Derivada logarítmica

Operación matemática en cálculo.

En matemáticas , específicamente en cálculo y análisis complejo , la derivada logarítmica de una función f se define mediante la fórmula donde está la derivada de f . ^[1] Intuitivamente, este es el cambio relativo infinitesimal en f ; es decir, el cambio absoluto infinitesimal en f, es decir, escalado por el valor actual de f. $${\displaystyle {\frac {f'}{f}}}$$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f',}$

Cuando f es una función f ( x ) de una variable real x y toma valores reales estrictamente positivos , esto es igual a la derivada de ln( f ), o el logaritmo natural de f . Esto se sigue directamente de la regla de la cadena : ^[1] $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}}$$

Propiedades básicas

Muchas propiedades del logaritmo real también se aplican a la derivada logarítmica, incluso cuando la función no toma valores en reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, tenemos. Entonces, para funciones de valores reales positivos, la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores. Pero también podemos usar la ley de Leibniz para obtener la derivada de un producto. Por lo tanto, es cierto para cualquier función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando están definidos). $${\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.}$$ $${\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$$

Un corolario de esto es que la derivada logarítmica del recíproco de una función es la negación de la derivada logarítmica de la función: así como el logaritmo del recíproco de un número real positivo es la negación del logaritmo del número. ^{[ cita necesaria ]} $${\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},}$$

De manera más general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor: del mismo modo que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor. $${\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},}$$

Generalizando en otra dirección, la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante) es el producto del exponente y la derivada logarítmica de la base: así como el logaritmo de una potencia es el producto del exponente y el logaritmo de la base . $${\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},}$$

En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos tienen una regla del producto , una regla recíproca , una regla del cociente y una regla de la potencia (compárese con la lista de identidades logarítmicas ); cada par de reglas está relacionado mediante la derivada logarítmica.

Calcular derivadas ordinarias utilizando derivadas logarítmicas

Las derivadas logarítmicas pueden simplificar el cálculo de las derivadas que requieren la regla del producto y al mismo tiempo producir el mismo resultado. El procedimiento es el siguiente: Supongamos que y que deseamos calcular . En lugar de calcularlo directamente como , calculamos su derivada logarítmica. Es decir, calculamos: ${\displaystyle f(x)=u(x)v(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle f'=u'v+v'u}$ $${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$$

Multiplicando por ƒ se calcula f ′ : $${\displaystyle f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).}$$

Esta técnica es más útil cuando ƒ es producto de una gran cantidad de factores. Esta técnica permite calcular f ′ calculando la derivada logarítmica de cada factor, sumando y multiplicando por f .

Por ejemplo, podemos calcular la derivada logarítmica de to be . ${\displaystyle e^{x^{2}}(x-2)^{3}(x-3)(x-1)^{-1}}$ ${\displaystyle 2x+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}}$

Factores integrantes

La idea de la derivada logarítmica está estrechamente relacionada con el método del factor integrante para ecuaciones diferenciales de primer orden . En términos de operadores , escriba y sea M el operador de multiplicación por alguna función dada G ( x ). Entonces se puede escribir (mediante la regla del producto ) como donde ahora denota el operador de multiplicación por la derivada logarítmica $${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$$ $${\displaystyle M^{-1}DM}$$ $${\displaystyle D+M^{*}}$$ ${\displaystyle M^{*}}$ $${\displaystyle {\frac {G'}{G}}}$$

En la práctica, nos dan un operador como y deseamos resolver ecuaciones para la función h , dada f . Esto luego se reduce a resolver lo que tiene como solución cualquier integral indefinida de F. ^{[ cita necesaria ]} $${\displaystyle D+F=L}$$ $${\displaystyle L(h)=f}$$ $${\displaystyle {\frac {G'}{G}}=F}$$ $${\displaystyle \exp \textstyle (\int F)}$$

Análisis complejo

La fórmula dada se puede aplicar más ampliamente; por ejemplo, si f ( z ) es una función meromórfica , tiene sentido en todos los valores complejos de z en los que f no tiene ni cero ni polo . Además, en un cero o en un polo, la derivada logarítmica se comporta de una manera que se analiza fácilmente en términos del caso particular.

zn^​

con n un número entero, n ≠ 0 . La derivada logarítmica es entonces y se puede sacar la conclusión general de que para f meromorfa, las singularidades de la derivada logarítmica de f son todas polos simples , con residuo n de un cero de orden n , residuo − n de un polo de orden n . Ver principio de argumento . Esta información a menudo se explota en la integración de contornos . ^{[2] [3] [ verificación necesaria ]} $${\displaystyle n/z}$$

En el campo de la teoría de Nevanlinna , un lema importante establece que la función de proximidad de una derivada logarítmica es pequeña con respecto a la característica de Nevanlinna de la función original, por ejemplo . ^{[4] [ se necesita verificación ]} ${\displaystyle m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))}$

El grupo multiplicativo

Detrás del uso de la derivada logarítmica se encuentran dos hechos básicos sobre GL ₁ , es decir, el grupo multiplicativo de números reales u otro campo . El operador diferencial es invariante bajo dilatación (reemplazando X por aX por una constante). Y la forma diferencial es igualmente invariante. Para las funciones F en GL ₁ , la fórmula es, por lo tanto, un retroceso de la forma invariante. ^{[ cita necesaria ]} $${\displaystyle X{\frac {d}{dX}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dx}{X}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dF}{F}}}$$

Ejemplos

• El crecimiento exponencial y la caída exponencial son procesos con derivada logarítmica constante. ^{[ cita necesaria ]}
• En finanzas matemáticas , la λ griega  es la derivada logarítmica del precio del derivado con respecto al precio subyacente. ^{[ cita necesaria ]}
• En análisis numérico , el número de condición es el cambio relativo infinitesimal en la salida para un cambio relativo en la entrada y, por tanto, es una relación de derivadas logarítmicas. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Generalizaciones de la derivada  – Construcción fundamental del cálculo diferencial
• Diferenciación logarítmica  – Método de diferenciación matemática
• Elasticidad de una función

Referencias

1. "Derivada logarítmica - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . 7 de diciembre de 2012 . Consultado el 12 de agosto de 2021 .
2. González, Mario (24 de septiembre de 1991). Análisis complejo clásico. Prensa CRC. ISBN 978-0-8247-8415-7.
3. "Residuo logarítmico - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . 7 de junio de 2020 . Consultado el 12 de agosto de 2021 .
4. Zhang, Guan-hou (1 de enero de 1993). Teoría de funciones enteras y meromorfas: valores deficientes, asintóticos y direcciones singulares. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 18.ISBN​ 978-0-8218-8764-6. Consultado el 12 de agosto de 2021 .

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