Lista de fórmulas que involucran π

La siguiente es una lista de fórmulas importantes que involucran la constante matemática π . Muchas de estas fórmulas se pueden encontrar en el artículo Pi o en el artículo Aproximaciones de π .

Geometría euclidiana

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}={\frac {C}{2r}}}$

donde C es la circunferencia de un círculo , d es el diámetro y r es el radio . De manera más general,

${\displaystyle \pi ={\frac {L}{w}}}$

donde L y w son, respectivamente, el perímetro y el ancho de cualquier curva de ancho constante .

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

donde A es el área de un círculo . De manera más general,

${\displaystyle A=\pi ab}$

donde A es el área encerrada por una elipse con semieje mayor a y semieje menor b .

${\displaystyle C={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (a,b)}}\left(a_{1}^{2}-\sum _{n=2}^{\infty }2^{n-1}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})\right)}$

donde C es la circunferencia de una elipse con semieje mayor a y semieje menor b y son las iteraciones aritméticas y geométricas de , la media aritmético-geométrica de a y b con los valores iniciales y . ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {agm} (a,b)}$ ${\displaystyle a_{0}=a}$ ${\displaystyle b_{0}=b}$

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$

donde A es el área entre la bruja de Agnesi y su línea asintótica; r es el radio del círculo que la define.

${\displaystyle A={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {\pi }}}}r^{2}={\frac {\pi r^{2}}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}}$

donde A es el área de una ardilla con radio menor r , es la función gamma . ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}}$

donde A es el área de un epicicloide con el círculo más pequeño de radio r y el círculo más grande de radio kr ( ), asumiendo que el punto inicial se encuentra en el círculo más grande. ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle A={\frac {(-1)^{k}+3}{8}}\pi a^{2}}$

donde A es el área de una rosa con frecuencia angular k ( ) y amplitud a . ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle L={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}c={\frac {2\pi c}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}}$

donde L es el perímetro de la lemniscata de Bernoulli con distancia focal c .

${\displaystyle V={4 \over 3}\pi r^{3}}$

donde V es el volumen de una esfera y r es el radio.

${\displaystyle SA=4\pi r^{2}}$

donde SA es el área de la superficie de una esfera y r es el radio.

${\displaystyle H={1 \over 2}\pi ^{2}r^{4}}$

donde H es el hipervolumen de una 3-esfera y r es el radio.

${\displaystyle SV=2\pi ^{2}r^{3}}$

donde SV es el volumen superficial de una 3-esfera y r es el radio.

Polígonos convexos regulares

Suma S de ángulos internos de un polígono regular convexo con n lados:

${\displaystyle S=(n-2)\pi }$

Área A de un polígono regular convexo con n lados y longitud de lado s :

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$

Radio r de un polígono convexo regular con n lados y longitud de lado s :

${\displaystyle r={\frac {s}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$

Radio circunscrito R de un polígono regular convexo de n lados y longitud lateral s :

${\displaystyle R={\frac {s}{2}}\csc {\frac {\pi }{n}}}$

Física

• La constante cosmológica :

  ${\displaystyle \Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho }$

• Principio de incertidumbre de Heisenberg :

  ${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}$

• Ecuación de campo de la relatividad general de Einstein :

  ${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

• Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica en el vacío:

  ${\displaystyle F={\frac {|q_{1}q_{2}|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$

• Permeabilidad magnética del espacio libre : ^{[nota 1]}

  ${\displaystyle \mu _{0}\approx 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}}$

• Periodo aproximado de un péndulo simple de pequeña amplitud:

  ${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

• Período exacto de un péndulo simple con amplitud ( es la media aritmético-geométrica ): ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {agm} }$

  ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (1,\cos(\theta _{0}/2))}}{\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

• Periodo de un sistema resorte-masa con constante de resorte y masa : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

  ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$

• Tercera ley de Kepler sobre el movimiento planetario :

  ${\displaystyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}}$

• La fórmula del pandeo :

  ${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}}$

Un rompecabezas que involucra "bolas de billar que chocan":

${\displaystyle \lfloor {b^{N}\pi }\rfloor }$

es el número de colisiones realizadas (en condiciones ideales, perfectamente elásticas sin fricción) por un objeto de masa m inicialmente en reposo entre una pared fija y otro objeto de masa b ^{2 N} m , cuando es golpeado por el otro objeto. ^[1] (Esto da los dígitos de π en base b hasta N dígitos más allá del punto de la base).

