En teoría de grupos algebraicos, los teoremas de aproximación son una extensión del teorema del resto chino a grupos algebraicos G sobre campos globales k .
Eichler (1938) demostró una fuerte aproximación para algunos grupos clásicos. En las décadas de 1960 y 1970 se estableció una fuerte aproximación para grupos algebraicos semisimples simplemente conectados sobre campos globales . Los resultados para campos numéricos se deben a Kneser (1966) y Platonov (1969); el caso del campo de funciones , sobre campos finitos , se debe a Margulis (1977) y Prasad (1977). En el caso del campo numérico, Platonov también demostró un resultado relacionado sobre campos locales llamado conjetura de Kneser-Tits .
Sea G un grupo algebraico lineal sobre un campo global k y A el anillo de Adele de k . Si S es un conjunto finito no vacío de lugares de k , entonces escribimos A S para el anillo de S -adeles y A S para el producto de las terminaciones k s , para s en el conjunto finito S. Para cualquier elección de S , G ( k ) se incrusta en G ( A S ) y G ( A S ).
La pregunta que se plantea en aproximación débil es si la incrustación de G ( k ) en G ( A S ) tiene una imagen densa. Si el grupo G es conexo y k -racional, entonces satisface una aproximación débil con respecto a cualquier conjunto S (Platonov y Rapinchuk 1994, p.402). De manera más general, para cualquier grupo conectado G , existe un conjunto finito T de lugares finitos de k tal que G satisface una aproximación débil con respecto a cualquier conjunto S que sea disjunto con T (Platonov y Rapinchuk 1994, p.415). En particular, si k es un campo numérico algebraico, entonces cualquier grupo conectado G satisface una aproximación débil con respecto al conjunto S = S ∞ de infinitos lugares.
La pregunta que se plantea en fuerte aproximación es si la incrustación de G ( k ) en G ( A S ) tiene una imagen densa o, de manera equivalente, si el conjunto
es un subconjunto denso en G ( A ). El principal teorema de aproximación fuerte (Kneser 1966, p.188) establece que un grupo algebraico lineal no soluble G sobre un campo global k tiene una aproximación fuerte para el conjunto finito S si y sólo si su radical N es unipotente , G / N es simplemente conexo, y cada componente H casi simple de G / N tiene un componente no compacto Hs para algunos s en S (dependiendo de H ).
Las demostraciones de aproximación fuerte dependían del principio de Hasse para grupos algebraicos, que para grupos del tipo E 8 sólo se demostró varios años después.
La aproximación débil es válida para una clase más amplia de grupos, incluidos los grupos adjuntos y las formas internas de los grupos de Chevalley , lo que demuestra que la propiedad de la aproximación fuerte es restrictiva.