Fórmula de trazas de Behrend

En geometría algebraica , la fórmula de trazas de Behrend es una generalización de la fórmula de trazas de Grothendieck-Lefschetz a una pila algebraica suave sobre un campo finito conjeturada en 1993 ^[1] y probada en 2003 ^[2] por Kai Behrend . A diferencia de la fórmula clásica, la fórmula cuenta los puntos en forma de " pilas "; tiene en cuenta la presencia de automorfismos no triviales.

El deseo de la fórmula proviene del hecho de que se aplica a la pila de módulos de paquetes principales en una curva sobre un campo finito (en algunos casos indirectamente, a través de la estratificación de Harder-Narasimhan , ya que la pila de módulos no es de tipo finito. ^{[ 3] [4]} ) Consulte la pila de módulos de los paquetes principales y las referencias allí contenidas para obtener la formulación precisa en este caso.

Pierre Deligne encontró un ejemplo ^[5] que muestra que la fórmula puede interpretarse como una especie de fórmula de traza de Selberg .

Shenghao Sun ofrece una prueba de la fórmula en el contexto del formalismo de seis operaciones desarrollado por Yves Laszlo y Martin Olsson ^{[6]. [7]}

Formulación

Por definición, si C es una categoría en la que cada objeto tiene un número finito de automorfismos, el número de puntos se denota por ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \#C=\sum _{p}{1 \over \#\operatorname {Aut} (p)},}$

con la suma recorriendo los representantes p de todas las clases de isomorfismo en C . (La serie puede divergir en general.) La fórmula establece: para una pila algebraica suave X de tipo finito sobre un campo finito y el Frobenius "aritmético" , es decir, el inverso del Frobenius geométrico habitual en la fórmula de Grothendieck, ^{[8] [ 9]} ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}:X\to X}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \#X(\mathbb {F} _{q})=q^{\dim X}\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(X,\mathbb {Q} _{l})\right).}$

Aquí, es crucial que la cohomología de una pila sea con respecto a la topología suave (no etale).

Cuando X es una variedad, la cohomología suave es la misma que la de etale y, a través de la dualidad de Poincaré , esto equivale a la fórmula de trazas de Grothendieck. (Pero la prueba de la fórmula de trazas de Behrend se basa en la fórmula de Grothendieck, por lo que esto no incluye la de Grothendieck).

Ejemplo sencillo

Considere , la pila clasificadora del esquema de grupo multiplicativo (es decir, ). Por definición, es la categoría de paquetes principales , que tiene solo una clase de isomorfismo (ya que todos esos paquetes son triviales según el teorema de Lang ). Su grupo de automorfismos es , lo que significa que el número de -isomorfismos es . ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}=[\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}/\mathbb {G} _{m}]}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)=R^{\times }}$ ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \#\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})=\#\mathbb {F} _{q}^{\times }=q-1}$

Por otro lado, podemos calcular la cohomología l -ádica de directamente. Observamos que en el entorno topológico, tenemos (donde ahora denota el espacio de clasificación habitual de un grupo topológico), cuyo anillo de cohomología racional es un anillo polinomial en un generador ( teorema de Borel ), pero no usaremos esto directamente. Si deseamos permanecer en el mundo de la geometría algebraica, podemos "aproximarnos" mediante espacios proyectivos de dimensiones cada vez mayores. Así, consideramos el mapa inducido por el paquete correspondiente a Este mapa induce un isomorfismo en cohomología en grados hasta 2N . Por lo tanto, los números pares (o impares) de Betti son 1 (resp. 0), y la representación l -ádica de Galois en el (2n) ésimo grupo de cohomología es la enésima potencia del carácter ciclotómico. La segunda parte es consecuencia del hecho de que la cohomología de es generada por clases de ciclo algebraico. Esto muestra que ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle B\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle B\mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {P} ^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).}$ ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{i\geq 0}(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(B\mathbb {G} _{m},\mathbb {Q} _{l})\right)=1+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+\cdots ={\frac {q}{q-1}}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \dim B\mathbb {G} _{m}=\dim \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}-\dim \mathbb {G} _{m}=-1.}$

Multiplicando por , se obtiene la igualdad prevista. ${\displaystyle q^{-1}}$

Notas

1. Behrend, K. La fórmula de seguimiento de Lefschetz para la pila de módulos de paquetes principales. Tesis doctoral.
2. Behrend, Kai (2003), "Categorías l-ádicas derivadas para pilas algebraicas" (PDF) , Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense , 163 , doi :10.1090/memo/0774
3. K. Behrend, A. Dhillon, Componentes conectados de pilas de módulos de torsors mediante números de Tamagawa
4. Lurie, Jacob (primavera de 2014), "Formulación cohomológica (Conferencia 3)" (PDF) , Números de Tamagawa a través de la dualidad de Nonabelian Poincaré (282 años) , Instituto de estudios avanzados
5. Behrend 2003, Proposición 6.4.11
6. * Laszlo, Yves; Olsson, Martín (2006). "Las seis operaciones para gavillas en pilas Artin I: Coeficientes finitos". arXiv : matemáticas/0512097v2 .
7. Shenghao 2011
8. Para definir a Frobenius en una pila X , dejemos . Entonces tenemos , que es el Frobenius en X , también denotado por . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi :{\overline {\mathbb {F} _{q}}}\to {\overline {\mathbb {F} _{q}}},x\mapsto x^{q}}$ ${\displaystyle id\times \phi :X\times _{\mathbb {F} _{q}}{\overline {\mathbb {F} _{q}}}\to X\times _{\mathbb {F} _{q}}{\overline {\mathbb {F} _{q}}}}$ ${\displaystyle \phi }$
9. Behrend 2003, Corolario 6.4.10

Referencias

• Shenghao, sol (2011). "La serie L de Artin se apila sobre campos finitos". Álgebra y teoría de números . 6 : 47-122. arXiv : 1008.3689 . doi :10.2140/ant.2012.6.47. S2CID  119599074.