Fórmulas que dan como resultadoπ

Integrales

${\displaystyle 2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=\pi }$(integrando dos mitades para obtener el área del círculo unitario) ${\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} x\,dx=\pi }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-1/2t^{2}-x^{2}+xt}\,dx\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-t^{2}-1/2x^{2}+xt}\,dx\,dt=\pi }$

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi }$^{[2] [nota 2]} (véase también distribución de Cauchy )

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi }$(ver integral de Dirichlet )

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$(ver integral gaussiana ).

${\displaystyle \oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i}$(cuando el camino de integración gira una vez en sentido antihorario alrededor de 0. Véase también la fórmula integral de Cauchy ).

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx=\pi }$^[3]

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx={22 \over 7}-\pi }$(ver también Prueba de que 22/7 excede π ).

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{2}(1+x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx=\pi -{17 \over 15}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}}{x+1}}\,dx={\frac {\pi }{\sin \pi \alpha }},\quad 0<\alpha <1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {x(x+a)(x+b)}}}={\frac {\pi }{\operatorname {agm} ({\sqrt {a}},{\sqrt {b}})}}}$(donde es la media aritmético-geométrica ; ^[4] véase también integral elíptica ) ${\displaystyle \operatorname {agm} }$

Téngase en cuenta que con integrandos simétricos , las fórmulas de la forma también se pueden traducir a fórmulas . ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\textstyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx}$ ${\textstyle 2\int _{0}^{a}f(x)\,dx}$

Serie infinita eficiente

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}}$(ver también Factorial doble )

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{2^{k}(2k+1)!!}}={\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!\,(2k)!\,(25k-3)}{(3k)!\,2^{k}}}={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k}}}={\frac {4270934400}{{\sqrt {10005}}\pi }}}$(ver algoritmo de Chudnovsky )

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\pi }}}$(ver Srinivasa Ramanujan , serie Ramanujan–Sato )

Los siguientes son eficientes para calcular dígitos binarios arbitrarios de π :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)=\pi }$^[5]

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi }$(ver fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe )

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)=2\pi }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{2^{10k}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4k+1}}-{\frac {1}{4k+3}}+{\frac {2^{8}}{10k+1}}-{\frac {2^{6}}{10k+3}}-{\frac {2^{2}}{10k+5}}-{\frac {2^{2}}{10k+7}}+{\frac {1}{10k+9}}\right)=2^{6}\pi }$

Serie de Plouffe para calcular dígitos decimales arbitrarios de π : ^[6]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k)!}}=\pi +3}$

Otras series infinitas

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$(ver también el problema de Basilea y la función zeta de Riemann )

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}\,={\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots =(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$, donde B _{2 n} es un número de Bernoulli .

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\,\zeta (n+1)=\pi }$^[7]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {7^{n}-1}{8^{n}}}\,\zeta (n+1)=(1+{\sqrt {2}})\pi }$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}(\zeta (n)-1)=\ln \pi }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\zeta (2n){\frac {x^{2n}}{n}}=\ln {\frac {\pi x}{\sin \pi x}},\quad 0<|x|<1}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}}$(ver fórmula de Leibniz para pi )

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n^{2}-n)/2}}{2n+1}}=1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-\cdots ={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}$( Newton , Segunda carta a Oldenburg , 1676) ^[8]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}=1-{\frac {1}{3^{1}\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+{\frac {1}{3^{4}\cdot 9}}-\cdots ={\sqrt {3}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}}$( Serie Madhava )

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{24}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{3}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{4}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{5}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{6}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}}$

En general,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}=(-1)^{k}{\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1},\quad k\in \mathbb {N} _{0}}$

donde es el ésimo número de Euler . ^[9] ${\displaystyle E_{2k}}$ ${\displaystyle 2k}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)(4n+3)}}={\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n^{2}+n)/2+1}\left|G_{\left((-1)^{n+1}+6n-3\right)/4}\right|=|G_{1}|+|G_{2}|-|G_{4}|-|G_{5}|+|G_{7}|+|G_{8}|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots ={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}}$(ver coeficientes de Gregory )

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}={\frac {1}{\pi }}}$(donde es el factorial ascendente ) ^[10] ${\displaystyle (x)_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}}=\pi -3}$( Serie Nilakantha )

