemistry, nontrivial biological mechanisms requiring quantum mechanics are unlikely, due to the rapid decoherence time of quantum systems at room temperature.^[111] Proponents of this theory commonly say that this decoherence is overcome by both screening and decoherence-free subspaces found in biological cells.^[111]

Thermodynamics

There is reason to believe that violating the uncertainty principle also strongly implies the violation of the second law of thermodynamics.^[112] See Gibbs paradox.

Rejection of the principle

Uncertainty principles relate quantum particles–electrons for example–to classical concepts–position and momentum. This presumes quantum particles have position and momentum. Edwin C. Kemble pointed out^[113] in 1937 that such properties cannot be experimentally verified and assuming they exist gives rise to many contradictions; similarly Rudolf Haag notes that position in quantum mechanics is an attribute of an interaction, say between an electron and a detector, not an intrinsic property.^[114][115] From this point of view the uncertainty principle is not a fundamental quantum property but a concept "carried over from the language of our ancestors" as Kemble says.

Applications

Since the uncertainty principle is such a basic result in quantum mechanics, typical experiments in quantum mechanics routinely observe aspects of it. All forms of spectroscopy, including particle physics use the relationship to relate measured energy line-width to the lifetime of quantum states. Certain experiments, however, may deliberately test a particular form of the uncertainty principle as part of their main research program. These include, for example, tests of number–phase uncertainty relations in superconducting^[116] or quantum optics^[117] systems. Applications dependent on the uncertainty principle for their operation include extremely low-noise technology such as that required in gravitational wave interferometers.^[118]

See also

• Correspondence principle – Physics principle formulated by Niels Bohr
• Goodhart's law – Adage about statistical measures — when an attempt is made to use a statistical measure for purposes of control (directing), its statistical validity breaks down
• Introduction to quantum mechanics – Non-mathematical introduction
• Küpfmüller's uncertainty principle – concept in electronic engineering formulated by Karl KüpfmüllerPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Quantum indeterminacy – Apparent lack of definite state before measurement of quantum systems
• Quantum superposition – Principle of quantum mechanics
• Quantum tunnelling – Quantum mechanical phenomenon
• Physics and Beyond – 1969 book by Werner Heisenberg (Heisenberg's recollections)
• Stronger uncertainty relations – Later developments of Heisenberg's principle

References

1. Sen, D. (2014). "The Uncertainty relations in quantum mechanics" (PDF). Current Science. 107 (2): 203–218. Archived (PDF) from the original on 2019-09-24. Retrieved 2016-02-14.
2. Heisenberg, W. (1927) [1927-03-01]. "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik". Zeitschrift für Physik (in German). 43 (3): 172–198. Bibcode:1927ZPhy...43..172H. doi:10.1007/BF01397280. ISSN 0044-3328. S2CID 122763326.Heisenberg, W (1983) [1927]. "The actual content of quantum theoretical kinematics and mechanics". No. NAS 1.15: 77379. 1983. 43 (3–4): 172. Bibcode:1983ZhPhy..43..172H. Archived from the original on 2023-09-02. Retrieved 2023-08-28. English translation of Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik
3. Werner Heisenberg (1989), Encounters with Einstein and Other Essays on People, Places and Particles, Princeton University Press, p. 53. ^{[ISBN missing]}
4. Dolling, Lisa M.; Gianelli, Arthur F.; Statile, Glenn N., eds. (2003). The Tests of Time. doi:10.1515/9781400889167. ISBN 978-1400889167.
5. Kumar, Manjit. Quantum: Einstein, Bohr, and the great debate about the nature of reality. 1st American ed., 2008. Chap. 10, Note 37. ^{[ISBN missing]}
6. Kennard, E. H. (1927), "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen", Zeitschrift für Physik (in German), 44 (4–5): 326–352, Bibcode:1927ZPhy...44..326K, doi:10.1007/BF01391200, S2CID 121626384.
7. Weyl, H. (1928). Gruppentheorie und Quantenmechanik (in German). Leipzig: Hirzel.^{[page needed]}
8. Jaeger, Gregg (September 2014). "What in the (quantum) world is macroscopic?". American Journal of Physics. 82 (9): 896–905. Bibcode:2014AmJPh..82..896J. doi:10.1119/1.4878358.
