Constante lemniscata

Relación entre el perímetro de la lemniscata de Bernoulli y su diámetro

Lemniscata de Bernoulli

En matemáticas , la constante lemniscata ϖ es una constante matemática trascendental que es la relación entre el perímetro de la lemniscata de Bernoulli y su diámetro , análoga a la definición de π para el círculo. ^[1] De manera equivalente, el perímetro de la lemniscata es 2 ϖ . La constante lemniscata está estrechamente relacionada con las funciones elípticas lemniscatas y es aproximadamente igual a 2,62205755. ^[2] También aparece en la evaluación de la función gamma y beta en ciertos valores racionales. El símbolo ϖ es una variante cursiva de π ; véase Pi § Variante pi . ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}}$

A veces las cantidades 2 ϖ o ϖ/2 se denominan constante lemniscata . ^{[3] [4]}

A partir de 2024 se habrán calculado más de 1,2 billones de dígitos de esta constante. ^[5]

Historia

La constante de Gauss , denotada por G , es igual a ϖ / π ≈ 0,8346268 ^[6] y lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss , quien la calculó a través de la media aritmético-geométrica como . ^[7] En 1799, Gauss tenía dos pruebas del teorema de que donde es la constante lemniscata. ^[8] ${\displaystyle 1/M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}=\pi /\varpi }$ ${\displaystyle \varpi }$

John Todd nombró dos constantes lemniscatas más, la primera constante lemniscata A = ϖ /2 ≈ 1,3110287771 y la segunda constante lemniscata B = π /(2 ϖ ) ≈ 0,5990701173 . ^{[9] [10] [11]}

La constante lemniscata y la primera constante lemniscata de Todd fueron demostradas trascendentales por Carl Ludwig Siegel en 1932 y más tarde por Theodor Schneider en 1937 y la segunda constante lemniscata de Todd y la constante de Gauss fueron demostradas trascendentales por Theodor Schneider en 1941. ^{[9] [12] [13]} En 1975, Gregory Chudnovsky demostró que el conjunto es algebraicamente independiente sobre , lo que implica que y también son algebraicamente independientes. ^{[14] [15]} Pero el conjunto (donde el primo denota la derivada con respecto a la segunda variable) no es algebraicamente independiente sobre . ^[16] En 1996, Yuri Nesterenko demostró que el conjunto es algebraicamente independiente sobre . ^[17] ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{\pi ,\varpi \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\bigl \{}\pi ,M{\bigl (}1,1/{\sqrt {2}}{\bigr )},M'{\bigl (}1,1/{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr \}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{\pi ,\varpi ,e^{\pi }\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Formularios

Generalmente se define por la primera igualdad a continuación, pero tiene muchas formas equivalentes: ^[18] ${\displaystyle \varpi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t-t^{3}}}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{3}-t}}}\\[6mu]&=4\int _{0}^{\infty }{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{1+t^{4}}}-t{\Bigr )}\,\mathrm {d} t=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{1}{\sqrt[{4}]{1-t^{4}}}\mathop {\mathrm {d} t} =3\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{4}}}\,\mathrm {d} t\\[2mu]&=2K(i)={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {2\pi }}}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{4}}{\frac {\zeta (3/4)^{2}}{\zeta (1/4)^{2}}}\\[5mu]&=2.62205\;75542\;92119\;81046\;48395\;89891\;11941\ldots ,\end{aligned}}}$$

donde K es la integral elíptica completa de primer tipo con módulo k , Β es la función beta , Γ es la función gamma y ζ es la función zeta de Riemann .

