La identidad de Euler

Ecuación matemática que relaciona e, i y pi

En matemáticas , la identidad de Euler ^{[nota 1]} (también conocida como ecuación de Euler ) es la igualdad donde $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$

${\displaystyle e}$es el número de Euler , la base de los logaritmos naturales ,

${\displaystyle i}$es la unidad imaginaria , que por definición satisface , y ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle \pi }$es pi , la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro .

La identidad de Euler recibe su nombre del matemático suizo Leonhard Euler . Es un caso especial de la fórmula de Euler cuando se evalúa para . La identidad de Euler se considera un ejemplo de belleza matemática , ya que muestra una conexión profunda entre los números más fundamentales de las matemáticas. Además, se utiliza directamente en una prueba ^{[3] [4]} de que π es trascendental , lo que implica la imposibilidad de cuadrar el círculo . ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ ${\displaystyle x=\pi }$

Belleza matemática

La identidad de Euler se cita a menudo como un ejemplo de profunda belleza matemática . ^{[5] Tres de las operaciones} aritméticas básicas ocurren exactamente una vez cada una: suma , multiplicación y exponenciación . La identidad también vincula cinco constantes matemáticas fundamentales : ^[6]

• El número 0 , la identidad aditiva
• El número 1 , la identidad multiplicativa
• El número π ( π = 3,1415...), la constante fundamental del círculo
• El número e ( e = 2,718...), también conocido como número de Euler, que aparece ampliamente en el análisis matemático.
• El número i , la unidad imaginaria tal que ${\displaystyle i^{2}=-1}$

La ecuación a menudo se da en forma de una expresión igual a cero, lo que es una práctica común en varias áreas de las matemáticas.

Keith Devlin, profesor de matemáticas de la Universidad de Stanford, ha dicho: "como un soneto de Shakespeare que captura la esencia misma del amor, o una pintura que resalta la belleza de la forma humana que es mucho más que superficial, la ecuación de Euler llega a las profundidades de la existencia". ^[7] Y Paul Nahin , profesor emérito de la Universidad de New Hampshire , que ha escrito un libro dedicado a la fórmula de Euler y sus aplicaciones en el análisis de Fourier , describe la identidad de Euler como "de una belleza exquisita". ^[8]

La escritora matemática Constance Reid ha opinado que la identidad de Euler es «la fórmula más famosa de todas las matemáticas». ^[9] Y Benjamin Peirce , un filósofo , matemático y profesor estadounidense del siglo XIX en la Universidad de Harvard , después de demostrar la identidad de Euler durante una conferencia, afirmó que la identidad «es absolutamente paradójica; no podemos entenderla y no sabemos lo que significa, pero la hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser la verdad». ^[10]

Una encuesta de lectores realizada por The Mathematical Intelligencer en 1990 nombró la identidad de Euler como el " teorema más hermoso de las matemáticas". ^[11] En otra encuesta de lectores realizada por Physics World en 2004, la identidad de Euler empató con las ecuaciones de Maxwell (del electromagnetismo ) como la "mayor ecuación jamás vista". ^[12]

Se han publicado al menos tres libros de matemática popular sobre la identidad de Euler:

• La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos , de Paul Nahin (2011) ^[13]
• Una ecuación muy elegante: la fórmula de Euler y la belleza de las matemáticas , por David Stipp (2017) ^[14]
• La ecuación pionera de Euler: el teorema más bello de las matemáticas , de Robin Wilson (2018). ^[15]

Explicaciones

Exponentes imaginarios

En esta animación, N toma varios valores crecientes de 1 a 100. El cálculo de (1 + ⁠yo π/norte⁠ ) ^​​N se muestra como el efecto combinado de N multiplicaciones repetidas en el plano complejo , siendo el punto final el valor real de (1 + ⁠yo π/norte⁠ ) ^​​N . Se puede ver que a medida que N se hace más grande (1 + ⁠yo π/norte⁠ ) ^​​N se acerca a un límite de −1.