9. See Appendix B in Bialynicki-Birula, Iwo; Bialynicka-Birula, Zofia (2009), "Why photons cannot be sharply localized", Physical Review A, 79 (3): 7–8, arXiv:0903.3712, Bibcode:2009PhRvA..79c2112B, doi:10.1103/PhysRevA.79.032112, S2CID 55632217
10. Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck Laloë (1996), Quantum mechanics, Wiley-Interscience: Wiley, pp. 231–233, ISBN 978-0-471-56952-7
11. Landau, Lev Davidovich; Lifshitz, Evgeny Mikhailovich (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.
12. Busch, Paul (2002). "The Time-Energy Uncertainty Relation". In Muga, J. G.; Mayato, R. Sala; Egusquiza, I. L. (eds.). Time in Quantum Mechanics. Lecture Notes in Physics. Vol. 72. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pp. 69–98. doi:10.1007/3-540-45846-8_3. ISBN 978-3-540-43294-4.
13. Wigner, E. P. (1997). "On the Time–Energy Uncertainty Relation". In Wightman, Arthur S. (ed.). Part I: Particles and Fields. Part II: Foundations of Quantum Mechanics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pp. 538–548. doi:10.1007/978-3-662-09203-3_58. ISBN 978-3-642-08179-8.
14. Hilgevoord, Jan (1996-12-01). "The uncertainty principle for energy and time". American Journal of Physics. 64 (12): 1451–1456. Bibcode:1996AmJPh..64.1451H. doi:10.1119/1.18410. ISSN 0002-9505. Archived from the original on 2024-02-23. Retrieved 2023-11-12.
15. Lynch, F. J.; Holland, R. E.; Hamermesh, M. (1960-10-15). "Time Dependence of Resonantly Filtered Gamma Rays from Fe 57". Physical Review. 120 (2): 513–520. doi:10.1103/PhysRev.120.513. ISSN 0031-899X.
16. Frauenfelder, H. (1962). The Mössbauer Effect. W. A. Benjamin. p. 66. LCCN 61018181.
17. Bohm, Arno R.; Sato, Yoshihiro (2005-04-28). "Relativistic resonances: Their masses, widths, lifetimes, superposition, and causal evolution". Physical Review D. 71 (8): 085018. arXiv:hep-ph/0412106. Bibcode:2005PhRvD..71h5018B. doi:10.1103/PhysRevD.71.085018. ISSN 1550-7998. S2CID 119417992.
18. Karplus, Martin, and Porter, Richard Needham (1970). Atoms and Molecules. California: Benjamin Cummings. p. 68 ISBN 978-0805352184. OCLC 984466711
19. The broad linewidth of fast-decaying states makes it difficult to accurately measure the energy of the state, and researchers have even used detuned microwave cavities to slow down the decay rate, to get sharper peaks. Gabrielse, Gerald; H. Dehmelt (1985). "Observation of Inhibited Spontaneous Emission". Physical Review Letters. 55 (1): 67–70. Bibcode:1985PhRvL..55...67G. doi:10.1103/PhysRevLett.55.67. PMID 10031682.
20. Hilgevoord, Jan (March 2005). "Time in quantum mechanics: a story of confusion". Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 36 (1): 29–60. Bibcode:2005SHPMP..36...29H. doi:10.1016/j.shpsb.2004.10.002. Archived from the original on 2022-10-23. Retrieved 2024-01-28.
21. Bohm, Arno (January 2011). "Resonances/decaying states and the mathematics of quantum physics". Reports on Mathematical Physics. 67 (3): 279–303. Bibcode:2011RpMP...67..279B. doi:10.1016/S0034-4877(11)60018-9. Archived from the original on 2023-12-04. Retrieved 2024-01-24.
22. Aharonov, Y.; Bohm, D. (June 1, 1961). "Time in the Quantum Theory and the Uncertainty Relation for Time and Energy" (PDF). Physical Review. 122 (5): 1649–1658. Bibcode:1961PhRv..122.1649A. doi:10.1103/PhysRev.122.1649. Archived from the original (PDF) on 2014-01-09. Retrieved 2012-01-21.
23. L. I. Mandelstam, I. E. Tamm, The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics Archived 2019-06-07 at the Wayback Machine, 1945.
24. Naber, Gregory L. (2021). Quantum Mechanics: An Introduction to the Physical Background and Mathematical Structure. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. p. 230. ISBN 978-3-11-075194-9. Archived from the original on 2024-02-23. Retrieved 2024-01-20.
