El método de Gauss.

Manera de determinar una órbita preliminar a partir de observaciones iniciales en astronomía.

En mecánica orbital (un subcampo de la mecánica celeste ), el método de Gauss se utiliza para la determinación preliminar de la órbita a partir de al menos tres observaciones (más observaciones aumentan la precisión de la órbita determinada) del cuerpo de interés en órbita en tres momentos diferentes. La información requerida son los tiempos de las observaciones, los vectores de posición de los puntos de observación (en el Sistema de Coordenadas Ecuatoriales ), el vector coseno director del cuerpo en órbita desde los puntos de observación (del Sistema de Coordenadas Ecuatoriales Topocéntricos) y datos físicos generales.

Carl Friedrich Gauss desarrolló importantes técnicas matemáticas (resumidas en los métodos de Gauss) que se utilizaron específicamente para determinar la órbita de Ceres . El método que se muestra a continuación es la determinación de la órbita de un cuerpo en órbita alrededor del cuerpo focal desde donde se tomaron las observaciones, mientras que el método para determinar la órbita de Ceres requiere un poco más de esfuerzo porque las observaciones se tomaron desde la Tierra mientras Ceres orbita alrededor del Sol .

Vector de posición del observador

El vector de posición del observador (en el sistema de coordenadas ecuatoriales ) de los puntos de observación se puede determinar a partir de la latitud y el tiempo sidéreo local (del sistema de coordenadas topocéntrico ) en la superficie del cuerpo focal del cuerpo en órbita (por ejemplo, la Tierra) mediante cualquiera de las dos vías. :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R_{n}} &=\left[{R_{e} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} )+\left[{R_{e}(1-f)^{2} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K}} \\&=\left[{R_{e} \over {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} )+\left[{R_{e}(1-e^{2}) \over {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K}} \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {R_{n}} =r_{e}\cos \phi '_{n}\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +r_{e}\cos \phi '_{n}\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} +r_{e}\sin \phi '_{n}\ \mathbf {\hat {K}} }$$

• ${\displaystyle \mathbf {R_{n}} }$es el vector de posición del observador respectivo (en el sistema de coordenadas ecuatoriales)
• ${\displaystyle R_{e}}$es el radio ecuatorial del cuerpo central (por ejemplo, 6.378 km para la Tierra)
• ${\displaystyle r_{e}}$es la distancia geocéntrica
• ${\displaystyle f}$es el achatamiento (o achatamiento ) del cuerpo central (p. ej., 0,003353 para la Tierra)
• ${\displaystyle e}$es la excentricidad del cuerpo central (por ejemplo, 0,081819 para la Tierra)
• ${\displaystyle \phi _{n}}$es la latitud geodésica (el ángulo entre la línea normal del plano horizontal y el plano ecuatorial)
• ${\displaystyle \phi '_{n}}$es la latitud geocéntrica (el ángulo entre el radio y el plano ecuatorial)
• ${\displaystyle H_{n}}$es la altitud geodésica
• ${\displaystyle \theta _{n}}$es la hora sidérea local del sitio de observación

Vector de coseno de dirección del cuerpo en órbita

Ascensión recta (azul) y declinación (verde) vistas desde fuera de la esfera celeste

El vector coseno de dirección del cuerpo en órbita se puede determinar a partir de la ascensión recta y la declinación (del sistema de coordenadas ecuatoriales topocéntricas) del cuerpo en órbita desde los puntos de observación mediante:

$${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} =\cos \delta _{n}\cos \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\cos \delta _{n}\sin \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {J}} +\sin \delta _{n}\ \mathbf {\hat {K}} }$$

• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }$es el vector unitario respectivo en la dirección del vector de posición (desde el punto de observación hasta el cuerpo en órbita en el sistema de coordenadas ecuatoriales topocéntricos) ${\displaystyle \rho }$
• ${\displaystyle \delta _{n}}$es la declinación respectiva
• ${\displaystyle \alpha _{n}}$es la respectiva ascensión recta

Algoritmo

La derivación inicial comienza con la suma de vectores para determinar el vector de posición del cuerpo en órbita. Luego, basándose en la conservación del momento angular y los principios de la órbita kepleriana (que establece que una órbita se encuentra en un plano bidimensional en un espacio tridimensional), se establece una combinación lineal de dichos vectores de posición. Además, se utiliza la relación entre la posición de un cuerpo y el vector velocidad mediante coeficientes de Lagrange lo que da como resultado el uso de dichos coeficientes. Luego, con manipulación de vectores y álgebra, se derivaron las siguientes ecuaciones. Para una derivación detallada, consulte Curtis. ^[1]

NOTA: El método de Gauss es una determinación preliminar de la órbita, con énfasis en lo preliminar. La aproximación de los coeficientes de Lagrange y las limitaciones de las condiciones de observación requeridas (es decir, curvatura insignificante en el arco entre observaciones, consulte Gronchi ^[2] para más detalles) causan imprecisiones. Sin embargo, el método de Gauss se puede mejorar aumentando la precisión de los subcomponentes, como resolviendo la ecuación de Kepler . Otra forma de aumentar la precisión es mediante más observaciones.

