La desigualdad de Gauss

En la teoría de la probabilidad , la desigualdad de Gauss (o la desigualdad de Gauss ) da un límite superior a la probabilidad de que una variable aleatoria unimodal se encuentre a más de cualquier distancia dada de su moda .

Sea X una variable aleatoria unimodal con moda m , y sea τ  ² el valor esperado de ( X  −  m ) ² . ( τ  ² también se puede expresar como ( μ  −  m ) ²  +  σ  ² , donde μ y σ son la media y la desviación estándar de X .) Entonces, para cualquier valor positivo de k ,

${\displaystyle \Pr(|X-m|>k)\leq {\begin{cases}\left({\frac {2\tau }{3k}}\right)^{2}&{\text{if }}k\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\\[6pt]1-{\frac {k}{\tau {\sqrt {3}}}}&{\text{if }}0\leq k\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}.\end{cases}}}$

El teorema fue demostrado por primera vez por Carl Friedrich Gauss en 1823.

Extensiones a momentos de orden superior

Winkler en 1866 extendió la desigualdad de Gauss a r ^-ésimos momentos ^[1] donde r > 0 y la distribución es unimodal con una moda de cero. A esto a veces se le llama desigualdad de Camp-Meidell. ^{[2] [3]}

${\displaystyle P(|X|\geq k)\leq \left({\frac {r}{r+1}}\right)^{r}{\frac {\operatorname {E} (|X|)^{r}}{k^{r}}}\quad {\text{if}}\quad k^{r}\geq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r+1}}}\operatorname {E} (|X|^{r}),}$

${\displaystyle P(|X|\geq k)\leq \left(1-\left[{\frac {k^{r}}{(r+1)\operatorname {E} (|X|)^{r}}}\right]^{1/r}\right)\quad {\text{if}}\quad k^{r}\leq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r+1}}}\operatorname {E} (|X|^{r}).}$

Posteriormente, el límite de Gauss se agudizó y amplió para aplicarse a desviaciones de la media en lugar de la moda debido a la desigualdad de Vysochanskiï-Petunin . Este último ha sido ampliado por Dharmadhikari y Joag-Dev ^[4]

${\displaystyle P(|X|>k)\leq \max \left(\left[{\frac {r}{(r+1)k}}\right]^{r}E|X^{r}|,{\frac {s}{(s-1)k^{r}}}E|X^{r}|-{\frac {1}{s-1}}\right)}$

donde s es una constante que satisface tanto s > r + 1 como s ( s  −  r  − 1) =  r ^r y  r  > 0.

Se puede demostrar que estas desigualdades son las mejores posibles y que una mayor precisión de los límites requiere que se impongan restricciones adicionales a las distribuciones.

Ver también

• Desigualdad de Vysochanskiï-Petunin , un resultado similar para la distancia de la media en lugar de la moda
• La desigualdad de Chebyshev se refiere a la distancia de la media sin requerir unimodalidad.
• Desigualdad de concentración : un resumen de los límites finales de variables aleatorias.

Referencias

1. Winkler A. (1886) Teoría Math-Natur Kl. Akád. Wiss Wien Zweite Abt 53, 6–41
2. Pukelsheim, Friedrich (mayo de 1994). "La regla de las tres sigma". El estadístico estadounidense . 48 (2): 88–91. doi :10.1080/00031305.1994.10476030. ISSN  0003-1305.
3. Bickel, Peter J .; Krieger, Abba M. (1992). "Extensiones de la desigualdad de Chebyshev con aplicaciones" (PDF) . Probabilidad y Estadística Matemática . 13 (2): 293–310. ISSN  0208-4147 . Consultado el 6 de octubre de 2012 .
4. Dharmadhikari, SO; Joag-Dev, K. (1985). "La desigualdad de Gauss-Tchebyshev para distribuciones unimodales" (PDF) . Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya . 30 (4): 817–820.

• Gauss, CF (1823). "Theoria Combinaciónis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores . 5 .
• Upton, Graham; Cocinero, Ian (2008). "Desigualdad de Gauss". Un diccionario de estadística. Prensa de la Universidad de Oxford.
• Sellke, TM; Sellke, SH (1997). "Desigualdades de Chebyshev para distribuciones unimodales". Estadístico estadounidense . 51 (1). Asociación Estadounidense de Estadística: 34–40. doi :10.2307/2684690. JSTOR  2684690.
• Pukelsheim, F. (1994). "La regla de las tres sigma". Estadístico estadounidense . 48 (2). Asociación Estadounidense de Estadística: 88–91. doi :10.2307/2684253. JSTOR  2684253.