25. Griffiths, David J.; Schroeter, Darrell F. (2018). Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press. Bibcode:2018iqm..book.....G. doi:10.1017/9781316995433. ISBN 978-1-316-99543-3. Archived from the original on 2024-02-23. Retrieved 2024-01-27.
26. Furuta, Aya (2012), "One Thing Is Certain: Heisenberg's Uncertainty Principle Is Not Dead", Scientific American, archived from the original on 2022-04-01, retrieved 2018-10-20
27. Ozawa, Masanao (2003), "Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement", Physical Review A, 67 (4): 42105, arXiv:quant-ph/0207121, Bibcode:2003PhRvA..67d2105O, doi:10.1103/PhysRevA.67.042105, S2CID 42012188
28. Wheeler, John Archibald (1978-01-01), Marlow, A. R. (ed.), "The 'Past' and the 'Delayed-Choice' Double-Slit Experiment", Mathematical Foundations of Quantum Theory, Academic Press, pp. 9–48, doi:10.1016/b978-0-12-473250-6.50006-6, ISBN 978-0-12-473250-6, archived from the original on 2022-12-10, retrieved 2023-07-19
29. Wheeler, John Archibald (1977), Lopes, José Leite; Paty, Michel (eds.), "Include the Observer in the Wave Function?", Quantum Mechanics, A Half Century Later: Papers of a Colloquium on Fifty Years of Quantum Mechanics, Held at the University Louis Pasteur, Strasbourg, May 2–4, 1974, Episteme, Dordrecht: Springer Netherlands, pp. 1–18, doi:10.1007/978-94-010-1196-9_1, ISBN 978-94-010-1196-9, archived from the original on 2024-02-23, retrieved 2023-07-19
30. Werner Heisenberg, The Physical Principles of the Quantum Theory, p. 20
31. Rozema, L. A.; Darabi, A.; Mahler, D. H.; Hayat, A.; Soudagar, Y.; Steinberg, A. M. (2012). "Violation of Heisenberg's Measurement–Disturbance Relationship by Weak Measurements". Physical Review Letters. 109 (10): 100404. arXiv:1208.0034v2. Bibcode:2012PhRvL.109j0404R. doi:10.1103/PhysRevLett.109.100404. PMID 23005268. S2CID 37576344.
32. De Broglie, Louis (October 1923). "Waves and Quanta". Nature. 112 (2815): 540. Bibcode:1923Natur.112..540D. doi:10.1038/112540a0. ISSN 1476-4687. S2CID 186242764.
33. Indian Institute of Technology Madras, Professor V. Balakrishnan, Lecture 1 – Introduction to Quantum Physics; Heisenberg's uncertainty principle, National Programme of Technology Enhanced Learning on YouTube
34. Robertson, H. P. (1929), "The Uncertainty Principle", Phys. Rev., 34 (1): 163–164, Bibcode:1929PhRv...34..163R, doi:10.1103/PhysRev.34.163
35. Schrödinger, E., Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip, Berliner Berichte, 1930, pp. 296–303.
36. Schrödinger, E. (1930), "Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 14: 296–303
37. Riley, K. F.; M. P. Hobson and S. J. Bence (2006), Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge, p. 246^{[ISBN missing]}
38. Davidson, E. R. (1965), "On Derivations of the Uncertainty Principle", J. Chem. Phys., 42 (4): 1461–1462, Bibcode:1965JChPh..42.1461D, doi:10.1063/1.1696139
39. Hall, B. C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer, p. 245, Bibcode:2013qtm..book.....H
40. Jackiw, Roman (1968), "Minimum Uncertainty Product, Number-Phase Uncertainty Product, and Coherent States", J. Math. Phys., 9 (3): 339–346, Bibcode:1968JMP.....9..339J, doi:10.1063/1.1664585
41. Carruthers, P.; Nieto, M. M. (1968), "Phase and Angle Variables in Quantum Mechanics", Rev. Mod. Phys., 40 (2): 411–440, Bibcode:1968RvMP...40..411C, doi:10.1103/RevModPhys.40.411
42. Hall, B. C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer, Bibcode:2013qtm..book.....H
43. Maccone, Lorenzo; Pati, Arun K. (31 December 2014). "Stronger Uncertainty Relations for All Incompatible Observables". Physical Review Letters. 113 (26): 260401. arXiv:1407.0338. Bibcode:2014PhRvL.113z0401M. doi:10.1103/PhysRevLett.113.260401. PMID 25615288. S2CID 21334130.