La constante lemniscata también se puede calcular mediante la media aritmético-geométrica , ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \varpi ={\frac {\pi }{M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}}.}$$

La constante de Gauss se define típicamente como el recíproco de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2 , según su cálculo publicado en 1800: ^[19] Las constantes lemniscatas de John Todd se pueden dar en términos de la función beta B: ${\displaystyle M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}$ $${\displaystyle G={\frac {1}{M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\varpi }{2}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )},\\[3mu]B&={\frac {\pi }{2\varpi }}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

Como valor especial de las funciones L

$${\displaystyle \beta '(0)=\log {\frac {\varpi }{\sqrt {\pi }}}}$$

que es análogo a

$${\displaystyle \zeta '(0)=\log {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$$

donde es la función beta de Dirichlet y es la función zeta de Riemann . ^[20] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \zeta }$

Análogamente a la fórmula de Leibniz para π , tenemos ^{[21] [22] [23] [24] [25]} donde es la función L de la curva elíptica sobre ; esto significa que es la función multiplicativa dada por donde es el número de soluciones de la congruencia en variables que son números enteros no negativos ( es el conjunto de todos los primos). Equivalentemente, viene dada por donde tales que y es la función eta . ^{[26] [27] [28]} El resultado anterior se puede escribir de forma equivalente como (el número es el conductor de ) y también nos dice que la conjetura BSD es verdadera para el anterior . ^[29] Los primeros valores de vienen dados por la siguiente tabla; si tal que no aparece en la tabla, entonces : $${\displaystyle \beta (1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n}}={\frac {\pi }{4}},}$$ $${\displaystyle L(E,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\nu (n)}{n}}={\frac {\varpi }{4}}}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E:\,y^{2}=x^{3}-x}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \nu (p^{n})={\begin{cases}p-{\mathcal {N}}_{p},&p\in \mathbb {P} ,\,n=1\\[5mu]0,&p=2,\,n\geq 2\\[5mu]\nu (p)\nu (p^{n-1})-p\nu (p^{n-2}),&p\in \mathbb {P} \setminus \{2\},\,n\geq 2\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}}$ $${\displaystyle a^{3}-a\equiv b^{2}\,(\operatorname {mod} p),\quad p\in \mathbb {P} }$$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle F(\tau )=\eta (4\tau )^{2}\eta (8\tau )^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (n)q^{n},\quad q=e^{2\pi i\tau }}$$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {\Im } \tau >0}$ ${\displaystyle \eta }$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\nu (n)}{n}}e^{-2\pi n/{\sqrt {32}}}={\frac {\varpi }{8}}}$$ ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 1\leq n\leq 113}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nu (n)=0}$ $${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline n&\nu (n)&n&\nu (n)\\\hline 1&1&53&14\\\hline 5&-2&61&-10\\\hline 9&-3&65&-12\\\hline 13&6&73&-6\\\hline 17&2&81&9\\\hline 25&-1&85&-4\\\hline 29&-10&89&10\\\hline 37&-2&97&18\\\hline 41&10&101&-2\\\hline 45&6&109&6\\\hline 49&-7&113&-14\\\hline \end{array}}}$$

Como valor especial de otras funciones

Sea el nivel de peso mínimo de la nueva forma. Entonces ^[30] El coeficiente de es la función tau de Ramanujan . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle 1}$ $${\displaystyle \Delta (i)={\frac {1}{64}}\left({\frac {\varpi }{\pi }}\right)^{12}.}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \Delta }$

Serie

La fórmula de Viète para π se puede escribir:

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$$

Una fórmula análoga para ϖ es: ^[31]

$${\displaystyle {\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}\!{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$$

El producto de Wallis para π es:

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\biggr )}\cdots }$$

Una fórmula análoga para ϖ es: ^[32]

$${\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n-2}}\cdot {\frac {4n}{4n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{6}}\cdot {\frac {8}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{10}}\cdot {\frac {12}{13}}{\biggr )}\cdots }$$

Un resultado relacionado para la constante de Gauss ( ) es: ^[33] ${\displaystyle G=\varpi /\pi }$

$${\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n}}\cdot {\frac {4n+2}{4n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {6}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{8}}\cdot {\frac {10}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{12}}\cdot {\frac {14}{13}}{\biggr )}\cdots }$$

