Funciones de Weierstrass

Funciones matemáticas relacionadas con la función elíptica de Weierstrass

En matemáticas , las funciones de Weierstrass son funciones especiales de una variable compleja que son auxiliares de la función elíptica de Weierstrass . Llevan el nombre de Karl Weierstrass . La relación entre las funciones sigma, zeta y es análoga a la que existe entre las funciones seno, cotangente y cosecante al cuadrado: la derivada logarítmica del seno es la cotangente, cuya derivada es negativa la cosecante al cuadrado. ${\displaystyle \wp }$

Función sigma de Weierstrass

Gráfico de la función sigma usando coloración de dominio .

La función sigma de Weierstrass asociada a una red bidimensional se define como el producto ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)\exp \left({\frac {z}{w}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}\right)\\[5mu]&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)\exp {\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)^{2}\right)}\end{aligned}}}$

donde denota o son un par fundamental de períodos . ${\displaystyle \Lambda ^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda -\{0\}}$ ${\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2}\}}$

Mediante una manipulación cuidadosa del teorema de factorización de Weierstrass en su relación también con la función seno, otra definición de producto infinito potencialmente más manejable es

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}\exp {\left({\frac {\eta _{i}z^{2}}{\omega _{i}}}\right)}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left(\pi z/\omega _{i}\right)}}{\sin ^{2}{\left(n\pi \omega _{j}/\omega _{i}\right)}}}\right)}$

para cualquiera con y donde hayamos usado la notación (consulte la función zeta a continuación). ${\displaystyle \{i,j\}\in \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )}$

Función zeta de Weierstrass

Gráfico de la función zeta usando coloración de dominio

La función zeta de Weierstrass está definida por la suma

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).}$

La función zeta de Weierstrass es la derivada logarítmica de la función sigma. La función zeta se puede reescribir como:

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}}$

donde está la serie de Eisenstein de peso 2 k  + 2. ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}$

La derivada de la función zeta es , donde es la función elíptica de Weierstrass . ${\displaystyle -\wp (z)}$ ${\displaystyle \wp (z)}$

La función zeta de Weierstrass no debe confundirse con la función zeta de Riemann en teoría de números.

Función eta de Weierstrass

La función eta de Weierstrass se define como

${\displaystyle \eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C} }$y cualquier w en la red ${\displaystyle \Lambda }$

Esto está bien definido, es decir, sólo depende del vector reticular w . La función eta de Weierstrass no debe confundirse ni con la función eta de Dedekind ni con la función eta de Dirichlet . ${\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )}$

Función Weierstrass ℘

Gráfico de la función p usando coloración de dominio

La función p de Weierstrass está relacionada con la función zeta por

${\displaystyle \operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C} }$

La función ℘ de Weierstrass es una función elíptica par de orden N=2 con un doble polo en cada punto de la red y ningún otro polo.

caso degenerado

Considere la situación en la que un período es real, que podemos escalar para que sea y el otro se lleva al límite para que las funciones sean solo uniperiódicas. Las invariantes correspondientes son de discriminante . Entonces tenemos y por lo tanto de la definición anterior del producto infinito la siguiente igualdad: ${\displaystyle \omega _{1}=2\pi }$ ${\displaystyle \omega _{2}\rightarrow i\infty }$ ${\displaystyle \{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}}$ ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle \eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}}$

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}=2e^{z^{2}/24}\sin {\left({\tfrac {z}{2}}\right)}}$

Una generalización para otras funciones tipo seno en otras redes doblemente periódicas es

${\displaystyle f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1}}}e^{-(4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}}\operatorname {\sigma } {(2z;\Lambda )}}$

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