Campo localmente compacto

En álgebra, un campo localmente compacto es un campo topológico cuya topología forma un espacio de Hausdorff localmente compacto . ^[1] Este tipo de campos se introdujeron originalmente en el análisis p-ádico ya que los campos son espacios topológicos localmente compactos construidos a partir de la norma . La topología (y la estructura del espacio métrico) es esencial porque permite construir análogos de campos numéricos algebraicos en el contexto p-ádico. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Estructura

Espacios vectoriales de dimensión finita

Uno de los teoremas de estructura útiles para espacios vectoriales sobre campos localmente compactos es que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen sólo una clase de norma de equivalencia: la norma sup ^{[2] pág. 58-59} .

Extensiones de campo finitas

Dada una extensión de campo finita sobre un campo localmente compacto , existe como máximo una norma de campo única para extender la norma de campo ; eso es, ${\displaystyle K/F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |\cdot |_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{F}}$

${\displaystyle |f|_{K}=|f|_{F}}$

por todo lo que es a imagen de . Tenga en cuenta que esto se desprende del teorema anterior y del siguiente truco: si son dos normas equivalentes, y ${\displaystyle f\in K}$ ${\displaystyle F\hookrightarrow K}$ ${\displaystyle ||\cdot ||_{1},||\cdot ||_{2}}$

${\displaystyle ||x||_{1}<||x||_{2}}$

entonces para una constante fija existe tal que ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \left({\frac {||x||_{1}}{||x||_{2}}}\right)^{N}<{\frac {1}{c_{1}}}}$

para todos ya que la secuencia generada a partir de los poderes de converge a . ${\displaystyle N\geq N_{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$

Extensiones finitas de Galois

Si el índice de la extensión es de grado y es una extensión de Galois (por lo que todas las soluciones al polinomio mínimo de cualquiera también están contenidas en ), entonces la norma de campo única se puede construir usando la norma de campo ^{[2] pág. 61} . Esto se define como ${\displaystyle n=[K:F]}$ ${\displaystyle K/F}$ ${\displaystyle a\in K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{K}}$

${\displaystyle |a|_{K}=|N_{K/F}(a)|^{1/n}}$

Tenga en cuenta que la raíz enésima es necesaria para tener una norma de campo bien definida que se extienda ya que cualquiera en la imagen de su norma es ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in K}$ ${\displaystyle F\hookrightarrow K}$

${\displaystyle N_{K/F}(f)=\det m_{f}=f^{n}}$

ya que actúa como multiplicación escalar en el espacio vectorial . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$

Ejemplos

campos finitos

Todos los campos finitos son localmente compactos ya que pueden equiparse con topología discreta. En particular, cualquier campo con topología discreta es localmente compacto ya que cada punto es la vecindad de sí mismo, y también el cierre de la vecindad, por lo tanto es compacto.

Campos locales

Los principales ejemplos de campos localmente compactos son los racionales p-ádicos y las extensiones finitas . Cada uno de estos son ejemplos de campos locales . Tenga en cuenta que la clausura algebraica y su finalización no son campos localmente compactos ^{[2] pág. 72} con su topología estándar. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$

Extensiones de campo de Q _p

Las extensiones de campo se pueden encontrar utilizando el lema de Hensel . Por ejemplo, no tiene soluciones desde entonces. ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}-7=x^{2}-(2+1\cdot 5)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2}-5)=2x}$

sólo es igual a cero mod si , pero no tiene soluciones mod . Por tanto, es una extensión de campo cuadrática. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\equiv 0{\text{ }}(p)}$ ${\displaystyle x^{2}-7}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}({\sqrt {7}})/\mathbb {Q} _{5}}$

Ver también

• Grupo compacto  – Grupo topológico con topología compacta
• Campo completo  : estructura algebraica completa en relación con una métricaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Campo local  : campo topológico localmente compacto
• Grupo localmente compacto  : grupo topológico G para el cual la topología subyacente es localmente compacta y Hausdorff, de modo que se puede definir la medida de Haar.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Grupo cuántico localmente compacto  : enfoque algebraico C* relativamente nuevo hacia grupos cuánticosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Ramificación de los campos locales.
• Grupo abeliano topológico  - concepto en matemáticasPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Campo topológico  : estructura algebraica con suma, multiplicación y división.Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Grupo topológico  : grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua.
• módulo topológico
• Anillo topológico  : anillo donde las operaciones del anillo son continuasPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Semigrupo topológico  – semigrupo con operación continuaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Referencias

1. Narici, Lawrence (1971), Análisis funcional y teoría de la valoración, CRC Press , págs. 21-22, ISBN 9780824714840.
2. Koblitz, Neil. Números p-ádicos, análisis p-ádico y funciones Zeta . págs. 57–74.

enlaces externos

• Truco de desigualdad https://math.stackexchange.com/a/2252625