La identidad de Euler afirma que es igual a −1. La expresión es un caso especial de la expresión , donde z es cualquier número complejo . En general, se define para z complejo extendiendo una de las definiciones de la función exponencial de exponentes reales a exponentes complejos. Por ejemplo, una definición común es: ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$

Por lo tanto, la identidad de Euler establece que el límite de es igual a −1 cuando n tiende al infinito . Este límite se ilustra en la animación de la derecha. ${\displaystyle (1+i\pi /n)^{n}}$

Fórmula de Euler para un ángulo general

La identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler , que establece que para cualquier número real x ,

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

donde las entradas de las funciones trigonométricas seno y coseno se dan en radianes .

En particular, cuando x = π ,

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$

Desde

${\displaystyle \cos \pi =-1}$

y

${\displaystyle \sin \pi =0,}$

resulta que

${\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i,}$

lo que produce la identidad de Euler:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Interpretación geométrica

Cualquier número complejo puede representarse mediante el punto en el plano complejo . Este punto también puede representarse en coordenadas polares como , donde r es el valor absoluto de z (distancia desde el origen), y es el argumento de z (ángulo en sentido antihorario desde el eje x positivo ). Según las definiciones de seno y coseno, este punto tiene coordenadas cartesianas de , lo que implica que . Según la fórmula de Euler, esto es equivalente a decir . ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$ ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

La identidad de Euler dice que . Como es para r = 1 y , esto se puede interpretar como un hecho sobre el número −1 en el plano complejo: su distancia desde el origen es 1 y su ángulo desde el eje x positivo es radianes. ${\displaystyle -1=e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle re^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Además, cuando cualquier número complejo z se multiplica por , tiene el efecto de rotar z en sentido antihorario en un ángulo de en el plano complejo. Dado que la multiplicación por −1 refleja un punto en el origen, la identidad de Euler se puede interpretar como que rotar cualquier punto radianes alrededor del origen tiene el mismo efecto que reflejar el punto en el origen. De manera similar, igualar a produce la ecuación relacionada que se puede interpretar como que rotar cualquier punto una vuelta alrededor del origen lo devuelve a su posición original. ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle e^{2\pi i}=1,}$

Generalizaciones

La identidad de Euler es también un caso especial de la identidad más general de que las raíces n -ésimas de la unidad , para n > 1 , suman 0:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.}$

La identidad de Euler es el caso donde n = 2 .

Una identidad similar también se aplica a los cuaterniones exponenciales : sean { i , j , k } los cuaterniones base ; entonces,

${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.}$

De manera más general, sea q un cuaternión con una parte real cero y una norma igual a 1 ; es decir, con Entonces se tiene ${\displaystyle q=ai+bj+ck,}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.}$

${\displaystyle e^{q\pi }+1=0.}$

La misma fórmula se aplica a los octoniones , con una parte real cero y una norma igual a 1. Estas fórmulas son una generalización directa de la identidad de Euler, ya que y son los únicos números complejos con una parte real cero y una norma (valor absoluto) igual a 1 . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i}$

Historia

Si bien la identidad de Euler es un resultado directo de la fórmula de Euler , publicada en su monumental obra de análisis matemático en 1748, Introductio in analysin infinitorum , ^[16] es cuestionable si el concepto particular de vincular cinco constantes fundamentales en una forma compacta puede atribuirse al propio Euler, ya que es posible que nunca lo haya expresado. ^[17]

Robin Wilson afirma lo siguiente. ^[18]

Hemos visto cómo [la identidad de Euler] puede deducirse fácilmente de los resultados de Johann Bernoulli y Roger Cotes , pero ninguno de ellos parece haberlo hecho. Ni siquiera Euler parece haberlo escrito explícitamente –y ciertamente no aparece en ninguna de sus publicaciones–, aunque seguramente debe haberse dado cuenta de que se sigue inmediatamente de su identidad [es decir, la fórmula de Euler ], e ^ix = cos x + i sen x . Además, parece que se desconoce quién fue el primero en enunciar explícitamente el resultado...