Una serie infinita descubierta por Gauss es: ^[34]

$${\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k-1)^{2}}{(2k)^{2}}}=1-{\frac {1^{2}}{2^{2}}}+{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}}}-{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}\cdot 6^{2}}}+\cdots }$$

La fórmula de Machin para π es y se pueden desarrollar varias fórmulas similares para π utilizando identidades trigonométricas de suma de ángulos, por ejemplo, la fórmula de Euler . Se pueden desarrollar fórmulas análogas para ϖ , incluidas las siguientes encontradas por Gauss: , donde es el arcoseno de la lemniscata . ^[35] ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239}},}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\arctan {\tfrac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}}$ ${\displaystyle \operatorname {arcsl} }$

La constante lemniscata se puede calcular rápidamente mediante la serie ^{[36] [37]}

${\displaystyle \varpi =2^{-1/2}\pi {\biggl (}\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}{\biggr )}^{2}=2^{1/4}\pi e^{-\pi /12}{\biggl (}\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi p_{n}}{\biggr )}^{2}}$

donde (estos son los números pentagonales generalizados ). También ^[38] ${\displaystyle p_{n}={\tfrac {1}{2}}(3n^{2}-n)}$

${\displaystyle \sum _{m,n\in \mathbb {Z} }e^{-2\pi (m^{2}+mn+n^{2})}={\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\dfrac {\varpi }{12^{1/8}\pi }}.}$

En un espíritu similar al del problema de Basilea ,

${\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}(i)={\frac {\varpi ^{4}}{15}}}$

donde son los números enteros gaussianos y es la serie de Eisenstein de pesos ( ver Funciones elípticas lemniscatas § Números de Hurwitz para un resultado más general). ^[39] ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle G_{4}}$ ${\displaystyle 4}$

Un resultado relacionado es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)e^{-2\pi n}={\frac {\varpi ^{4}}{80\pi ^{4}}}-{\frac {1}{240}}}$

donde es la suma de los divisores positivos de la función . ^[40] ${\displaystyle \sigma _{3}}$

En 1842, Malmsten encontró

${\displaystyle \beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\log(2n+1)}{2n+1}}={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\log {\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}\right)}$

donde es la constante de Euler y es la función Dirichlet-Beta. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta (s)}$

La constante de lemniscata viene dada por la serie rápidamente convergente

$${\displaystyle \varpi =\pi {\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}{\biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}{\biggr )}^{2}.}$$

La constante también viene dada por el producto infinito

${\displaystyle \varpi =\pi \prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}$

También ^[41]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{6635520^{n}}}{\frac {(4n)!}{n!^{4}}}={\frac {24}{5^{7/4}}}{\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}}}.}$

Fracciones continuas

Una fracción continua (generalizada) para π es Una fórmula análoga para ϖ es ^[10] $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2\cdot 3}{2+{\cfrac {4\cdot 5}{2+{\cfrac {6\cdot 7}{2+\ddots }}}}}}}}}$$

Defina la fracción continua de Brouncker por ^[42] Sea excepto por la primera igualdad donde . Entonces ^{[43] [44]} Por ejemplo, $${\displaystyle b(s)=s+{\cfrac {1^{2}}{2s+{\cfrac {3^{2}}{2s+{\cfrac {5^{2}}{2s+\ddots }}}}}},\quad s>0.}$$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b(4n)&=(4n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(4k-1)^{2}}{(4k-3)(4k+1)}}{\frac {\pi }{\varpi ^{2}}}\\b(4n+1)&=(2n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}}{\frac {4}{\pi }}\\b(4n+2)&=(4n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(4k-3)(4k+1)}{(4k-1)^{2}}}{\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}\\b(4n+3)&=(2n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k-1)(2k+1)}{(2k)^{2}}}\,\pi .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b(1)&={\frac {4}{\pi }},&b(2)&={\frac {\varpi ^{2}}{\pi }},&b(3)&=\pi ,&b(4)&={\frac {9\pi }{\varpi ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