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {4\pi ^{2}}{25{\sqrt {5}}}}}$(donde está el n -ésimo número de Fibonacci ) ${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {L_{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\pi ^{2}}{5}}}$(donde está el n -ésimo número de Lucas ) ${\displaystyle L_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma (n)e^{-2\pi n}={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{8\pi }}}$(donde es la función suma de divisores ) ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots }$   (donde es el número de factores primos de la forma de ) ^{[11] [12]} ${\displaystyle \varepsilon (n)}$ ${\displaystyle p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots }$   (donde es el número de factores primos de la forma de ) ^[13] ${\displaystyle \varepsilon (n)}$ ${\displaystyle p\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \pi =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1/2}}}$

${\displaystyle \pi ^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+1/2)^{2}}}}$^[14]

Las dos últimas fórmulas son casos especiales de

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{\sin \pi x}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+x}}\\\left({\frac {\pi }{\sin \pi x}}\right)^{2}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}\end{aligned}}}$

que generan infinitas fórmulas análogas para cuando ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} .}$

Aquí se dan algunas fórmulas que relacionan π y los números armónicos . Otras series infinitas que involucran π son: ^[15]

donde es el símbolo de Pochhammer para el factorial ascendente . Véase también la serie de Ramanujan-Sato . ${\displaystyle (x)_{n}}$

Fórmulas de tipo maquinista

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan 1}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$(la fórmula original de Machin )

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

Productos infinitos

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}$(Euler)

donde los numeradores son los primos impares; cada denominador es el múltiplo de cuatro más cercano al numerador.

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}=\left(\displaystyle \prod _{p\equiv 1{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\displaystyle \prod _{p\equiv 5{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {5}{6}}\cdot {\frac {7}{6}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{18}}\cdots }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots }$(ver también producto Wallis )

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)^{+1}\left(1+{\frac {1}{2}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{3}}\right)^{+1}\cdots }$(otra forma del producto Wallis)

Fórmula de Viète :

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots }$

Una fórmula de producto doble infinito que involucra la secuencia de Thue-Morse :

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{m\geq 1}\prod _{n\geq 1}\left({\frac {(4m^{2}+n-2)(4m^{2}+2n-1)^{2}}{4(2m^{2}+n-1)(4m^{2}+n-1)(2m^{2}+n)}}\right)^{\epsilon _{n}},}$

donde y es la secuencia Thue-Morse (Tóth 2020). ${\displaystyle \epsilon _{n}=(-1)^{t_{n}}}$ ${\displaystyle t_{n}}$

Fórmulas de arcotangente

${\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},}$

donde tal que . ${\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}}$ ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2k+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

¿Dónde está el k -ésimo número de Fibonacci? ${\displaystyle F_{k}}$

${\displaystyle \pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c}$

siempre que y , , sean números reales positivos (véase Lista de identidades trigonométricas ). Un caso especial es ${\displaystyle a+b+c=abc}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.}$

Funciones complejas

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$( Identidad de Euler )

Las siguientes equivalencias son verdaderas para cualquier complejo : ${\displaystyle z}$

${\displaystyle e^{z}\in \mathbb {R} \leftrightarrow \Im z\in \pi \mathbb {Z} }$

${\displaystyle e^{z}=1\leftrightarrow z\in 2\pi i\mathbb {Z} }$^[16]

También

${\displaystyle {\frac {1}{e^{z}-1}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-2\pi in}}-{\frac {1}{2}},\quad z\in \mathbb {C} .}$

Supongamos que una red está formada por dos periodos . Definimos los cuasi-periodos de esta red por y donde es la función zeta de Weierstrass ( y de hecho son independientes de ). Entonces los periodos y los cuasi-periodos están relacionados por la identidad de Legendre : ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$ ${\displaystyle \eta _{1}=\zeta (z+\omega _{1};\Omega )-\zeta (z;\Omega )}$ ${\displaystyle \eta _{2}=\zeta (z+\omega _{2};\Omega )-\zeta (z;\Omega )}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \eta _{1}}$ ${\displaystyle \eta _{2}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \eta _{1}\omega _{2}-\eta _{2}\omega _{1}=2\pi i.}$

Fracciones continuas

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}$^[17]