44. Huang, Yichen (10 August 2012). "Variance-based uncertainty relations". Physical Review A. 86 (2): 024101. arXiv:1012.3105. Bibcode:2012PhRvA..86b4101H. doi:10.1103/PhysRevA.86.024101. S2CID 118507388.
45. Tóth, Géza; Fröwis, Florian (31 January 2022). "Uncertainty relations with the variance and the quantum Fisher information based on convex decompositions of density matrices". Physical Review Research. 4 (1): 013075. arXiv:2109.06893. Bibcode:2022PhRvR...4a3075T. doi:10.1103/PhysRevResearch.4.013075. S2CID 237513549.
46. Tóth, Géza; Petz, Dénes (20 March 2013). "Extremal properties of the variance and the quantum Fisher information". Physical Review A. 87 (3): 032324. arXiv:1109.2831. Bibcode:2013PhRvA..87c2324T. doi:10.1103/PhysRevA.87.032324. S2CID 55088553.
47. Yu, Sixia (2013). "Quantum Fisher Information as the Convex Roof of Variance". arXiv:1302.5311 [quant-ph].
48. Fröwis, Florian; Schmied, Roman; Gisin, Nicolas (2 July 2015). "Tighter quantum uncertainty relations following from a general probabilistic bound". Physical Review A. 92 (1): 012102. arXiv:1409.4440. Bibcode:2015PhRvA..92a2102F. doi:10.1103/PhysRevA.92.012102. S2CID 58912643.
49. Curtright, T.; Zachos, C. (2001). "Negative Probability and Uncertainty Relations". Modern Physics Letters A. 16 (37): 2381–2385. arXiv:hep-th/0105226. Bibcode:2001MPLA...16.2381C. doi:10.1142/S021773230100576X. S2CID 119669313.
50. Likharev, K. K.; A. B. Zorin (1985), "Theory of Bloch-Wave Oscillations in Small Josephson Junctions", J. Low Temp. Phys., 59 (3/4): 347–382, Bibcode:1985JLTP...59..347L, doi:10.1007/BF00683782, S2CID 120813342
51. Anderson, P. W. (1964), "Special Effects in Superconductivity", in Caianiello, E. R. (ed.), Lectures on the Many-Body Problem, Vol. 2, New York: Academic Press
52. Davidson, Ernest R. (1965-02-15). "On Derivations of the Uncertainty Principle". The Journal of Chemical Physics. 42 (4): 1461–1462. Bibcode:1965JChPh..42.1461D. doi:10.1063/1.1696139. ISSN 0021-9606. Archived from the original on 2024-02-23. Retrieved 2024-01-20.
53. Hall, B. C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer, p. 245, Bibcode:2013qtm..book.....H
54. Hall, B. C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer, p. 246, Bibcode:2013qtm..book.....H
55. Giovannetti, V.; Lloyd, S.; Maccone, L. (2011). "Advances in quantum metrology". Nature Photonics. 5 (4): 222. arXiv:1102.2318. Bibcode:2011NaPho...5..222G. doi:10.1038/nphoton.2011.35. S2CID 12591819.; arXiv Archived 2020-08-06 at the Wayback Machine
56. Luis, Alfredo (2017-03-13). "Breaking the weak Heisenberg limit". Physical Review A. 95 (3): 032113. arXiv:1607.07668. Bibcode:2017PhRvA..95c2113L. doi:10.1103/PhysRevA.95.032113. ISSN 2469-9926. S2CID 55838380.
57. Busch, P.; Lahti, P.; Werner, R. F. (2013). "Proof of Heisenberg's Error-Disturbance Relation". Physical Review Letters. 111 (16): 160405. arXiv:1306.1565. Bibcode:2013PhRvL.111p0405B. doi:10.1103/PhysRevLett.111.160405. PMID 24182239. S2CID 24507489.
58. Busch, P.; Lahti, P.; Werner, R. F. (2014). "Heisenberg uncertainty for qubit measurements". Physical Review A. 89 (1): 012129. arXiv:1311.0837. Bibcode:2014PhRvA..89a2129B. doi:10.1103/PhysRevA.89.012129. S2CID 118383022.
59. Erhart, J.; Sponar, S.; Sulyok, G.; Badurek, G.; Ozawa, M.; Hasegawa, Y. (2012). "Experimental demonstration of a universally valid error-disturbance uncertainty relation in spin measurements". Nature Physics. 8 (3): 185–189. arXiv:1201.1833. Bibcode:2012NatPh...8..185E. doi:10.1038/nphys2194. S2CID 117270618.
