Números de Euler

Integers occurring in the coefficients of the Taylor series of 1/cosh t

En matemáticas , los números de Euler son una secuencia E _n de números enteros (secuencia A122045 en la OEIS ) definida por la expansión de la serie de Taylor.

${\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$,

¿Dónde está la función coseno hiperbólica ? Los números de Euler están relacionados con un valor especial de los polinomios de Euler , a saber: ${\displaystyle \cosh(t)}$

${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}$

Los números de Euler aparecen en las expansiones en serie de Taylor de las funciones secantes e hiperbólicas . Esta última es la función en la definición. También ocurren en combinatoria , específicamente al contar el número de permutaciones alternas de un conjunto con un número par de elementos.

Ejemplos

Los números de Euler con índice impar son todos cero . Los indexados pares (secuencia A028296 en la OEIS ) tienen signos alternos. Algunos valores son:

Algunos autores vuelven a indexar la secuencia para omitir los números impares de Euler con valor cero, o cambiar todos los signos a positivos (secuencia A000364 en la OEIS ). Este artículo se adhiere a la convención adoptada anteriormente.

Fórmulas explícitas

En términos de números de Stirling de segunda especie.

Las siguientes dos fórmulas expresan los números de Euler en términos de números de Stirling de segunda especie ^{[1] [2]}

${\displaystyle E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(\ell )}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )}\right),}$

${\displaystyle E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )},}$

donde denota los números de Stirling del segundo tipo y denota el factorial ascendente . ${\displaystyle S(n,\ell )}$ ${\displaystyle x^{(\ell )}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)}$

Como una doble suma

Las siguientes dos fórmulas expresan los números de Euler como sumas dobles ^[3]

${\displaystyle E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n},}$

${\displaystyle E_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}.}$

Como suma iterada

Una fórmula explícita para los números de Euler es: ^[4]

${\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},}$

donde i denota la unidad imaginaria con i ² = −1 .

Como suma sobre particiones

El número de Euler E _{2 n} se puede expresar como una suma de las particiones pares de 2 n , ^[5]

${\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}$

así como una suma sobre las particiones impares de 2 n − 1 , ^[6]

${\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}$

donde en ambos casos K = k ₁ + ··· + k _n y

${\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}$

es un coeficiente multinomial . Los deltas de Kronecker en las fórmulas anteriores restringen las sumas sobre k s a 2 k ₁ + 4 k ₂ + ··· + 2 nk _n = 2 n y a k ₁ + 3 k ₂ + ··· + (2 n − 1) k _norte = 2 norte − 1 , respectivamente.

Como ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}$

Como determinante

E _{2 n} está dado por el determinante

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

como integral

E _{2 n} también viene dado por las siguientes integrales:

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

Congruencias

W. Zhang ^[7] obtuvo las siguientes identidades combinacionales relativas a los números de Euler, para cualquier primo , tenemos ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}0\mod p&{\text{if }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{if }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}}$

W. Zhang y Z. Xu ^[8] demostraron que, para cualquier número primo y entero , tenemos ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$

${\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}}$

¿ Dónde está la función totiente de Euler ? ${\displaystyle \phi (n)}$

Aproximación asintótica

Los números de Euler crecen con bastante rapidez para los índices grandes, ya que tienen el siguiente límite inferior

${\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}$

Números en zigzag de Euler

La serie de Taylor es ${\displaystyle \sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},}$

donde An son los números en zigzag de Euler _, comenzando con

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (secuencia A000111 en el OEIS )

Para todos, incluso n ,

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},}$

donde E _n es el número de Euler; y para todos los n impares ,

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},}$

donde B _n es el número de Bernoulli .

Por cada n ,

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.}$^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• numero de campana
• número de Bernoulli
• Función beta de Dirichlet
• Constante de Euler-Mascheroni

Referencias

1. Jha, Sumit Kumar (2019). "Una nueva fórmula explícita para los números de Bernoulli que implican el número de Euler". Revista de Moscú de combinatoria y teoría de números . 8 (4): 385–387. doi :10.2140/moscú.2019.8.389. S2CID  209973489.
2. Jha, Sumit Kumar (15 de noviembre de 2019). "Una nueva fórmula explícita para los números de Euler en términos de los números de Stirling de segunda especie".
3. Wei, Chun Fu; Qi, Feng (2015). "Varias expresiones cerradas para los números de Euler". Revista de Desigualdades y Aplicaciones . 219 (2015). doi : 10.1186/s13660-015-0738-9 .
4. Tang, Ross (11 de mayo de 2012). "Una fórmula explícita para los números en zigzag de Euler (números arriba/abajo) de series de potencias" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 9 de abril de 2014.
5. Vella, David C. (2008). "Fórmulas explícitas para números de Bernoulli y Euler". Enteros . 8 (1): A1.
6. Malenfant, J. (2011). "Expresiones finitas en forma cerrada para la función de partición y para números de Euler, Bernoulli y Stirling". arXiv : 1103.1585 [matemáticas.NT].
7. Zhang, WP (1998). "Algunas identidades que involucran a Euler y los números factoriales centrales" (PDF) . Fibonacci trimestral . 36 (4): 154-157. Archivado (PDF) desde el original el 23 de noviembre de 2019.
8. Zhang, WP; Xu, ZF (2007). "Sobre una conjetura de los números de Euler". Revista de teoría de números . 127 (2): 283–291. doi : 10.1016/j.jnt.2007.04.004 .

enlaces externos

• "Números de Euler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Número de Euler". MundoMatemático .