${\displaystyle {\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}={2+{\cfrac {1^{2}}{4+{\cfrac {3^{2}}{4+{\cfrac {5^{2}}{4+{\cfrac {7^{2}}{4+\ddots \,}}}}}}}}}\quad }$( Ramanujan , es la constante de lemniscata ) ^[18] ${\displaystyle \varpi }$

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}$^[17]

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 2\pi ={6+{\cfrac {2^{2}}{12+{\cfrac {6^{2}}{12+{\cfrac {10^{2}}{12+{\cfrac {14^{2}}{12+{\cfrac {18^{2}}{12+\ddots }}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi =4-{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1-{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1-{\cfrac {2}{1+{\cfrac {3}{1-{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

Para obtener más información sobre la cuarta identidad, consulte la fórmula de fracción continua de Euler .

(Véase también Fracción continua y Fracción continua generalizada .)

Algoritmos iterativos

${\displaystyle a_{0}=1,\,a_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{2n+1}}\right)a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}^{2}}{n}}}$

${\displaystyle a_{1}=0,\,a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}},\,\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-a_{n}}}}$(estrechamente relacionada con la fórmula de Viète)

${\displaystyle \omega (i_{n},i_{n-1},\dots ,i_{1})=2+i_{n}{\sqrt {2+i_{n-1}{\sqrt {2+\cdots +i_{1}{\sqrt {2}}}}}}=\omega (b_{n},b_{n-1},\dots ,b_{1}),\,i_{k}\in \{-1,1\},\,b_{k}={\begin{cases}0&{\text{if }}i_{k}=1\\1&{\text{if }}i_{k}=-1\end{cases}},\,\pi ={\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{n+1}}{2h+1}}{\sqrt {\omega \left(\underbrace {10\ldots 0} _{n-m}g_{m,h+1}\right)}}}}$(donde es la entrada h+1-ésima del código Gray de m bits , ) ^[19] ${\displaystyle g_{m,h+1}}$ ${\displaystyle h\in \left\{0,1,\ldots ,2^{m}-1\right\}}$

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ,\,a_{1}=2^{-k},\,a_{n+1}=a_{n}+2^{-k}(1-\tan(2^{k-1}a_{n})),\,\pi =2^{k+1}\lim _{n\to \infty }a_{n}}$(convergencia cuadrática) ^[20]

${\displaystyle a_{1}=1,\,a_{n+1}=a_{n}+\sin a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}}$(convergencia cúbica) ^[21]

${\displaystyle a_{0}=2{\sqrt {3}},\,b_{0}=3,\,a_{n+1}=\operatorname {hm} (a_{n},b_{n}),\,b_{n+1}=\operatorname {gm} (a_{n+1},b_{n}),\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$( Algoritmo de Arquímedes , véase también media armónica y media geométrica ) ^[22]

Para algoritmos más iterativos, consulte el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein .

Asintóticos

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$(tasa de crecimiento asintótico de los coeficientes binomiales centrales )

${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n^{3}}}}}$(tasa de crecimiento asintótica de los números catalanes )

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$( Aproximación de Stirling )

${\displaystyle \log n!\simeq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\log n-n+{\frac {\log 2\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}}$(donde está la función totiente de Euler ) ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6n}{\pi ^{2}}}}$

El símbolo significa que la relación entre el lado izquierdo y el lado derecho tiende a uno como . ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle n\to \infty }$

El símbolo significa que la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho tiende a cero cuando . ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Inversiones hipergeométricas

Siendo la función hipergeométrica : ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r_{2}(n)q^{n}={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)}$

dónde

${\displaystyle q=\exp \left(-\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

y es la función suma de dos cuadrados . ${\displaystyle r_{2}}$

Similarmente,

${\displaystyle 1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}},1,z\right)^{4}}$

dónde

${\displaystyle q=\exp \left(-2\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/6,5/6,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/6,5/6,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

y es una función divisora . ${\displaystyle \sigma _{3}}$

Se pueden dar más fórmulas de esta naturaleza, como lo explica la teoría de Ramanujan de funciones elípticas para bases alternativas.