Paso 1

Calcula intervalos de tiempo, resta los tiempos entre observaciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{1}&=t_{1}-t_{2}\\\tau _{3}&=t_{3}-t_{2}\\\tau &=t_{3}-t_{1}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \tau _{n}}$es el intervalo de tiempo
• ${\displaystyle t_{n}}$es el tiempo de observación respectivo

Paso 2

El producto cruzado con respecto a un sistema de coordenadas diestro

Calcule los productos cruzados, tome los productos cruzados de la dirección de la unidad de observación (el orden importa):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p_{1}} &=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} \\\mathbf {p_{2}} &=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} \\\mathbf {p_{3}} &=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$es el producto cruzado de vectores ${\displaystyle \mathbf {a} {\text{ and }}\mathbf {b} }$
• ${\displaystyle \mathbf {p_{n}} }$es el respectivo vector de producto cruzado
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }$es el vector unitario respectivo

Paso 3

Tres vectores que definen un paralelepípedo. La magnitud del producto triple, describe el volumen. ${\displaystyle |\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$

Calcule la cantidad escalar común (triple producto escalar), tome el producto escalar del primer vector unitario de observación con el producto cruzado del segundo y tercer vector unitario de observación:

$${\displaystyle D_{0}=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} =\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \cdot (\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} )}$$

• ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$es el producto escalar de vectores y ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle D_{0}}$es el triple producto escalar común
• ${\displaystyle \mathbf {p_{n}} }$es el respectivo vector de producto cruzado
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }$es el vector unitario respectivo

Etapa 4

Calcule nueve cantidades escalares (similar al paso 3):

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{11}&=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} &D_{12}&=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{2}} &D_{13}&=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{3}} \\D_{21}&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{1}} &D_{22}&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{2}} &D_{23}&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{3}} \\D_{31}&=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{1}} &D_{32}&=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{2}} &D_{33}&=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{3}} \end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle D_{mn}}$son las respectivas cantidades escalares
• ${\displaystyle \mathbf {R_{m}} }$es el vector de posición del observador respectivo
• ${\displaystyle \mathbf {p_{n}} }$es el respectivo vector de producto cruzado

Paso 5

Calcule los coeficientes de posición escalar:

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{D_{0}}}\left(-D_{12}{\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{22}+D_{32}{\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right)\\B&={\frac {1}{6D_{0}}}\left[D_{12}\left(\tau _{3}^{2}-\tau ^{2}\right){\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{32}\left(\tau ^{2}-\tau _{1}^{2}\right){\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right]\\E&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle A}$, y son coeficientes de posición escalar ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle D_{0}}$es la cantidad escalar común
• ${\displaystyle D_{mn}}$son las respectivas cantidades escalares
• ${\displaystyle \tau _{n}}$es el intervalo de tiempo
• ${\displaystyle R_{n}}$es el vector de posición del observador respectivo
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }$es el vector unitario respectivo

Paso 6

Calcule la distancia escalar al cuadrado de la segunda observación, tomando el producto escalar del vector de posición de la segunda observación:

$${\displaystyle {R_{2}}^{2}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {R_{2}} }$$

• ${\displaystyle {R_{2}}^{2}}$es la distancia al cuadrado de la segunda observación
• ${\displaystyle \mathbf {R_{2}} }$es el vector de posición de la segunda observación

Paso 7

Calcule los coeficientes del polinomio de distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=-\left(A^{2}+2AE+{R_{2}}^{2}\right)\\b&=-2\mu B(A+E)\\c&=-\mu ^{2}B^{2}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle a{\text{, }}b{\text{, and }}c}$son coeficientes del polinomio de distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita
• ${\displaystyle A{\text{, }}B{\text{, and }}E}$son coeficientes de posición escalar
• ${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional del cuerpo focal del cuerpo en órbita

Paso 8

Encuentre la raíz del polinomio de distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita:

$${\displaystyle {r_{2}}^{8}+a{r_{2}}^{6}+b{r_{2}}^{3}+c=0}$$

• ${\displaystyle r_{2}}$es la distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita (él y su vector, r ₂ , están en el sistema de coordenadas ecuatoriales)
• ${\displaystyle a{\text{, }}b{\text{, and }}c}$son coeficientes como se indicó anteriormente

Se pueden utilizar varios métodos para encontrar la raíz, un método sugerido es el método de Newton-Raphson . La raíz debe ser físicamente posible (es decir, no negativa ni compleja) y si varias raíces son adecuadas, cada una debe evaluarse y compararse con los datos disponibles para confirmar su validez.

Paso 9

Calcule el rango inclinado , la distancia desde el punto del observador hasta el cuerpo en órbita en su momento respectivo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}&={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{31}{\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}+D_{21}{\dfrac {\tau }{\tau _{3}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{31}\left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}}{6{r_{2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right)}}-D_{11}\right]\\\rho _{2}&=A+{\frac {\mu B}{{r_{2}}^{3}}}\\\rho _{3}&={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{13}{\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}-D_{23}{\dfrac {\tau }{\tau _{1}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{13}\left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}}{6{r_{2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right)}}-D_{33}\right]\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \rho _{n}}$es el rango de inclinación respectivo (él y su vector, están en el sistema de coordenadas ecuatoriales topocéntricos) ${\displaystyle \mathbf {\rho _{n}} }$
• ${\displaystyle D_{0}}$es la cantidad escalar común
• ${\displaystyle D_{mn}}$son las respectivas cantidades escalares
• ${\displaystyle \tau _{(n)}}$es el intervalo de tiempo.
• ${\displaystyle r_{2}}$es la distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita
• ${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional del cuerpo focal del cuerpo en órbita

Paso 10

Calcule los vectores de posición del cuerpo en órbita sumando el vector de posición del observador al vector de dirección inclinada (que es la distancia inclinada multiplicada por el vector de dirección inclinada):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r_{1}} &=\mathbf {R_{1}} +\rho _{1}\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \\[1.7ex]\mathbf {r_{2}} &=\mathbf {R_{2}} +\rho _{2}\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \\[1.7ex]\mathbf {r_{3}} &=\mathbf {R_{3}} +\rho _{3}\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} \end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {r_{n}} }$es el vector de posición del cuerpo en órbita respectivo (en el sistema de coordenadas ecuatoriales )
• ${\displaystyle \mathbf {R_{n}} }$es el vector de posición del observador respectivo
• ${\displaystyle \rho _{n}}$es el rango de inclinación respectivo
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }$es el vector unitario respectivo

Paso 11

Calcule los coeficientes de Lagrange:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^{2}\\f_{3}&\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^{2}\\g_{1}&\approx \tau _{1}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^{3}\\g_{3}&\approx \tau _{3}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^{3}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle f_{1}}$, y son los coeficientes de Lagrange (estos son solo los dos primeros términos de la expresión en serie basada en el supuesto de un intervalo de tiempo pequeño ) ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{3}}$
• ${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional del cuerpo focal del cuerpo en órbita
• ${\displaystyle r_{2}}$es la distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita
• ${\displaystyle \tau _{(n)}}$es el intervalo de tiempo

Paso 12

Calcule el vector de velocidad para la segunda observación del cuerpo en órbita:

$${\displaystyle \mathbf {v_{2}} ={\frac {1}{f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}}}\left(-f_{3}\mathbf {r_{1}} +f_{1}\mathbf {r_{3}} \right)}$$

• ${\displaystyle \mathbf {v_{2}} }$es el vector de velocidad para la segunda observación del cuerpo en órbita (en el sistema de coordenadas ecuatoriales )
• ${\displaystyle f_{1}}$, , y son los coeficientes de Lagrange ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{3}}$
• ${\displaystyle \mathbf {r_{n}} }$es el respectivo vector de posición del cuerpo en órbita

Paso 13

Ahora se han encontrado los vectores de estado orbital , los vectores de posición ( r ₂ ) y velocidad ( v ₂ ) para la segunda observación del cuerpo en órbita. Con estos dos vectores se pueden encontrar los elementos orbitales y determinar la órbita.

Ver también

• Teorema del ángulo inscrito y forma de tres puntos para elipses

Referencias

1. Curtis, Howard D. Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería . Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005. Imprimir.
2. Gronchi, Giovanni F.. "Determinación de órbitas clásica y moderna para asteroides". Actas de la Unión Astronómica Internacional 2004.IAUC196 (2004): 1-11. Imprimir.

• Der, Gim J.. "Nuevos algoritmos exclusivos de ángulos para la determinación de la órbita inicial". Conferencia sobre tecnologías avanzadas de vigilancia espacial y óptica de Maui. (2012). Imprimir.