forma interior

En matemáticas, una forma interna de un grupo algebraico sobre un campo es otro grupo algebraico tal que existe un isomorfismo entre y definido sobre (esto significa que es una forma de ) y además, para cada automorfismo de Galois, el automorfismo es un interior automorfismo de (es decir, conjugación por un elemento de ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Gal} ({\overline {K}}/K)}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}\circ \phi ^{\sigma }}$ ${\displaystyle G({\overline {K}})}$ ${\displaystyle G({\overline {K}})}$

A través de la correspondencia entre -formas y la cohomología de Galois esto significa que está asociado a un elemento del subconjunto donde se encuentra el subgrupo de automorfismos internos de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathrm {Gal} ({\overline {K}}/K),\mathrm {Aut} (G))}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathrm {Gal} ({\overline {K}}/K),\mathrm {Inn} (G))}$ ${\displaystyle \mathrm {Inn} (G)}$ ${\displaystyle G}$

Ser formas internas entre sí es una relación de equivalencia en el conjunto de formas de un grupo algebraico dado. ${\displaystyle K}$

Una forma que no es interna se llama forma externa . En la práctica, para comprobar si un grupo es una forma interna o externa, se observa la acción del grupo de Galois en el diagrama de Dynkin de (inducida por su acción sobre , que preserva cualquier toroide y, por lo tanto, actúa sobre las raíces). Dos grupos son formas internas el uno del otro si y sólo si las acciones que definen son las mismas. ${\displaystyle \mathrm {Gal} ({\overline {K}}/K)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G({\overline {K}})}$

Por ejemplo, las formas de son él mismo y los grupos unitarios y . Los dos últimos son formas externas de y son formas internas entre sí. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$

Referencias

• Tit, Jacques (1966), "Clasificación de grupos algebraicos semisimples", en Borel, Armand ; Mostow, George D. (eds.), Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colorado, 1965), Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 33–62, ISBN 978-0-8218-1409-3, SEÑOR  0224710