Quizás las inversiones hipergeométricas más notables son los dos ejemplos siguientes, que involucran la función tau de Ramanujan y los coeficientes de Fourier del invariante J ( OEIS : A000521 ): ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathrm {j} }$

${\displaystyle \sum _{n=-1}^{\infty }\mathrm {j} _{n}q^{n}=256{\dfrac {(1-z+z^{2})^{3}}{z^{2}(1-z)^{2}}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n}={\dfrac {z^{2}(1-z)^{2}}{256}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)^{12}}$

donde en ambos casos

${\displaystyle q=\exp \left(-2\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}.}$

Además, al expandir la última expresión como una serie de potencias en

${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1-(1-z)^{1/4}}{1+(1-z)^{1/4}}}}$

y estableciendo , obtenemos una serie rápidamente convergente para : ^{[nota 3]} ${\displaystyle z=1/2}$ ${\displaystyle e^{-2\pi }}$

${\displaystyle e^{-2\pi }=w^{2}+4w^{6}+34w^{10}+360w^{14}+4239w^{18}+\cdots ,\quad w={\dfrac {1}{2}}{\dfrac {2^{1/4}-1}{2^{1/4}+1}}.}$

Misceláneas

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\frac {\pi }{\sin \pi s}}}$(Fórmula de reflexión de Euler, ver función Gamma )

${\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)}$(la ecuación funcional de la función zeta de Riemann)

${\displaystyle e^{-\zeta '(0)}={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle e^{\zeta '(0,1/2)-\zeta '(0,1)}={\sqrt {\pi }}}$(donde es la función zeta de Hurwitz y la derivada se toma con respecto a la primera variable) ${\displaystyle \zeta (s,a)}$

${\displaystyle \pi =\mathrm {B} (1/2,1/2)=\Gamma (1/2)^{2}}$(ver también función Beta )

${\displaystyle \pi ={\frac {\Gamma (3/4)^{4}}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})^{2}}}={\frac {\Gamma \left({1/4}\right)^{4/3}\operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})^{2/3}}{2}}}$(donde agm es la media aritmético-geométrica )

${\displaystyle \pi =\operatorname {agm} \left(\theta _{2}^{2}(1/e),\theta _{3}^{2}(1/e)\right)}$(donde y son las funciones theta de Jacobi ^[23] ) ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$

${\displaystyle \operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}$(debido a Gauss , ^[24] es la constante lemniscata ) ${\displaystyle \varpi }$

${\displaystyle \operatorname {N} (2\varpi )=e^{2\pi },\quad \operatorname {N} (\varpi )=e^{\pi /2}}$(donde está la función N de Gauss ) ${\displaystyle \operatorname {N} }$

${\displaystyle i\pi =\operatorname {Log} (-1)=\lim _{n\to \infty }n\left((-1)^{1/n}-1\right)}$(donde es el valor principal del logaritmo complejo ) ^{[nota 4]} ${\displaystyle \operatorname {Log} }$

${\displaystyle 1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}(n{\bmod {k}})}$(donde es el resto de la división de n por  k ) ${\textstyle n{\bmod {k}}}$

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r\end{cases}}}$(sumando el área de un círculo)

${\displaystyle \pi =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {4}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {n^{2}-k^{2}}}}$( Suma de Riemann para evaluar el área del círculo unitario)

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{4n}n!^{4}}{n(2n)!^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{4n}}{n{2n \choose n}^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}}$(combinando la aproximación de Stirling con el producto de Wallis)

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln {\frac {16}{\lambda (ni)}}}$(donde es la función lambda modular ) ^{[25] [nota 5]} ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {24}{\sqrt {n}}}\ln \left(2^{1/4}G_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {24}{\sqrt {n}}}\ln \left(2^{1/4}g_{n}\right)}$(donde y son los invariantes de clase de Ramanujan ) ^{[26] [nota 6]} ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}}$

Véase también

• Lista de identidades matemáticas
• Listas de temas de matemáticas
• Lista de identidades trigonométricas  – Igualdades que involucran funciones trigonométricas
• Lista de temas relacionados con π
• Lista de representaciones de e

Referencias

Notas

1. La relación fue válida hasta la revisión del SI de 2019 . ${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}}$
2. (forma integral de arctan sobre todo su dominio, dando el período de tan )
3. Los coeficientes se pueden obtener invirtiendo la serie de Puiseux de

   ${\displaystyle z\mapsto {\sqrt {z}}{\dfrac {\sum _{n=0}^{\infty }z^{2n^{2}+2n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }z^{2n^{2}}}}}$

   en . ${\displaystyle z=0}$
4. Se elige la raíz n con el argumento principal positivo más pequeño. ${\displaystyle n}$
5. Cuando , esto da aproximaciones algebraicas a la constante de Gelfond . ${\displaystyle n\in \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$
6. Cuando , esto da aproximaciones algebraicas a la constante de Gelfond . ${\displaystyle {\sqrt {n}}\in \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$

