Teorema de inversión de Lagrange

Fórmula para el desarrollo en serie de Taylor de la función inversa de una función analítica

En análisis matemático , el teorema de inversión de Lagrange , también conocido como fórmula de Lagrange-Bürmann , da la expansión en serie de Taylor de la función inversa de una función analítica . La inversión de Lagrange es un caso especial del teorema de la función inversa .

Declaración

Supongamos que z se define como una función de w mediante una ecuación de la forma

${\displaystyle z=f(w)}$

donde f es analítica en un punto a y Entonces es posible invertir o resolver la ecuación para w , expresándola en la forma dada por una serie de potencias ^[1] ${\displaystyle f'(a)\neq 0.}$ ${\displaystyle w=g(z)}$

${\displaystyle g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},}$

dónde

${\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left[\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].}$

El teorema establece además que esta serie tiene un radio de convergencia distinto de cero, es decir, representa una función analítica de z en una vecindad de Esto también se llama reversión de serie . ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z=f(a).}$

Si se omiten las afirmaciones sobre analiticidad, la fórmula también es válida para series de potencias formales y puede generalizarse de varias maneras: puede formularse para funciones de varias variables; se puede ampliar para proporcionar una fórmula lista para F ( g ( z )) para cualquier función analítica F ; y se puede generalizar al caso en el que la inversa g es una función multivaluada. ${\displaystyle f'(a)=0,}$

El teorema fue demostrado por Lagrange ^[2] y generalizado por Hans Heinrich Bürmann , ^{[3] [4] [5]} ambos a finales del siglo XVIII. Existe una derivación sencilla mediante análisis complejos e integración de contornos ; ^[6] la versión de series de potencias formales complejas es consecuencia de conocer la fórmula de los polinomios , por lo que se puede aplicar la teoría de funciones analíticas . En realidad, la maquinaria de la teoría analítica de funciones entra sólo de manera formal en esta prueba, en el sentido de que lo que realmente se necesita es alguna propiedad del residuo formal , y se dispone de una prueba formal más directa.

Si f es una serie de potencias formal, entonces la fórmula anterior no proporciona los coeficientes de la serie inversa composicional g directamente en términos de los coeficientes de la serie f . Si se pueden expresar las funciones f y g en series de potencias formales como

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}}$

con f ₀ = 0 y f ₁ ≠ 0 , entonces se puede dar una forma explícita de coeficientes inversos en términos de polinomios de Bell : ^[7]

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\overline {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\quad n\geq 2,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\\g_{1}&={\frac {1}{f_{1}}},{\text{ and}}\\n^{\overline {k}}&=n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}}$

es el factorial creciente .

Cuando f ₁ = 1 , la última fórmula se puede interpretar en términos de las caras de los asociaedros ^[8]

${\displaystyle g_{n}=\sum _{F{\text{ face of }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F},\quad n\geq 2,}$

donde para cada cara del asociaedro ${\displaystyle f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}}$ ${\displaystyle F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}}$ ${\displaystyle K_{n}.}$

Ejemplo

Por ejemplo, la ecuación algebraica de grado p

${\displaystyle x^{p}-x+z=0}$

se puede resolver para x mediante la fórmula de inversión de Lagrange para la función f ( x ) = x − x ^p , lo que da como resultado una solución formal en serie

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {pk}{k}}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.}$

Según las pruebas de convergencia, esta serie es de hecho convergente para el cual también es el disco más grande en el que se puede definir una inversa local de f . ${\displaystyle |z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)},}$

Derivación

Podemos usar el teorema de la integral de Cauchy:

${\displaystyle f^{-1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{f(C)}{\frac {f^{-1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi }$

y sustituir:

${\displaystyle \xi =f(\omega )}$

${\displaystyle d\xi =f'(\omega )d\omega }$

${\displaystyle f(C)\rightarrow C}$

${\displaystyle f^{-1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\omega }{f(\omega )-z}}f'(\omega )d\omega }$

usando series geométricas:

