En álgebra abstracta , un grupo algebraico adélico es un grupo semitopológico definido por un grupo algebraico G sobre un campo numérico K , y el anillo de Adele A = A ( K ) de K. Consiste en que los puntos de G tengan valores en A ; la definición de la topología apropiada es sencilla sólo en el caso de que G sea un grupo algebraico lineal . En el caso de que G sea una variedad abeliana , presenta un obstáculo técnico, aunque se sabe que el concepto es potencialmente útil en relación con los números de Tamagawa. Los grupos algebraicos adélicos se utilizan ampliamente en teoría de números , particularmente para la teoría de representaciones automórficas y la aritmética de formas cuadráticas.
En caso de que G sea un grupo algebraico lineal, es una variedad algebraica afín en un espacio N afín . La topología del grupo algebraico adélico se considera la topología subespacial en AN , el producto cartesiano de N copias del anillo de Adele . En este caso, es un grupo topológico.
Históricamente los idèles ( / ɪ ˈ d ɛ l z / ) fueron introducidos por Chevalley (1936) bajo el nombre "élément idéal", que es "elemento ideal" en francés, que Chevalley (1940) luego abrevió como "idèle" siguiendo una sugerencia de Hasse. (En estos artículos también dio a los ideles una topología no Hausdorff .) Esto fue para formular la teoría de campos de clases para extensiones infinitas en términos de grupos topológicos. Weil (1938) definió (pero no nombró) el anillo de adeles en el caso del campo funcional y señaló que el grupo de Idealelemente de Chevalley era el grupo de elementos invertibles de este anillo. Tate (1950) definió el anillo de adeles como un producto directo restringido, aunque llamó a sus elementos "vectores de valoración" en lugar de adeles.
Chevalley (1951) definió el anillo de adeles en el caso del campo funcional, bajo el nombre de "reparticiones"; el término contemporáneo adèle significa "idèles aditivo" y también puede ser un nombre de mujer francés. El término adèle estuvo en uso poco después (Jaffard 1953) y puede haber sido introducido por André Weil . La construcción general de grupos algebraicos adélicos por Ono (1957) siguió la teoría de grupos algebraicos fundada por Armand Borel y Harish-Chandra .
Un ejemplo importante, el grupo idele (grupo de elementos ideales) I ( K ), es el caso de . Aquí el conjunto de ideles consta de los adeles invertibles; pero la topología del grupo idele no es su topología como subconjunto de los adeles. En cambio, considerando que se encuentra en un espacio afín bidimensional como la ' hipérbola ' definida paramétricamente por
la topología correctamente asignada al grupo idele es la inducida por la inclusión en A 2 ; Al componer con una proyección, se deduce que los ideles tienen una topología más fina que la topología subespacial de A.
Dentro de A N , el producto K N se encuentra como un subgrupo discreto . Esto significa que G ( K ) también es un subgrupo discreto de G ( A ). En el caso del grupo idele, el grupo cociente
es el grupo de clase ideal . Está estrechamente relacionado (aunque es más grande) con el grupo de clase ideal . El grupo de clase ideal no es compacto en sí mismo; los ideles primero deben ser reemplazados por los ideles de norma 1, y luego la imagen de aquellos en el grupo de clase idele es un grupo compacto ; la prueba de esto es esencialmente equivalente a la finitud del número de clase.
El estudio de la cohomología de Galois de los grupos de clases ideales es una cuestión central en la teoría de campos de clases . Los caracteres del grupo de clases idele, ahora habitualmente llamados caracteres Hecke o caracteres Größen, dan lugar a la clase más básica de funciones L.
Para G más general , el número de Tamagawa se define (o se calcula indirectamente) como la medida de
La observación de Tsuneo Tamagawa fue que, a partir de una forma diferencial invariante ω en G , definida sobre K , la medida involucrada estaba bien definida : mientras que ω podría reemplazarse por c ω con c un elemento distinto de cero de K , el producto La fórmula para valoraciones en K se refleja en la independencia de c de la medida del cociente, para la medida del producto construida a partir de ω sobre cada factor efectivo. El cálculo de números de Tamagawa para grupos semisimples contiene partes importantes de la teoría clásica de la forma cuadrática .
