En matemáticas , el número de Tamagawa de un grupo algebraico semisimple definido sobre un campo global k es la medida de , donde es el anillo de Adele de k . Los números de Tamagawa fueron introducidos por Tamagawa (1966) y Weil (1959) les puso su nombre .
La observación de Tsuneo Tamagawa fue que, a partir de una forma diferencial invariante ω en G , definida sobre k , la medida involucrada estaba bien definida : mientras que ω podría reemplazarse por cω con c un elemento distinto de cero de , la fórmula del producto para Las valoraciones en k se reflejan en la independencia de c de la medida del cociente, para la medida del producto construida a partir de ω en cada factor efectivo. El cálculo de números de Tamagawa para grupos semisimples contiene partes importantes de la teoría clásica de la forma cuadrática .
Sea k un campo global, A su anillo de adeles y G un grupo algebraico semisimple definido sobre k .
Elija medidas de Haar en las terminaciones k v de k tales que O v tenga volumen 1 para todos menos un número finito de lugares v . Luego, estos inducen una medida de Haar en A , que asumimos además está normalizada de modo que A / k tiene un volumen 1 con respecto a la medida del cociente inducido.
La medida de Tamagawa en el grupo algebraico adélico G ( A ) ahora se define de la siguiente manera. Tome una forma n invariante a la izquierda ω en G ( k ) definida sobre k , donde n es la dimensión de G . Esto, junto con las opciones anteriores de medida de Haar en k v , induce medidas de Haar en G ( k v ) para todos los lugares de v . Como G es semisimple, el producto de estas medidas produce una medida de Haar en G ( A ) , llamada medida de Tamagawa . La medida de Tamagawa no depende de la elección de ω, ni de la elección de medidas sobre el k v , porque al multiplicar ω por un elemento de k * se multiplica la medida de Haar sobre G ( A ) por 1, utilizando la fórmula del producto para valoraciones .
El número de Tamagawa τ ( G ) se define como la medida de Tamagawa de G ( A )/ G ( k ) .
La conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa establece que el número de Tamagawa τ ( G ) de un grupo algebraico simple simplemente conexo (es decir, que no tiene una cobertura algebraica adecuada ) definido sobre un campo numérico es 1. Weil (1959) calculó el número de Tamagawa en muchos casos de grupos clásicos y observó que es un número entero en todos los casos considerados y que era igual a 1 en los casos en que el grupo es simplemente conexo. Ono (1963) encontró ejemplos en los que los números de Tamagawa no son números enteros, pero la conjetura sobre el número de Tamagawa de grupos simplemente conectados fue probada en general por varios trabajos que culminaron en un artículo de Kottwitz (1988) y para el análogo sobre campos funcionales sobre finitos. campos de Gaitsgory y Lurie (2019).