${\displaystyle {\frac {1}{f(\omega )-z}}={\frac {1}{f(\omega )-f(a)-z+f(a)}}={\frac {1}{f(\omega )-f(a)}}{\frac {1}{1-{\frac {z-f(a)}{f(\omega )-f(a)}}}}={\frac {1}{f(\omega )-f(a)}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-f(a)}{f(\omega )-f(a)}}\right)^{n}}$

${\displaystyle f^{-1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-f(a)}\right)^{n}\oint _{C}{\frac {\omega f'(\omega )}{(f(\omega )-f(a))^{n+1}}}d\omega }$

ahora por integración por partes: y de donde obtenemos: ${\displaystyle u=\omega }$ ${\displaystyle dv={\frac {f'(\omega )}{(f(\omega )-f(a))^{n+1}}}}$ ${\displaystyle uv={\frac {-1}{n}}{\frac {e^{i\theta }}{(f(e^{i\theta })-f(a))^{n}}}{\Biggl |}_{0}^{2\pi }=0}$

${\displaystyle f^{-1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({z-f(a)})^{n}}{n}}\oint _{C}{\frac {1}{(f(\omega )-f(a))^{n}}}d\omega }$

por teorema del residuo:

${\displaystyle f^{-1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({z-f(a)})^{n}}{n}}\operatorname {Res} ({\frac {1}{(f(\omega )-f(a))^{n}}},w=a)}$

finalmente:

${\displaystyle f^{-1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({z-f(a)})^{n}}{n!}}\lim _{\omega \to a}{\frac {d^{n-1}}{d\omega ^{n-1}}}\left({\frac {\omega -a}{f(\omega )-f(a)}}\right)^{n}}$

Aplicaciones

Fórmula de Lagrange-Bürmann

Hay un caso especial del teorema de inversión de Lagrange que se usa en combinatoria y se aplica cuando para alguna analítica con Take se obtiene Entonces, para la inversa (satisfactorio ), tenemos ${\displaystyle f(w)=w/\phi (w)}$ ${\displaystyle \phi (w)}$ ${\displaystyle \phi (0)\neq 0.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle f(a)=f(0)=0.}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle f(g(z))\equiv z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}}$

que se puede escribir alternativamente como

${\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},}$

donde es un operador que extrae el coeficiente de en la serie de Taylor de una función de w . ${\displaystyle [w^{r}]}$ ${\displaystyle w^{r}}$

Una generalización de la fórmula se conoce como fórmula de Lagrange-Bürmann :

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})}$

donde H es una función analítica arbitraria.

A veces, la derivada H ′ ( w ) puede resultar bastante complicada. Una versión más simple de la fórmula reemplaza H ′ ( w ) con H ( w )(1 − φ ′ ( w )/ φ ( w )) para obtener

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),}$

que involucra φ ′ ( w ) en lugar de H ′ ( w ) .

Función de Lambert W

La función Lambert W es la función que está implícitamente definida por la ecuación ${\displaystyle W(z)}$

${\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.}$

Podemos usar el teorema para calcular la serie de Taylor de en Tomamos y Reconociendo que ${\displaystyle W(z)}$ ${\displaystyle z=0.}$ ${\displaystyle f(w)=we^{w}}$ ${\displaystyle a=0.}$

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},}$

esto da

${\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}}$

El radio de convergencia de esta serie es (dando la rama principal de la función de Lambert). ${\displaystyle e^{-1}}$

Una serie que converge para (aproximadamente ) también se puede derivar mediante inversión de series. La función satisface la ecuación. ${\displaystyle |ln(z)-1|<{4+\pi ^{2}}}$ ${\displaystyle 2.58\ldots \cdot 10^{-6}<z<2.869\ldots \cdot 10^{6}}$ ${\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1}$

${\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.}$

Luego se puede expandir a una serie de potencias e invertir. ^[9] Esto proporciona una serie para ${\displaystyle z+\ln(1+z)}$ ${\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}}$