De hecho, los valores de y , acoplados con la ecuación funcional, determinan los valores de para todo . ${\displaystyle b(1)}$ ${\displaystyle b(2)}$ $${\displaystyle b(s+2)={\frac {(s+1)^{2}}{b(s)}},}$$ ${\displaystyle b(n)}$ ${\displaystyle n}$

Fracciones continuas simples

Las fracciones continuas simples para la constante lemniscata y constantes relacionadas incluyen ^{[45] [46]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=[2,1,1,1,1,1,4,1,2,\ldots ],\\[8mu]2\varpi &=[5,4,10,2,1,2,3,29,\ldots ],\\[5mu]{\frac {\varpi }{2}}&=[1,3,4,1,1,1,5,2,\ldots ],\\[2mu]{\frac {\varpi }{\pi }}&=[0,1,5,21,3,4,14,\ldots ].\end{aligned}}}$$

Integrales

Una representación geométrica de y ${\displaystyle \varpi /2}$ ${\displaystyle \varpi /{\sqrt {2}}}$

La constante lemniscata ϖ está relacionada con el área bajo la curva . Definiendo , el doble del área en el cuadrante positivo bajo la curva es En el caso cuártico, ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$ ${\displaystyle \pi _{n}\mathrel {:=} \mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$ ${\textstyle 2\int _{0}^{1}{\sqrt[{n}]{1-x^{n}}}\mathop {\mathrm {d} x} ={\tfrac {1}{n}}\pi _{n}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi _{4}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\varpi .}$

En 1842, Malmsten descubrió que ^[47]

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log(-\log x)}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\log {\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}.}$$

Además, $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\tanh x}{x}}e^{-x}\,dx=\log {\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}}$$

y ^[48]

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\,dx={\frac {\sqrt {2\varpi {\sqrt {2\pi }}}}{4}},\quad {\text{analogous to}}\,\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}},}$$una forma de integral gaussiana .

La constante lemniscata aparece en la evaluación de las integrales

$${\displaystyle {\frac {\pi }{\varpi }}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)}}\,dx}$$

$${\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}$$

Las constantes lemniscatas de John Todd se definen mediante integrales: ^[9]

$${\displaystyle A=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$$

$${\displaystyle B=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$$

Circunferencia de una elipse

La constante lemniscata satisface la ecuación ^[49]

$${\displaystyle {\frac {\pi }{\varpi }}=2\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$$

Euler descubrió en 1738 que para la elástica rectangular (constantes de primera y segunda lemniscata) ^{[50] [49]}

$${\displaystyle {\textrm {arc}}\ {\textrm {length}}\cdot {\textrm {height}}=A\cdot B=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\cdot \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\mathop {\mathrm {d} x} }{\sqrt {1-x^{4}}}}={\frac {\varpi }{2}}\cdot {\frac {\pi }{2\varpi }}={\frac {\pi }{4}}}$$

Ahora, considerando la circunferencia de la elipse con ejes y , satisfaciendo , Stirling notó que ^[51] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2x^{2}+4y^{2}=1}$

$${\displaystyle {\frac {C}{2}}=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}+\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$$

Por lo tanto la circunferencia completa es

$${\displaystyle C={\frac {\pi }{\varpi }}+\varpi =3.820197789\ldots }$$

Esta es también la longitud del arco de la curva sinusoidal en medio período: ^[52]

$${\displaystyle C=\int _{0}^{\pi }{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx}$$

Otros límites

De manera análoga a donde están los números de Bernoulli , tenemos donde están los números de Hurwitz . $${\displaystyle 2\pi =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(2n)!}{\mathrm {B} _{2n}}}\right|^{\frac {1}{2n}}}$$ ${\displaystyle \mathrm {B} _{n}}$ $${\displaystyle 2\varpi =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {(4n)!}{\mathrm {H} _{4n}}}\right)^{\frac {1}{4n}}}$$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}}$

