La conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa

Conjetura en geometría algebraica

En matemáticas , la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa es la afirmación de que el número de Tamagawa de un grupo algebraico simple simplemente conexo definido sobre un campo numérico es 1. En este caso, simplemente conexo significa "no tener una cobertura algebraica adecuada " en el grupo algebraico. sentido teórico , que no siempre es el significado de los topólogos . ${\displaystyle \tau (G)}$

Historia

Weil  (1959) calculó el número de Tamagawa en muchos casos de grupos clásicos y observó que es un número entero en todos los casos considerados y que era igual a 1 en los casos en que el grupo es simplemente conexo. La primera observación no es válida para todos los grupos: Ono (1963) encontró ejemplos en los que los números de Tamagawa no son números enteros. La segunda observación, que los números de Tamagawa de grupos semisimples simplemente conectados parecen ser 1, se conoció como la conjetura de Weil.

Robert Langlands (1966) introdujo métodos de análisis armónicos para demostrarlo para los grupos de Chevalley . KF Lai (1980) amplió la clase de casos conocidos a grupos reductivos cuasi divididos . Kottwitz (1988) lo demostró para todos los grupos que satisfacían el principio de Hasse , que en ese momento era conocido para todos los grupos sin factores E 8 . VI Chernousov (1989) eliminó esta restricción demostrando el principio de Hasse para el caso resistente E _{8 (ver} aproximación fuerte en grupos algebraicos ), completando así la prueba de la conjetura de Weil. En 2011, Jacob Lurie y Dennis Gaitsgory anunciaron una prueba de la conjetura para grupos algebraicos sobre campos funcionales sobre campos finitos, ^[1] publicada formalmente en Gaitsgory & Lurie (2019), y una prueba futura utilizando una versión de la traza de Grothendieck -Lefschetz. La fórmula se publicará en un segundo volumen.

Aplicaciones

Ono (1965) utilizó la conjetura de Weil para calcular los números de Tamagawa de todos los grupos algebraicos semisimples.

Para los grupos de espín , la conjetura implica la conocida fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel . ^[1]

Ver también

• número de tamagawa

Referencias

1. Lurie 2014.

• "Número de Tamagawa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Chernousov, VI (1989), "El principio de Hasse para grupos de tipo E8", Soviet Math. Dokl. , 39 : 592–596, SEÑOR  1014762
• Gaitsgory, Dennis ; Lurie, Jacob (2019), Conjetura de Weil para campos funcionales (volumen I), Annals of Mathematics Studies, vol. 199, Princeton: Princeton University Press , págs. viii, 311, ISBN 978-0-691-18213-1, SEÑOR  3887650, Zbl  1439.14006
• Kottwitz, Robert E. (1988), "Números de Tamagawa", Ann. de Matemáticas. , 2, 127 (3), Annals of Mathematics: 629–646, doi :10.2307/2007007, JSTOR  2007007, MR  0942522.
• Lai, KF (1980), "Número Tamagawa de grupos algebraicos reductivos", Compositio Mathematica , 41 (2): 153–188, SEÑOR  0581580
• Langlands, RP (1966), "El volumen del dominio fundamental para algunos subgrupos aritméticos de grupos de Chevalley", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos , Proc. Simposios. Pure Math., Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 143-148, SEÑOR  0213362
• Lurie, Jacob (2014), Números de Tamagawa a través de la dualidad de Nonabelian Poincaré
• Ono, Takashi (1963), "Sobre el número Tamagawa de tori algebraicos", Annals of Mathematics , segunda serie, 78 (1): 47–73, doi :10.2307/1970502, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970502, MR  0156851
• Ono, Takashi (1965), "Sobre la teoría relativa de los números de Tamagawa", Annals of Mathematics , segunda serie, 82 (1): 88–111, doi :10.2307/1970563, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970563, MR  0177991
• Tamagawa, Tsuneo (1966), "Adèles", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos , Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol. IX, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 113–121, MR  0212025
• Voskresenskii, VE (1991), Grupos algebraicos y sus invariantes biracionales , traducción AMS
• Weil, André (1959), Exp. N° 186, Adèles et groupes algébriques, Séminaire Bourbaki, vol. 5, págs. 249-257
• Weil, André (1982) [1961], Adeles y los grupos algebraicos, Progress in Mathematics, vol. 23, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-3-7643-3092-7, señor  0670072

Otras lecturas

• Aravind Asok, Brent Doran y Frances Kirwan, "La teoría de Yang-Mills y los números de Tamagawa: la fascinación de los vínculos inesperados en las matemáticas", 22 de febrero de 2013
• J. Lurie, La fórmula de la masa de Siegel, los números de Tamagawa y la dualidad de Nonabelian Poincaré publicado el 8 de junio de 2012.