Otro

1. Galperin, G. (2003). "Jugando al billar con π (el número π desde el punto de vista del billar)" (PDF) . Dinámica regular y caótica . 8 (4): 375–394. doi :10.1070/RD2003v008n04ABEH000252.
2. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (tercera edición). McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-100276-6.pág. 4
3. A000796 – OEIS
4. Carson, BC (2010), "Integrales elípticas", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
5. Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001). π desatado . Springer-Verlag Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-540-66572-4.página 126
6. Gourdon, Xavier. "Cálculo del n-ésimo dígito decimal de π con poca memoria" (PDF) . Números, constantes y computación . p. 1.
7. Weisstein, Eric W. "Fórmulas Pi", MathWorld
8. Chrystal, G. (1900). Álgebra, un libro de texto elemental: Parte II . pág. 335.
9. Eymard, Pedro; Lafon, Jean-Pierre (2004). El número Pi . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3246-8.pág. 112
10. Cooper, Shaun (2017). Funciones theta de Ramanujan (primera edición). Springer. ISBN 978-3-319-56171-4.(pagina 647)
11. Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum (en latín). vol. 1.pág. 245
12. Carl B. Boyer , Una historia de las matemáticas , Capítulo 21, págs. 488-489
13. Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum (en latín). vol. 1.pág. 244
14. Wästlund, Johan. "Suma de cuadrados inversos mediante geometría euclidiana" (PDF) .El artículo presenta la fórmula con un signo menos, pero estos resultados son equivalentes.
15. Simon Plouffe / David Bailey. "El mundo de Pi". Pi314.net . Consultado el 29 de enero de 2011 .
    "Colección de series para π". Numbers.computation.free.fr . Consultado el 29 de enero de 2011 .
16. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (tercera edición). McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-100276-6.pág. 3
17. Loya, Paul (2017). Aspectos asombrosos y estéticos del análisis . Springer. pág. 589. ISBN 978-1-4939-6793-3.
18. Perron, Oskar (1957). Die Lehre von den Kettenbrüchen: Band II (en alemán) (Tercera ed.). BG Teubner.pág. 36, ec. 24
19. Vellucci, Pierluigi; Bersani, Alberto María (01/12/2019). "$$\pi $$-Fórmulas y código Gray". Ricerche di Matematica . 68 (2): 551–569. arXiv : 1606.09597 . doi :10.1007/s11587-018-0426-4. ISSN  1827-3491. S2CID  119578297.
20. Abrarov, Sanjar M.; Siddiqui, Rehan; Jagpal, Rajinder K.; Quine, Brendan M. (4 de septiembre de 2021). "Determinación algorítmica de un entero grande en la fórmula similar a una máquina de dos términos para π". Matemáticas . 9 (17): 2162. arXiv : 2107.01027 . doi : 10.3390/math9172162 .
21. Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001). π desatado . Springer-Verlag Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-540-66572-4.página 49
22. Eymard, Pedro; Lafon, Jean-Pierre (2004). El número Pi . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3246-8.pág. 2
23. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.página 225
24. Gilmore, Tomack. "La media aritmético-geométrica de Gauss" (PDF) . Universidad de Viena . pág. 13.
25. Borwein, J.; Borwein, P. (2000). "Ramanujan y Pi". Pi: un libro de consulta . Springer Link. págs. 588–595. doi :10.1007/978-1-4757-3240-5_62. ISBN . 978-1-4757-3242-9.
26. Eymard, Pedro; Lafon, Jean-Pierre (2004). El número Pi . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3246-8.pág. 248

• Tóth, László (2020), "Productos infinitos trascendentales asociados con la secuencia Thue-Morse +-1" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 23 : 20.8.2, arXiv : 2009.02025.

Lectura adicional

• Borwein, Peter (2000). «El asombroso número π» (PDF) . Nieuw Archief voor Wiskunde . 5ta serie. 1 (3): 254–258. Zbl  1173.01300.
• Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: Teoría de números 1: El sueño de Fermat . American Mathematical Society, Providence 1993, ISBN 0-8218-0863-X .