En matemáticas , un campo global es uno de los dos tipos de campos (el otro son campos locales ) que se caracterizan mediante valoraciones . Hay dos tipos de campos globales : [1]
Emil Artin y George Whaples dieron una caracterización axiomática de estos campos a través de la teoría de la valoración en la década de 1940. [2] [3]
Un campo global es uno de los siguientes:
Un campo de números algebraicos F es una extensión de campo finita (y por tanto algebraica ) del campo de números racionales Q. Por tanto, F es un campo que contiene Q y tiene dimensión finita cuando se considera como un espacio vectorial sobre Q.
Un campo funcional de una variedad algebraica es el conjunto de todas las funciones racionales de esa variedad. En una curva algebraica irreducible (es decir, una variedad unidimensional V ) sobre un campo finito, decimos que una función racional en un subconjunto afín abierto U se define como la relación de dos polinomios en el anillo de coordenadas afines de U , y que a La función racional en todo V consta de datos locales que coinciden en las intersecciones de afines abiertos. Esto define técnicamente las funciones racionales en V como el campo de fracciones del anillo de coordenadas afines de cualquier subconjunto afín abierto, ya que todos esos subconjuntos son densos.
Hay una serie de similitudes formales entre los dos tipos de campos. Un campo de cualquier tipo tiene la propiedad de que todas sus terminaciones son campos localmente compactos (ver campos locales ). Todo campo de cualquier tipo puede realizarse como el campo de fracciones de un dominio de Dedekind en el que todo ideal distinto de cero es de índice finito. En cada caso, se tiene la fórmula del producto para elementos distintos de cero x :
donde v varía en todas las valoraciones del campo.
La analogía entre los dos tipos de campos ha sido una fuerte fuerza motivadora en la teoría algebraica de números . La idea de una analogía entre campos numéricos y superficies de Riemann se remonta a Richard Dedekind y Heinrich M. Weber en el siglo XIX. La analogía más estricta expresada por la idea del "campo global", en la que el aspecto de una superficie de Riemann como curva algebraica se asigna a curvas definidas sobre un campo finito, se desarrolló durante la década de 1930 y culminó en la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos asentados. por André Weil en 1940. La terminología puede deberse a Weil, quien escribió su Teoría básica de números (1967) en parte para resolver el paralelismo.
Generalmente es más fácil trabajar en el caso del campo funcional y luego intentar desarrollar técnicas paralelas en el lado del campo numérico. El desarrollo de la teoría de Arakelov y su explotación por parte de Gerd Faltings en su demostración de la conjetura de Mordell es un ejemplo dramático. La analogía también influyó en el desarrollo de la teoría de Iwasawa y la conjetura principal . La prueba del lema fundamental en el programa Langlands también utilizó técnicas que redujeron el caso del campo numérico al caso del campo funcional.
El teorema de Hasse-Minkowski es un resultado fundamental en la teoría de números que establece que dos formas cuadráticas sobre un campo global son equivalentes si y sólo si son equivalentes localmente en todos los lugares , es decir, equivalentes en cada terminación del campo.
La ley de reciprocidad de Artin implica una descripción de la abelianización del grupo absoluto de Galois de un campo global K que se basa en el principio local-global de Hasse . Se puede describir en términos de cohomología de la siguiente manera:
Sea L v ⁄ K v una extensión de Galois de campos locales con grupo de Galois G. La ley de reciprocidad local describe un isomorfismo canónico
llamado símbolo de Artin local , mapa de reciprocidad local o símbolo de residuo de norma . [4] [5]
Sea L ⁄ K una extensión de Galois de campos globales y C L represente el grupo de clases inactivo de L. Los mapas θ v para diferentes lugares v de K se pueden ensamblar en un único mapa de símbolos global multiplicando los componentes locales de una clase idéle. Una de las afirmaciones de la ley de reciprocidad de Artin es que esto da como resultado un isomorfismo canónico. [6] [7]