Notas

1. Ver:
   • Gauss, CF (1866). Werke (Banda III) (en latín y alemán). Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.pág. 404
   • Cox 1984, pág. 281
   • Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (2004). El número Pi . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3246-8.pág. 199
   • Bottazzini, Umberto ; Gray, Jeremy (2013). Armonía oculta: fantasías geométricas: el auge de la teoría de funciones complejas . Springer. doi :10.1007/978-1-4614-5725-1. ISBN . 978-1-4614-5724-4.pág. 57
   • Arakawa, Tsuneo; Ibukiyama, Tomoyoshi; Kaneko, Masanobu (2014). Números de Bernoulli y funciones Zeta . Saltador. ISBN 978-4-431-54918-5.pág. 203
2. Ver:
   • Finch 2003, pág. 420
   • Kobayashi, Hiroyuki; Takeuchi, Shingo (2019), "Aplicaciones de funciones trigonométricas generalizadas con dos parámetros", Communications on Pure & Applied Analysis , 18 (3): 1509–1521, arXiv : 1903.07407 , doi :10.3934/cpaa.2019072, S2CID  102487670
   • Asai, Tetsuya (2007), Sumas de Gauss elípticas y valores L de Hecke en s=1 , arXiv : 0707.3711
   • "A062539 - Oís".
3. "A064853 - Oís".
4. "Constante de lemniscata".
5. "Récords establecidos por y-cruncher". numberworld.org . Consultado el 20 de agosto de 2024 .
6. "A014549 - Oís".
7. Finch 2003, pág. 420.
8. Ninguna de estas pruebas era rigurosa desde el punto de vista moderno. Véase Cox 1984, p. 281.
9. Todd, John (enero de 1975). "Las constantes lemniscatas". Comunicaciones de la ACM . 18 (1): 14–19. doi : 10.1145/360569.360580 . S2CID  85873.
10. "A085565 - Oeis".y "A076390 - Oeis".
11. Carlson, BC (2010), "Integrales elípticas", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
12. En particular, Siegel demostró que si y con son algebraicas, entonces o es trascendental. Aquí, y son series de Eisenstein . El hecho de que es trascendental se sigue de y ${\displaystyle \operatorname {G} _{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {G} _{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\omega _{2}/\omega _{1})>0}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {G} _{4}}$ ${\displaystyle \operatorname {G} _{6}}$ ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle \operatorname {G} _{4}(\varpi ,\varpi i)=1/15}$ ${\displaystyle \operatorname {G} _{6}(\varpi ,\varpi i)=0.}$
    Apostol, TM (1990). Funciones modulares y series de Dirichlet en la teoría de números (segunda edición). Springer. pág. 12. ISBN 0-387-97127-0.
    Siegel, CL (1932). "Über die Perioden elliptischer Funktionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 167 : 62–69.
13. En particular, Schneider demostró que la función beta es trascendental para todos los tales que . El hecho de que es trascendental se sigue de y de manera similar para B y G de ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$ ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle \varpi ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle \mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.}$
    Schneider, Theodor (1941). "Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 183 (19): 110-128. doi :10.1515/crll.1941.183.110. S2CID  118624331.
14. GV Choodnovsky: Independencia algebraica de las constantes relacionadas con las funciones de análisis , Avisos de la AMS 22, 1975, pág. A-486
15. GV Chudnovsky: Contribuciones a la teoría de los números trascendentales , American Mathematical Society, 1984, pág. 6
16. De hecho, $${\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}{M'\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}}={\frac {1}{G^{3}M'\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}}.}$$
    Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pág. 45
17. Nesterenko, YV; Philippon, P. (2001). Introducción a la teoría de la independencia algebraica . Springer. pág. 27. ISBN 3-540-41496-7.
18. Ver:
    • Cox 1984, pág. 281
    • Finch 2003, págs. 420–422
    • Schappacher, Norbert (1997). "Algunos hitos de la lemniscatomía" (PDF) . En Sertöz, S. (ed.). Geometría algebraica (Actas de la Escuela de verano de Bilkent, 7-19 de agosto de 1995, Ankara, Turquía). Marcel Dekker. pp. 257-290.
19. Cox 1984, pág. 277.
20. "A113847 - Oís".
21. Cremona, JE (1997). Algoritmos para curvas elípticas modulares (2.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0521598206.pág. 31, fórmula (2.8.10)
22. De hecho, la serie converge para . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\nu (n)}{n^{s}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {\Re } s>5/6}$
23. Murty, Vijaya Kumar (1995). Seminario sobre el último teorema de Fermat . American Mathematical Society . pág. 16. ISBN. 9780821803134.
24. Cohen, Henri (1993). Un curso de teoría algebraica computacional de números . Springer-Verlag. pág. 382–406. ISBN 978-3-642-08142-2.
25. "Curva elíptica con etiqueta LMFDB 32.a3 (etiqueta Cremona 32a2)". Base de datos de funciones L y formas modulares .
26. La función es la nueva forma del nivel de peso único y satisface la ecuación funcional ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 32}$