${\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).}$

${\displaystyle W(x)}$se puede calcular sustituyendo z en la serie anterior. Por ejemplo, sustituir −1 por z da el valor de ${\displaystyle \ln x-1}$ ${\displaystyle W(1)\approx 0.567143.}$

árboles binarios

Considere ^[10] el conjunto de árboles binarios sin etiquetar . Un elemento de es una hoja de tamaño cero o un nodo raíz con dos subárboles. Denote por el número de árboles binarios en los nodos. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Al eliminar la raíz, se divide un árbol binario en dos árboles de menor tamaño. Esto produce la ecuación funcional de la función generadora. ${\displaystyle \textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}}$

${\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}$

Dejemos que se tenga por lo tanto Aplicar el teorema con rendimientos ${\displaystyle C(z)=B(z)-1}$ ${\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}$ ${\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}$

${\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}$

Esto demuestra que es el enésimo número catalán . ${\displaystyle B_{n}}$

Aproximación asintótica de integrales

En el teorema de Laplace-Erdelyi que da la aproximación asintótica para las integrales de tipo Laplace, la inversión de funciones se toma como un paso crucial.

Ver también

• La fórmula de Faà di Bruno da coeficientes de la composición de dos series de potencias formales en términos de los coeficientes de esas dos series. De manera equivalente, es una fórmula para la enésima derivada de una función compuesta.
• Teorema de reversión de Lagrange para otro teorema a veces llamado teorema de inversión
• Serie de potencias formales # La fórmula de inversión de Lagrange

Referencias

1. M. Abramowitz; IA Stegun, eds. (1972). "3.6.6. Expansión de Lagrange". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas. Nueva York: Dover. pag. 14.
2. Lagrange, Joseph-Louis (1770). "Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries". Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin : 251–326.https://archive.org/details/uvresdelagrange18natigoog/page/n13 (Nota: aunque Lagrange presentó este artículo en 1768, no se publicó hasta 1770).
3. Bürmann, Hans Heinrich, "Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum", presentado en 1796 al Institut National de France. Para un resumen de este artículo, ver: Hindenburg, Carl Friedrich, ed. (1798). "Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges von Herrn Bürmann" [Intento de análisis simplificado; un extracto de un resumen del Sr. Bürmann]. Archiv der reinen und angewandten Mathematik [ Archivo de matemáticas puras y aplicadas ]. vol. 2. Leipzig, Alemania: Schäferischen Buchhandlung. págs. 495–499.
4. Bürmann, Hans Heinrich, "Formules du développement, de retour et d'integration", presentado al Institut National de France. El manuscrito de Bürmann sobrevive en los archivos de la École Nationale des Ponts et Chaussées [Escuela Nacional de Puentes y Carreteras] de París. (Ver ms. 1715.)
5. Un informe sobre el teorema de Bürmann de Joseph-Louis Lagrange y Adrien-Marie Legendre aparece en: "Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann", Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques , vol. 2, páginas 13-17 (1799).
6. ET Whittaker y GN Watson . Un curso de análisis moderno . Prensa de la Universidad de Cambridge; 4ª edición (2 de enero de 1927), págs. 129-130
7. Ec. (11.43), pág. 437, CA Charalambides, Combinatoria enumerativa, Chapman & Hall / CRC, 2002
8. Aguiar, Marcelo; Ardila, Federico (2017). "Monoides de Hopf y permutaedros generalizados". arXiv : 1709.07504 [math.CO].
9. Corless, Robert M.; Jeffrey, David J.; Knuth, Donald E. (julio de 1997). "Una secuencia de series para la función Lambert W". Actas del simposio internacional de 1997 sobre computación simbólica y algebraica . págs. 197-204.
10. Harris, Juan; Hirst, Jeffry L.; Mossinghoff, Michael (2008). Combinatoria y Teoría de Grafos . Saltador. pag. 185-189. ISBN 978-0387797113.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Bürmann". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Reversión de serie". MundoMatemático .
• Serie Bürmann-Lagrange en Springer EOM