Véase también

• Portal de matemáticas

• La fórmula de De Moivre
• Función exponencial
• La constante de Gelfond

Notas

1. El término "identidad de Euler" (o "identidad de Euler") también se utiliza en otros lugares para referirse a otros conceptos, incluida la fórmula general relacionada e ^ix = cos x + i sen x , ^[1] y la fórmula del producto de Euler . ^[2] Véase también Lista de cosas nombradas en honor a Leonhard Euler .

Referencias

1. Dunham, 1999, pág. xxiv.
2. Stepanov, SA (2001) [1994], "Identidad de Euler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
3. Milla, Lorenz (2020), La trascendencia de π y la cuadratura del círculo , arXiv : 2003.14035
4. Hines, Robert. "e es trascendental" (PDF) . Universidad de Colorado . Archivado (PDF) del original el 23 de junio de 2021.
5. Gallagher, James (13 de febrero de 2014). «Matemáticas: por qué el cerebro ve las matemáticas como belleza». BBC News Online . Consultado el 26 de diciembre de 2017 .
6. Paulos, 1992, pág. 117.
7. Nahin, 2006, pág. 1.
8. Nahin, 2006, pág. xxxii.
9. Reid, capítulo e .
10. Maor, pág. 160, y Kasner & Newman, págs. 103-104.
11. Pozos, 1990.
12. Pliegue, 2004.
13. Nahin, Paul (2011). La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2.
14. Stipp, David (2017). Una ecuación muy elegante: la fórmula de Euler y la belleza de las matemáticas (Primera edición). Basic Books. ISBN 978-0-465-09377-9.
15. Wilson, Robin (2018). La ecuación pionera de Euler: el teorema más bello de las matemáticas . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879493-6.
16. Conway y Guy, págs. 254-255.
17. Sandifer, pág. 4.
18. Wilson, pág. 151-152.

Fuentes

• Conway, John H. y Guy, Richard K. (1996), El libro de los números , Springer ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crease, Robert P. (10 de mayo de 2004), "Las ecuaciones más grandiosas jamás creadas", Physics World [se requiere registro]
• Dunham, William (1999), Euler: El maestro de todos nosotros , Asociación Matemática de América ISBN 978-0-88385-328-3 
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri ópera omnia. 1, Ópera matemática. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus , Leipzig: BG Teubneri
• Kasner, E. y Newman, J. (1940), Matemáticas e imaginación , Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998), e : La historia de un número , Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7 
• Nahin, Paul J. (2006), La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos , Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2 
• Paulos, John Allen (1992), Más allá de la aritmética: un diccionario poco común de matemáticas , Penguin Books ISBN 0-14-014574-5 
• Reid, Constance (varias ediciones), De cero al infinito , Asociación Matemática de América
• Sandifer, C. Edward (2007), Los grandes éxitos de Euler , Asociación Matemática de América ISBN 978-0-88385-563-8 
• Stipp, David (2017), Una ecuación muy elegante: la fórmula de Euler y la belleza de las matemáticas , Libros básicos
• Wells, David (1990). "¿Son estos los más bellos?". The Mathematical Intelligencer . 12 (3): 37–41. doi :10.1007/BF03024015. S2CID  121503263.
• Wilson, Robin (2018), La ecuación pionera de Euler: el teorema más bello de las matemáticas , Oxford University Press , ISBN 978-0-192-51406-6
• Zeki, S. ; Romaya, JP; Benincasa, DMT; Atiyah, MF (2014), "La experiencia de la belleza matemática y sus correlatos neuronales", Frontiers in Human Neuroscience , 8 : 68, doi : 10.3389/fnhum.2014.00068 , PMC  3923150 , PMID  24592230

Enlaces externos

• Comprensión intuitiva de la fórmula de Euler