    ${\displaystyle F\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)=-{\frac {\tau ^{2}}{32}}F\left({\frac {\tau {\vphantom {1}}}{32}}\right).}$

27. La función está estrechamente relacionada con la función que es la función multiplicativa definida por ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \xi }$

    ${\displaystyle \xi (p^{n})={\begin{cases}{\mathcal {N}}_{p}',&p\in \mathbb {P} ,\,n=1\\[5mu]\xi (p^{n-1})+\chi (p)^{n},&p\in \mathbb {P} ,\,n\geq 2\end{cases}}}$

    ¿Dónde está el número de soluciones de la ecuación? ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}'}$

    ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p,\quad p\in \mathbb {P} }$

    en variables que son números enteros no negativos (ver el teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados ) y es el carácter de Dirichlet de la fórmula de Leibniz para π; también ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \chi }$

    ${\displaystyle \sum _{d|n}\chi (d)=\xi (n)}$

    para cualquier entero positivo donde la suma se extiende sólo sobre divisores positivos; la relación entre y es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \xi }$

    ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\xi (4k+1)\xi (4n-4k+1)=\nu (2n+1)}$

    donde es cualquier entero no negativo. ${\displaystyle n}$
28. La función también aparece en ${\displaystyle \nu }$

    ${\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {G} ;\,z{\overline {z}}=n}z=\nu (n)}$

    donde es cualquier entero positivo y es el conjunto de todos los enteros gaussianos de la forma ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbb {G} } }$

    ${\displaystyle (-1)^{\frac {a\pm b-1}{2}}(a\pm bi)}$

    donde es impar y es par. La función de la nota anterior satisface ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \xi }$

    ${\displaystyle \left|\{z:z\in \mathbb {G} \land z{\overline {z}}=n\}\right|=\xi (n)}$

    donde es positivo impar. ${\displaystyle n}$
29. Rubin, Karl (1987). "Grupos de Tate-Shafarevich y funciones L de curvas elípticas con multiplicación compleja". Inventiones mathematicae . 89 : 528.
30. "Newform orbit 1.12.aa". Base de datos de funciones L y formas modulares .
31. Levin (2006)
32. Hyde (2014) demuestra la validez de una fórmula más general tipo Wallis para las curvas de trébol; aquí el caso especial de la lemniscata se transforma ligeramente para mayor claridad.
33. Hyde, Trevor (2014). "Un producto de Wallis sobre tréboles" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 121 (3): 237–243. doi :10.4169/amer.math.monthly.121.03.237. S2CID  34819500.
34. Bottazzini, Umberto ; Gray, Jeremy (2013). Armonía oculta: fantasías geométricas: el auge de la teoría de funciones complejas . Springer. doi :10.1007/978-1-4614-5725-1. ISBN . 978-1-4614-5724-4.pág. 60
35. Todd (1975)
36. Cox 1984, p. 307, ecuación 2.21 para la primera igualdad. La segunda igualdad se puede demostrar utilizando el teorema del número pentagonal .
37. Berndt, Bruce C. (1998). Cuadernos de Ramanujan, parte V. Springer. ISBN 978-1-4612-7221-2.pág. 326
38. Esta fórmula se puede demostrar por inversión hipergeométrica : Sea