60. Baek, S.-Y.; Kaneda, F.; Ozawa, M.; Edamatsu, K. (2013). "Experimental violation and reformulation of the Heisenberg's error-disturbance uncertainty relation". Scientific Reports. 3: 2221. Bibcode:2013NatSR...3E2221B. doi:10.1038/srep02221. PMC 3713528. PMID 23860715.
61. Ringbauer, M.; Biggerstaff, D.N.; Broome, M.A.; Fedrizzi, A.; Branciard, C.; White, A.G. (2014). "Experimental Joint Quantum Measurements with Minimum Uncertainty". Physical Review Letters. 112 (2): 020401. arXiv:1308.5688. Bibcode:2014PhRvL.112b0401R. doi:10.1103/PhysRevLett.112.020401. PMID 24483993. S2CID 18730255.
62. Björk, G.; Söderholm, J.; Trifonov, A.; Tsegaye, T.; Karlsson, A. (1999). "Complementarity and the uncertainty relations". Physical Review. A60 (3): 1878. arXiv:quant-ph/9904069. Bibcode:1999PhRvA..60.1874B. doi:10.1103/PhysRevA.60.1874. S2CID 27371899.
63. Fujikawa, Kazuo (2012). "Universally valid Heisenberg uncertainty relation". Physical Review A. 85 (6): 062117. arXiv:1205.1360. Bibcode:2012PhRvA..85f2117F. doi:10.1103/PhysRevA.85.062117. S2CID 119640759.
64. Judge, D. (1964), "On the uncertainty relation for angle variables", Il Nuovo Cimento, 31 (2): 332–340, Bibcode:1964NCim...31..332J, doi:10.1007/BF02733639, S2CID 120553526
65. Bouten, M.; Maene, N.; Van Leuven, P. (1965), "On an uncertainty relation for angle variables", Il Nuovo Cimento, 37 (3): 1119–1125, Bibcode:1965NCim...37.1119B, doi:10.1007/BF02773197, S2CID 122838645
66. Louisell, W. H. (1963), "Amplitude and phase uncertainty relations", Physics Letters, 7 (1): 60–61, Bibcode:1963PhL.....7...60L, doi:10.1016/0031-9163(63)90442-6
67. DeWitt, B. S.; Graham, N. (1973), The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton: Princeton University Press, pp. 52–53, ISBN 0-691-08126-3
68. Hirschman, I. I. Jr. (1957), "A note on entropy", American Journal of Mathematics, 79 (1): 152–156, doi:10.2307/2372390, JSTOR 2372390.
69. Beckner, W. (1975), "Inequalities in Fourier analysis", Annals of Mathematics, 102 (6): 159–182, doi:10.2307/1970980, JSTOR 1970980, PMC 432369, PMID 16592223.
70. Bialynicki-Birula, I.; Mycielski, J. (1975), "Uncertainty Relations for Information Entropy in Wave Mechanics", Communications in Mathematical Physics, 44 (2): 129–132, Bibcode:1975CMaPh..44..129B, doi:10.1007/BF01608825, S2CID 122277352, archived from the original on 2021-02-08, retrieved 2021-08-17
71. Huang, Yichen (24 May 2011). "Entropic uncertainty relations in multidimensional position and momentum spaces". Physical Review A. 83 (5): 052124. arXiv:1101.2944. Bibcode:2011PhRvA..83e2124H. doi:10.1103/PhysRevA.83.052124. S2CID 119243096.
72. Chafaï, D. (2003), "Gaussian maximum of entropy and reversed log-Sobolev inequality", Séminaire de Probabilités XXXVI, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1801, pp. 194–200, arXiv:math/0102227, doi:10.1007/978-3-540-36107-7_5, ISBN 978-3-540-00072-3, S2CID 17795603
73. Chiew, Shao-Hen; Gessner, Manuel (31 January 2022). "Improving sum uncertainty relations with the quantum Fisher information". Physical Review Research. 4 (1): 013076. arXiv:2109.06900. Bibcode:2022PhRvR...4a3076C. doi:10.1103/PhysRevResearch.4.013076. S2CID 237513883.
