Pila de módulos de haces principales

En geometría algebraica, dada una curva proyectiva suave X sobre un cuerpo finito y un esquema de grupo afín suave G sobre él, la pila de módulos de fibrados principales sobre X , denotada por , es una pila algebraica dada por: ^[1] para cualquier -álgebra R , ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$

${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(R)=}$la categoría de los principales haces G sobre la curva relativa . ${\displaystyle X\times _{\mathbf {F} _{q}}\operatorname {Spec} R}$

En particular, la categoría de puntos de , es decir, , es la categoría de G -fibrados sobre X . ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})}$

De manera similar, también se puede definir cuando la curva X está sobre el cuerpo de números complejos. A grandes rasgos, en el caso complejo, se puede definir como la pila de cocientes del espacio de conexiones holomorfas en X por el grupo de calibración . Reemplazando la pila de cocientes (que no es un espacio topológico) por un cociente de homotopía (que es un espacio topológico) se obtiene el tipo de homotopía de . ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

En el caso de un cuerpo finito, no es común definir el tipo de homotopía de . Pero aún se puede definir una cohomología y homología ( suave ) de . ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Propiedades básicas

Se sabe que es una pila lisa de dimensión donde es el género de X . No es de tipo finito pero localmente es de tipo finito; por lo tanto, se suele utilizar una estratificación por subpilaciones abiertas de tipo finito (cf. la estratificación de Harder–Narasimhan ), también para G parahórico sobre la curva X véase ^[2] y para G solo un esquema de grupo plano de tipo finito sobre X véase. ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle (g(X)-1)\dim G}$ ${\displaystyle g(X)}$

Si G es un grupo reductivo dividido, entonces el conjunto de componentes conexos está en una biyección natural con el grupo fundamental . ^[4] ${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Bun} _{G}(X))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(G)}$

La fórmula de Atiyah-Bott

Fórmula de trazas de Behrend

Esta es una versión (conjetural) de la fórmula de traza de Lefschetz para cuando X está sobre un campo finito, introducida por Behrend en 1993. ^[5] Establece: ^[6] si G es un esquema de grupo afín suave con fibra genérica conexa semisimple , entonces ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=q^{\dim \operatorname {Bun} _{G}(X)}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|H^{*}(\operatorname {Bun} _{G}(X);\mathbb {Z} _{l}))}$

donde (ver también la fórmula de traza de Behrend para los detalles)

• l es un número primo que no es p y el anillo de enteros l-ádicos se considera un subanillo de . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{l}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \phi }$es el Frobenius geométrico .
• ${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=\sum _{P}{1 \over \#\operatorname {Aut} (P)}}$, la suma que recorre todas las clases de isomorfismo de los G-fibrados en X y convergente.
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{*})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{i})}$para un espacio vectorial graduado , siempre que la serie de la derecha converja absolutamente. ${\displaystyle V_{*}}$

A priori, ni el lado izquierdo ni el lado derecho de la fórmula convergen. Por lo tanto, la fórmula establece que los dos lados convergen a números finitos y que esos números coinciden.

Notas

1. Lurie, Jacob (3 de abril de 2013), Números de Tamagawa en el caso del campo de función (Conferencia 2) (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2013-04-11 , consultado el 2014-01-30
2. Heinloth 2010, Proposición 2.1.2
3. Arasteh Rad, E.; Hartl, Urs (2021), "Uniformización de las pilas de módulos de G-shtukas globales", International Mathematics Research Notices (21): 16121–16192, arXiv : 1302.6351 , doi :10.1093/imrn/rnz223, MR  4338216; ver Teorema 2.5
4. Heinloth 2010, Proposición 2.1.2
5. Behrend, Kai A. (1991), La fórmula de traza de Lefschetz para la pila de módulos de haces principales (PDF) (tesis doctoral), Universidad de California, Berkeley
6. Gaitsgory & Lurie 2019, Capítulo 5: La fórmula de traza para Bun _G (X), pág. 260

Referencias

• Heinloth, Jochen (2010), "Conferencias sobre la pila de módulos de fibrados vectoriales en una curva" (PDF) , en Schmitt, Alexander (ed.), Variedades bandera afines y fibrados principales , Trends in Mathematics, Basilea: Birkhäuser/Springer, pp. 123–153, doi :10.1007/978-3-0346-0288-4_4, ISBN 978-3-0346-0287-7, Sr.  3013029
• J. Heinloth, AHW Schmitt, El anillo de cohomología de pilas de módulos de haces principales sobre curvas, preimpresión de 2010, disponible en http://www.uni-essen.de/~hm0002/.
• Gaitsgory, Dennis; Lurie, Jacob (2019), Conjetura de Weil para campos de funciones, vol. 1 (PDF) , Annals of Mathematics Studies, vol. 199, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-18214-8, Sr.  3887650

Lectura adicional

• C. Sorger, Lecciones sobre módulos de los principales fibrados G sobre curvas algebraicas

Véase también

• Conjeturas geométricas de Langlands
• Corrió el espacio
• Pila de módulos de haces vectoriales