Fórmula de trazas de Grothendieck

Expresa el número de puntos de una variedad sobre un campo finito.

En geometría algebraica , la fórmula de la traza de Grothendieck expresa el número de puntos de una variedad sobre un campo finito en términos de la traza del endomorfismo de Frobenius en sus grupos de cohomología . Hay varias generalizaciones: el endomorfismo de Frobenius puede ser reemplazado por un endomorfismo más general, en cuyo caso los puntos sobre un campo finito se reemplazan por sus puntos fijos, y también existe una versión más general para un haz sobre la variedad, donde el Los grupos de cohomología se reemplazan por cohomología con coeficientes en la gavilla.

La fórmula de la traza de Grothendieck es análoga en geometría algebraica al teorema del punto fijo de Lefschetz en topología algebraica .

Una aplicación de la fórmula de trazas de Grothendieck es expresar la función zeta de una variedad sobre un campo finito, o más generalmente la serie L de una gavilla, como una suma de trazas de Frobenius en grupos de cohomología. Este es uno de los pasos utilizados en la prueba de las conjeturas de Weil .

La fórmula de traza de Behrend generaliza la fórmula a pilas algebraicas .

Declaración formal para funciones L

Sea k un campo finito, l un número primo invertible en k , X un k -esquema suave de dimensión n y una gavilla construible en X. Entonces se cumple la siguiente expresión cohomológica para la función L de : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle L(X,{\mathcal {F}},t)=\prod _{i=0}^{2n}\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))^{(-1)^{i+1}}={\frac {\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n-1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}{\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{0}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}}}$

donde F es en todas partes una acción geométrica de Frobenius sobre cohomología l -ádica con soportes compactos de la gavilla . Tomar derivadas logarítmicas de ambas series de potencias formales produce una declaración sobre sumas de trazas para cada extensión de campo finito E del campo base k : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \sum _{x\in X(E)}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,{\mathcal {F}}_{x})=\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}$

Para una gavilla constante (considerada como una gavilla l -ádica) , el lado izquierdo de esta fórmula es el número de puntos E de X. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$ ${\displaystyle (\varprojlim \mathbb {Z} /l^{n}\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} }$

Referencias

• Deligne, Pierre (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale - (SGA 4½) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 569. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0091516. ISBN 978-3-540-08066-4.
• Grothendieck, Alejandro (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 589. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0096802. ISBN 3-540-08248-4.
• Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988), Étale cohomology and the Weil conjecture , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol. 13, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-12175-6, señor  0926276