74. Havin, V.; Jöricke, B. (1994), The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag
75. Folland, Gerald; Sitaram, Alladi (May 1997), "The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey", Journal of Fourier Analysis and Applications, 3 (3): 207–238, doi:10.1007/BF02649110, MR 1448337, S2CID 121355943
76. Sitaram, A (2001) [1994], "Uncertainty principle, mathematical", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
77. Matt Hall, "What is the Gabor uncertainty principle?" Archived 2018-02-09 at the Wayback Machine
78. Donoho, D.L.; Stark, P.B (1989). "Uncertainty principles and signal recovery". SIAM Journal on Applied Mathematics. 49 (3): 906–931. doi:10.1137/0149053.
79. Terence Tao (2005), "An uncertainty principle for cyclic groups of prime order", Mathematical Research Letters, 12 (1): 121–127, arXiv:math/0308286, doi:10.4310/MRL.2005.v12.n1.a11, S2CID 8548232
80. Amrein, W.O.; Berthier, A.M. (1977), "On support properties of L^p-functions and their Fourier transforms", Journal of Functional Analysis, 24 (3): 258–267, doi:10.1016/0022-1236(77)90056-8.
81. Benedicks, M. (1985), "On Fourier transforms of functions supported on sets of finite Lebesgue measure", J. Math. Anal. Appl., 106 (1): 180–183, doi:10.1016/0022-247X(85)90140-4
82. Nazarov, F. (1994), "Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the uncertainty principle type", St. Petersburg Math. J., 5: 663–717
83. Jaming, Ph. (2007), "Nazarov's uncertainty principles in higher dimension", J. Approx. Theory, 149 (1): 30–41, arXiv:math/0612367, doi:10.1016/j.jat.2007.04.005, S2CID 9794547
84. Hardy, G.H. (1933), "A theorem concerning Fourier transforms", Journal of the London Mathematical Society, 8 (3): 227–231, doi:10.1112/jlms/s1-8.3.227
85. Hörmander, L. (1991), "A uniqueness theorem of Beurling for Fourier transform pairs", Ark. Mat., 29 (1–2): 231–240, Bibcode:1991ArM....29..237H, doi:10.1007/BF02384339, S2CID 121375111
86. Bonami, A.; Demange, B.; Jaming, Ph. (2003), "Hermite functions and uncertainty principles for the Fourier and the windowed Fourier transforms", Rev. Mat. Iberoamericana, 19: 23–55, arXiv:math/0102111, Bibcode:2001math......2111B, doi:10.4171/RMI/337, S2CID 1211391
87. Hedenmalm, Haakan (2012), "Heisenberg's uncertainty principle in the sense of Beurling", Journal d'Analyse Mathématique, 118 (2): 691–702, arXiv:1203.5222, Bibcode:2012arXiv1203.5222H, doi:10.1007/s11854-012-0048-9, S2CID 54533890
88. Demange, Bruno (2009), Uncertainty Principles Associated to Non-degenerate Quadratic Forms, Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-297-6
89. Whittaker, Edmund T. (1989). A history of the theories of aether & electricity. Vol. II: The modern theories, 1900–1926 (Repr ed.). New York: Dover Publ. p. 267. ISBN 978-0-486-26126-3.
90. "This Month in Physics History". www.aps.org. Archived from the original on 2011-01-30. Retrieved 2023-11-04.
91. Heisenberg, W. (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (in German), Leipzig: Hirzel English translation The Physical Principles of Quantum Theory. Chicago: University of Chicago Press, 1930.
92. Heisenberg, W., Die Physik der Atomkerne, Taylor & Francis, 1952, p. 30.
93. Cassidy, David; Saperstein, Alvin M. (2009), "Beyond Uncertainty: Heisenberg, Quantum Physics, and the Bomb", Physics Today, 63 (1), New York: Bellevue Literary Press: 185, Bibcode:2010PhT....63a..49C, doi:10.1063/1.3293416, archived from the original on Jan 4, 2024
94. Greenstein, George; Zajonc, Arthur (2006). The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-2470-2.
95. Tipler, Paul A.; Llewellyn, Ralph A. (1999), Modern Physics, vol. 3, W.H. Freeman & Co., p. 3, ISBN 978-1572591646, LCCN 98046099
96. Enz, Charles Paul; von Meyenn, Karl (1994). Writings on Physics and Philosophy by Wolfgang Pauli. Translated by Robert Schlapp. Springer-Verlag. p. 43. ISBN 3-540-56859-X. Archived from the original on 2020-08-19. Retrieved 2018-02-10.