    ${\displaystyle \operatorname {a} (q)=\sum _{m,n\in \mathbb {Z} }q^{m^{2}+mn+n^{2}}}$

    donde con . Entonces ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left|q\right|<1}$

    ${\displaystyle \operatorname {a} (q)={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},1,z\right)}$

    dónde

    ${\displaystyle q=\exp \left(-{\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}(1/3,2/3,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/3,2/3,1,z)}}\right)}$

    donde . La fórmula en cuestión se deduce del establecimiento de . ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$ ${\textstyle z={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}3{\sqrt {3}}-5{\bigr )}}$
39. Eymard, Pedro; Lafon, Jean-Pierre (2004). El número Pi . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3246-8.pág. 232
40. Garrett, Paul. "Formas modulares elípticas de nivel uno" (PDF) . Universidad de Minnesota .pág. 11—13
41. La fórmula se deduce de la transformación hipergeométrica

    ${\displaystyle {}_{3}F_{2}\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},1,1,16z{\frac {(1-z)^{2}}{(1+z)^{4}}}\right)=(1+z)\,{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)^{2}}$

    donde y es la función lambda modular . ${\displaystyle z=\lambda (1+5i)}$ ${\displaystyle \lambda }$
42. Khrushchev, Sergey (2008). Polinomios ortogonales y fracciones continuas (Primera edición). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85419-1.p. 140 (ecuación 3.34), p. 153. Hay un error en la p. 153: debería ser . ${\displaystyle 4[\Gamma (3+s/4)/\Gamma (1+s/4)]^{2}}$ ${\displaystyle 4[\Gamma ((3+s)/4)/\Gamma ((1+s)/4)]^{2}}$
43. Khrushchev, Sergey (2008). Polinomios ortogonales y fracciones continuas (Primera edición). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85419-1.pág. 146, 155
44. Perron, Oskar (1957). Die Lehre von den Kettenbrüchen: Band II (en alemán) (Tercera ed.). BG Teubner.pág. 36, ec. 24
45. "A062540 - OEIS". oeis.org . Consultado el 14 de septiembre de 2022 .
46. "A053002 - OEIS". oeis.org .
47. Blagouchine, Iaroslav V. (2014). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados". The Ramanujan Journal . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474.
48. "A068467 - Oís".
49. Cox 1984, pág. 313.
50. Levien (2008)
51. Cox 1984, pág. 312.
52. Adlaj, Semjon (2012). "Una fórmula elocuente para el perímetro de una elipse" (PDF) . American Mathematical Society . pág. 1097. También se podría observar que la longitud de la curva "seno" durante medio período, es decir, la longitud del gráfico de la función sin(t) desde el punto donde t = 0 hasta el punto donde t = π, es . ${\displaystyle {\sqrt {2}}l(1/{\sqrt {2}})=L+M}$En este artículo y . ${\displaystyle M=1/G=\pi /\varpi }$ ${\displaystyle L=\pi /M=G\pi =\varpi }$

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Constante de lemniscata". MundoMatemático .
• Secuencias A014549, A053002 y A062539 en OEIS
• Cox, David A. (enero de 1984). «La media aritmético-geométrica de Gauss» (PDF) . L'Enseignement Mathématique . 30 (2): 275–330. doi :10.5169/seals-53831 . Consultado el 25 de junio de 2022 .
• Finch, Steven R. (18 de agosto de 2003). Constantes matemáticas. Cambridge University Press. pp. 420–422. ISBN 978-0-521-81805-6.

Enlaces externos

• "La constante de Gauss y dónde se encuentra". www.johndcook.com . 2021-10-17.