97. Feynman lectures on Physics, vol 3, 2–2
98. Gamow, G., The great physicists from Galileo to Einstein, Courier Dover, 1988, p.260.
99. Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr and the Great Debate About the Nature of Reality, Icon, 2009, p. 282.
100. Gamow, G., The great physicists from Galileo to Einstein, Courier Dover, 1988, pp. 260–261. ^{[ISBN missing]}
101. Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr and the Great Debate About the Nature of Reality, Icon, 2009, p. 287.
102. Einstein, A.; Podolsky, B.; Rosen, N. (1935-05-15). "Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?". Physical Review. 47 (10): 777–780. Bibcode:1935PhRv...47..777E. doi:10.1103/PhysRev.47.777.
103. Kumar, Manjit (2011). Quantum: Einstein, Bohr and the great debate about the nature of reality (1st pbk. ed.). New York: Norton. ISBN 978-0-393-33988-8.
104. Popper, Karl (1959), The Logic of Scientific Discovery, Hutchinson & Co.
105. Jarvie, Ian Charles; Milford, Karl; Miller, David W (2006), Karl Popper: a centenary assessment, vol. 3, Ashgate Publishing, ISBN 978-0-7546-5712-5
106. Popper, Karl; Carl Friedrich von Weizsäcker (1934), "Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Critique of the Uncertainty Relations)", Naturwissenschaften, 22 (48): 807–808, Bibcode:1934NW.....22..807P, doi:10.1007/BF01496543, S2CID 40843068.
107. Popper, K. Quantum theory and the schism in Physics, Unwin Hyman Ltd, 1982, pp. 53–54.
108. Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (2001), The Historical Development of Quantum Theory, Springer, ISBN 978-0-387-95086-0
109. Compton, A. H. (1931). "The Uncertainty Principle and Free Will". Science. 74 (1911): 172. Bibcode:1931Sci....74..172C. doi:10.1126/science.74.1911.172. PMID 17808216. S2CID 29126625.
110. Heisenberg, M. (2009). "Is free will an illusion?". Nature. 459 (7244): 164–165. Bibcode:2009Natur.459..164H. doi:10.1038/459164a. PMID 19444190. S2CID 4420023.
111. Davies, P.C.W. (2004). "Does quantum mechanics play a non-trivial role in life?". Biosystems. 78 (1–3): 69–79. Bibcode:2004BiSys..78...69D. doi:10.1016/j.biosystems.2004.07.001. PMID 15555759.
112. Hänggi, Esther; Wehner, Stephanie (2013). "A violation of the uncertainty principle implies a violation of the second law of thermodynamics". Nature Communications. 4: 1670. arXiv:1205.6894. Bibcode:2013NatCo...4.1670H. doi:10.1038/ncomms2665. PMID 23575674. S2CID 205316392.
113. Kemble, E. C., 1937, The Fundamental Principles of Quantum Mechanics (McGraw-Hill, New York; reprinted by Dover), p. 244
114. Haag, R. (1996), Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras, (Berlin: Springer).^{[page needed][ISBN missing]}
115. Peres, Asher; Terno, Daniel R. (2004-01-06). "Quantum information and relativity theory". Reviews of Modern Physics. 76 (1): 93–123 [111]. arXiv:quant-ph/0212023. Bibcode:2004RvMP...76...93P. doi:10.1103/RevModPhys.76.93. ISSN 0034-6861. S2CID 7481797. Archived from the original on 2024-02-23. Retrieved 2024-01-25.
116. Elion, W. J.; Matters, M.; Geigenmüller, U.; Mooij, J. E. (1994), "Direct demonstration of Heisenberg's uncertainty principle in a superconductor", Nature, 371 (6498): 594–595, Bibcode:1994Natur.371..594E, doi:10.1038/371594a0, S2CID 4240085
117. Smithey, D. T.; M. Beck, J. Cooper, M. G. Raymer; Cooper, J.; Raymer, M. G. (1993), "Measurement of number–phase uncertainty relations of optical fields", Phys. Rev. A, 48 (4): 3159–3167, Bibcode:1993PhRvA..48.3159S, doi:10.1103/PhysRevA.48.3159, PMID 9909968{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
118. Caves, Carlton (1981), "Quantum-mechanical noise in an interferometer", Phys. Rev. D, 23 (8): 1693–1708, Bibcode:1981PhRvD..23.1693C, doi:10.1103/PhysRevD.23.1693

External links

• "Principio de incertidumbre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Entrada de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford