Proyección transversal de Mercator

Adaptación de la proyección estándar de Mercator

Una proyección transversal de Mercator

La proyección cartográfica transversal de Mercator ( TM , TMP ) es una adaptación de la proyección estándar de Mercator . La versión transversal es ampliamente utilizada en sistemas cartográficos nacionales e internacionales de todo el mundo, incluido el Universal Transverse Mercator . Cuando se combina con un dato geodésico adecuado , el Mercator transversal ofrece una alta precisión en zonas de menos de unos pocos grados en la extensión este-oeste.

Aspectos estándar y transversales.

Comparación de las formas tangente y secante de proyecciones de Mercator normal, oblicua y transversal con paralelos estándar en rojo

La proyección transversal de Mercator es el aspecto transversal de la proyección de Mercator estándar (o Normal ). Comparten la misma construcción matemática subyacente y, en consecuencia, el Mercator transversal hereda muchos rasgos del Mercator normal:

• Ambas proyecciones son cilíndricas : para la Normal Mercator, el eje del cilindro coincide con el eje polar y la línea de tangencia con el ecuador. Para el Mercator transversal, el eje del cilindro se encuentra en el plano ecuatorial, y la línea de tangencia es cualquier meridiano elegido, por lo que se denomina meridiano central .
• Ambas proyecciones se pueden modificar a formas secantes, lo que significa que la escala se ha reducido para que el cilindro atraviese el modelo de globo.
• Ambos existen en versiones esféricas y elipsoidales .
• Ambas proyecciones son conformes , de modo que la escala de puntos es independiente de la dirección y las formas locales se conservan bien;
• Ambas proyecciones tienen escala constante en la línea de tangencia (el ecuador para la normal de Mercator y el meridiano central para la transversal).

Dado que el meridiano central del Mercator transversal se puede elegir a voluntad, se puede utilizar para construir mapas muy precisos (de anchura estrecha) en cualquier parte del mundo. La forma secante y elipsoidal de Mercator transversal es la más ampliamente aplicada de todas las proyecciones para mapas precisos a gran escala.

Mercator transversal esférico

Al construir un mapa en cualquier proyección, normalmente se elige una esfera para modelar la Tierra cuando la extensión de la región cartografiada excede unos pocos cientos de kilómetros de longitud en ambas dimensiones. Para mapas de regiones más pequeñas, se debe elegir un modelo elipsoidal si se requiere mayor precisión; ver la siguiente sección. La forma esférica de la proyección transversal de Mercator fue una de las siete nuevas proyecciones presentadas, en 1772, por Johann Heinrich Lambert . ^{[1] [2]} (El texto también está disponible en una traducción al inglés moderno. ^[3] ) Lambert no nombró sus proyecciones; El nombre transversal de Mercator data de la segunda mitad del siglo XIX. ^[4] Las principales propiedades de la proyección transversal se presentan aquí en comparación con las propiedades de la proyección normal.

Proyecciones esféricas normales y transversales.

Mercator transversal elipsoidal

La forma elipsoidal de la proyección transversal de Mercator fue desarrollada por Carl Friedrich Gauss en 1822 ^[5] y analizada con más detalle por Johann Heinrich Louis Krüger en 1912. ^[6]

La proyección recibe varios nombres: Mercator transversal (elipsoidal) en Estados Unidos; Conforme de Gauss o Gauss-Krüger en Europa; o Mercator transversal de Gauss-Krüger de manera más general. Además de ser simplemente un sinónimo de la proyección cartográfica de Mercator transversal elipsoidal, el término Gauss-Krüger puede usarse de otras maneras ligeramente diferentes:

• A veces, el término se utiliza para un método computacional particular para Mercator transversal: es decir, cómo convertir entre latitud/longitud y coordenadas proyectadas. No existe una fórmula cerrada simple para hacerlo cuando la Tierra se modela como un elipsoide. Pero el método Gauss-Krüger da los mismos resultados que otros métodos, al menos si estás lo suficientemente cerca del meridiano central: menos de 100 grados de longitud, digamos. Más lejos, algunos métodos se vuelven inexactos.
• El término también se utiliza para un conjunto particular de proyecciones transversales de Mercator utilizadas en zonas estrechas de Europa y América del Sur, al menos en Alemania, Turquía, Austria, Eslovenia, Croacia, Bosnia-Herzegovina, Serbia, Montenegro, Macedonia del Norte, Finlandia y Argentina. . Este sistema Gauss-Krüger es similar al sistema transversal universal de Mercator , pero los meridianos centrales de las zonas Gauss-Krüger están separados por sólo 3°, a diferencia de los 6° en UTM.

La proyección es conforme con una escala constante en el meridiano central. (Existen otras generalizaciones conformes del Mercator transversal desde la esfera hasta el elipsoide, pero sólo Gauss-Krüger tiene una escala constante en el meridiano central). A lo largo del siglo XX se adoptó el Mercator transversal de Gauss-Krüger, de una forma u otra, por muchas naciones (y organismos internacionales); ^[7] además proporciona la base para la serie de proyecciones Universal Transverse Mercator . La proyección Gauss-Krüger es ahora la proyección más utilizada en la cartografía precisa a gran escala. ^{[ cita necesaria ]}

La proyección, desarrollada por Gauss y Krüger, se expresó en términos de series de potencias de orden bajo que se suponía divergían en dirección este-oeste, exactamente como en la versión esférica. El cartógrafo británico EH Thompson demostró que esto era falso, cuya versión exacta (forma cerrada) inédita de la proyección, reportada por Laurence Patrick Lee en 1976, ^[8] mostró que la proyección elipsoidal es finita (abajo). Ésta es la diferencia más llamativa entre las versiones esférica y elipsoidal de la proyección transversal de Mercator: Gauss-Krüger proporciona una proyección razonable de todo el elipsoide al plano, aunque su aplicación principal es el mapeo preciso a gran escala "cerca" del centro. meridiano. ^{[ cita necesaria ]}

Mercator transversal elipsoidal: una proyección finita.

Características

• Cerca del meridiano central (Greenwich en el ejemplo anterior), la proyección tiene poca distorsión y las formas de África, Europa occidental, las Islas Británicas, Groenlandia y la Antártida se comparan favorablemente con las de un globo.
• Las regiones centrales de las proyecciones transversales sobre la esfera y el elipsoide son indistinguibles en las proyecciones a pequeña escala que se muestran aquí.
• Los meridianos a 90° este y oeste del meridiano central elegido se proyectan como líneas horizontales a través de los polos. El hemisferio más distante se proyecta por encima del polo norte y por debajo del polo sur.
• El ecuador divide África, cruza América del Sur y luego continúa hasta el límite exterior completo de la proyección; se deben identificar los bordes superior e inferior y los bordes derecho e izquierdo (es decir, representan las mismas líneas en el globo). (Indonesia está dividida en dos).
• La distorsión aumenta hacia los límites derecho e izquierdo de la proyección, pero no aumenta hasta el infinito. Observe las Islas Galápagos, donde el meridiano de 90° oeste se encuentra con el ecuador en la parte inferior izquierda.
• El mapa es conforme. Las líneas que se cruzan en cualquier ángulo especificado en el elipsoide se proyectan en líneas que se cruzan en el mismo ángulo en la proyección. En particular, los paralelos y meridianos se cruzan a 90°.
• El factor de escala de puntos es independiente de la dirección en cualquier punto, de modo que la forma de una región pequeña se conserva razonablemente bien. La condición necesaria es que la magnitud del factor de escala no debe variar demasiado en la región en cuestión. Tenga en cuenta que, si bien América del Sur está muy distorsionada, la isla de Ceilán es lo suficientemente pequeña como para tener una forma razonable, aunque está lejos del meridiano central.
• La elección del meridiano central afecta en gran medida la apariencia de la proyección. Si se elige 90°O, entonces toda América es razonable. Si se elige 145°E, el Lejano Oriente es bueno y Australia está orientada con el norte hacia arriba.

En la mayoría de las aplicaciones, el sistema de coordenadas Gauss-Krüger se aplica a una franja estrecha cerca de los meridianos centrales donde las diferencias entre las versiones esférica y elipsoidal son pequeñas, pero importantes para un mapeo preciso. Las series directas de escala, convergencia y distorsión son funciones de la excentricidad y de la latitud y la longitud en el elipsoide: las series inversas son funciones de la excentricidad y de x e y en la proyección. En la versión secante, las líneas de escala verdadera en la proyección ya no son paralelas al meridiano central; se curvan ligeramente. El ángulo de convergencia entre los meridianos proyectados y las líneas de la cuadrícula constante x ya no es cero (excepto en el ecuador), por lo que se debe corregir el rumbo de la cuadrícula para obtener un acimut desde el norte verdadero. La diferencia es pequeña, pero no despreciable, especialmente en latitudes altas.

Implementaciones de la proyección Gauss-Krüger

En su artículo de 1912 ^[6] , Krüger presentó dos soluciones distintas, distinguidas aquí por el parámetro de expansión:

• Krüger– n (párrafos 5 a 8): Las fórmulas para la proyección directa, que dan las coordenadas x e y , son expansiones de cuarto orden en términos del tercer aplanamiento, n (la relación entre la diferencia y la suma de los ejes mayor y menor de el elipsoide). Los coeficientes se expresan en términos de latitud ( φ ), longitud ( λ ), eje mayor ( a ) y excentricidad ( e ). Las fórmulas inversas para φ y λ también son expansiones de cuarto orden en n pero con coeficientes expresados ​​en términos de x , y , a y e .
• Krüger– λ (párrafos 13 y 14): Las fórmulas que dan las coordenadas de proyección x e y son expansiones (de orden 5 y 4 respectivamente) en términos de la longitud λ , expresada en radianes: los coeficientes se expresan en términos de φ , a y mi . La proyección inversa para φ y λ son expansiones de sexto orden en términos de la relaciónX/a, con coeficientes expresados ​​en términos de y , a y e . (Ver Transverse Mercator: serie Redfearn ).

Las series Krüger- λ fueron las primeras en implementarse, posiblemente porque eran mucho más fáciles de evaluar con las calculadoras manuales de mediados del siglo XX.

• Lee–Redfearn–OSGB : En 1945, LP Lee ^[9] confirmó las expansiones λ de Krüger y propuso su adopción por parte del OSGB ^[10] pero Redfearn (1948) ^[11] señaló que no eran precisas debido a (a) las latitudes relativamente altas de Gran Bretaña y (b) la gran anchura del área cartografiada, más de 10 grados de longitud. Redfearn amplió la serie al octavo orden y examinó qué términos eran necesarios para alcanzar una precisión de 1 mm (medición en el suelo). La serie Redfearn sigue siendo la base de las proyecciones cartográficas de OSGB. ^[10]
• Thomas–UTM : Las expansiones λ de Krüger también fueron confirmadas por Paul Thomas en 1952: ^[12] están disponibles en Snyder. ^[13] Sus fórmulas de proyección, completamente equivalentes a las presentadas por Redfearn, fueron adoptadas por la Agencia de Cartografía de Defensa de los Estados Unidos como base para la UTM . ^[14] También se incorporan al convertidor de coordenadas Geotrans ^[15] puesto a disposición por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial de los Estados Unidos [2].
• Otros países : La serie Redfearn es la base para la cartografía geodésica en muchos países: Australia, Alemania, Canadá, Sudáfrica, por nombrar sólo algunos. (En el Apéndice A.1 de Stuifbergen 2009 figura una lista). ^[16]
• Se han propuesto muchas variantes de la serie Redfearn, pero sólo son importantes las adoptadas por las agencias cartográficas nacionales. Para ver un ejemplo de modificaciones que no tienen este estado, consulte Transverse Mercator: serie Bowring ). Todas estas modificaciones han sido eclipsadas por el poder de las computadoras modernas y el desarrollo de la serie n de alto orden que se describe a continuación. Las series precisas de Redfearn, aunque de bajo orden, no pueden ignorarse ya que todavía están consagradas en las definiciones cuasi legales de OSGB y UTM, etc.

La serie Krüger– n ha sido implementada (hasta el cuarto orden en n ) por las siguientes naciones.

• Francia ^[17]
• Finlandia ^[18]
• Suecia ^[19]
• Japón ^[20]

^{Engsager y Poder [21]} han implementado versiones de orden superior de la serie Krüger- n hasta el séptimo orden y Kawase hasta el décimo orden. ^[22] Aparte de una expansión de la serie para la transformación entre latitud y latitud conforme, Karney ha implementado la serie al trigésimo orden. ^[23]

Gauss-Krüger exacto y precisión de la serie truncada

LP Lee describe una solución exacta de EH Thompson. ^[8] Está construido en términos de funciones elípticas (definidas en los capítulos 19 y 22 del manual NIST ^[24] ) que pueden calcularse con precisión arbitraria utilizando sistemas informáticos algebraicos como Maxima. ^[25] Karney (2011) describe una implementación de este tipo de la solución exacta. ^[23]

La solución exacta es una herramienta valiosa para evaluar la precisión de las series n y λ truncadas. Por ejemplo, la serie original de Krüger- n de 1912 se compara muy favorablemente con los valores exactos: difieren en menos de 0,31 μm dentro de los 1.000 km del meridiano central y en menos de 1 mm hasta los 6.000 km. Por otro lado, la diferencia entre la serie Redfearn utilizada por Geotrans y la solución exacta es de menos de 1 mm para una diferencia de longitud de 3 grados, lo que corresponde a una distancia de 334 km del meridiano central en el ecuador pero a sólo 35 km en el límite norte de una zona UTM. Por tanto, las series de Krüger– n son mucho mejores que las series de Redfearn λ.

La serie Redfearn empeora mucho a medida que la zona se amplía. Karney analiza Groenlandia como un ejemplo instructivo. La larga y delgada masa de tierra está centrada en 42W y, en su punto más ancho, no está a más de 750 km de ese meridiano, mientras que la longitud alcanza casi 50 grados. Krüger– n tiene una precisión de 1 mm, pero la versión Redfearn de la serie Krüger– λ tiene un error máximo de 1 kilómetro.

La serie de octavo orden (en n ) de Karney tiene una precisión de 5 nm dentro de 3900 km del meridiano central.

Fórmulas para el Mercator transversal esférico.

Mercator normal esférico revisado

El aspecto normal de una proyección cilíndrica tangente de la esfera.

Las proyecciones cilíndricas normales se describen en relación con un cilindro tangencial al ecuador con eje a lo largo del eje polar de la esfera. Las proyecciones cilíndricas se construyen de manera que todos los puntos de un meridiano se proyecten a puntos con (donde está el radio de la Tierra ) y es una función prescrita de . Para una proyección tangente de Mercator normal, las fórmulas (únicas) que garantizan la conformidad son: ^[26] ${\displaystyle x=a\lambda }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle x=a\lambda \,,\qquad y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right].}$

La conformidad implica que la escala de puntos , k , es independiente de la dirección: es función únicamente de la latitud:

${\displaystyle k(\varphi )=\sec \varphi .\,}$

Para la versión secante de la proyección hay un factor de k ₀ en el lado derecho de todas estas ecuaciones: esto asegura que la escala sea igual a k ₀ en el ecuador.

Retículas normales y transversales.

Retículas de mercator transversales

La figura de la izquierda muestra cómo se relaciona un cilindro transversal con la retícula convencional de la esfera. Es tangencial a algún meridiano elegido arbitrariamente y su eje es perpendicular al de la esfera. Los ejes x e y definidos en la figura están relacionados con el ecuador y el meridiano central exactamente como lo están en la proyección normal. En la figura de la derecha, una retícula girada está relacionada con el cilindro transversal de la misma manera que el cilindro normal está relacionado con la retícula estándar. El 'ecuador', los 'polos' (E y W) y los 'meridianos' de la retícula rotada se identifican con el meridiano central elegido, los puntos en el ecuador a 90 grados al este y al oeste del meridiano central y los círculos máximos que pasan por esos puntos.

Geometría de Mercator transversal

La posición de un punto arbitrario ( φ , λ ) en la retícula estándar también se puede identificar en términos de ángulos en la retícula rotada: φ′ (ángulo M′CP) es una latitud efectiva y − λ′ (ángulo M′CO) se convierte en una longitud efectiva. (El signo menos es necesario para que ( φ′ , λ′ ) estén relacionados con la retícula rotada de la misma manera que ( φ , λ ) estén relacionados con la retícula estándar). Los ejes cartesianos ( x′ , y′ ) están relacionados con la retícula rotada de la misma manera que los ejes ( x , y ) están relacionados con la retícula estándar.

La proyección tangente transversal de Mercator define las coordenadas ( x′ , y′ ) en términos de − λ′ y φ′ mediante las fórmulas de transformación de la proyección tangente normal de Mercator:

${\displaystyle x'=-a\lambda '\,\qquad y'={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi '}{1-\sin \varphi '}}\right].}$

Esta transformación proyecta el meridiano central a una línea recta de longitud finita y al mismo tiempo proyecta los círculos máximos que pasan por E y W (que incluyen el ecuador) a infinitas líneas rectas perpendiculares al meridiano central. Los verdaderos paralelos y meridianos (distintos del ecuador y el meridiano central) no tienen una relación simple con la retícula rotada y se proyectan en curvas complicadas.

La relación entre las retículas.

Los ángulos de las dos retículas se relacionan mediante el uso de trigonometría esférica en el triángulo esférico NM′P definido por el meridiano verdadero que pasa por el origen, OM′N, el meridiano verdadero que pasa por un punto arbitrario, MPN, y el círculo máximo WM′PE. Los resultados son: ^[26]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi '&=\sin \lambda \cos \varphi ,\\\tan \lambda '&=\sec \lambda \tan \varphi .\end{aligned}}}$

Fórmulas de transformación directa.

Las fórmulas directas que dan las coordenadas cartesianas ( x , y ) se derivan inmediatamente de lo anterior. Establecer x  =  y′ e y  = − x′ (y restaurar factores de k ₀ para acomodar versiones secantes)

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\lambda ,\varphi )&={\frac {1}{2}}k_{0}a\ln \left[{\frac {1+\sin \lambda \cos \varphi }{1-\sin \lambda \cos \varphi }}\right],\\[5px]y(\lambda ,\varphi )&=k_{0}a\arctan \left[\sec \lambda \tan \varphi \right],\end{aligned}}}$

Las expresiones anteriores se dan en Lambert ^[1] y también (sin derivaciones) en Snyder, ^[13] Maling ^[27] y Osborne ^[26] (con todos los detalles).

Fórmulas de transformación inversa

Invertir las ecuaciones anteriores da

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (x,y)&=\arctan \left[\sinh {\frac {x}{k_{0}a}}\sec {\frac {y}{k_{0}a}}\right],\\[5px]\varphi (x,y)&=\arcsin \left[{\mbox{sech}}\;{\frac {x}{k_{0}a}}\sin {\frac {y}{k_{0}a}}\right].\end{aligned}}}$

escala de puntos

En términos de las coordenadas con respecto a la retícula rotada, el factor de escala de puntos viene dado por k  = sec  φ′ : esto puede expresarse en términos de coordenadas geográficas o en términos de coordenadas de proyección:

${\displaystyle {\begin{aligned}k(\lambda ,\varphi )&={\frac {k_{0}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\lambda \cos ^{2}\varphi }}},\\[5px]k(x,y)&=k_{0}\cosh \left({\frac {x}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

La segunda expresión muestra que el factor de escala es simplemente una función de la distancia desde el meridiano central de la proyección. Un valor típico del factor de escala es k ₀  = 0,9996, de modo que k  = 1 cuando x es aproximadamente 180 km. Cuando x es aproximadamente 255 km y k ₀  = 1,0004: el factor de escala está dentro del 0,04% de la unidad en una franja de aproximadamente 510 km de ancho.

Convergencia

El ángulo de convergencia.

El ángulo de convergencia γ en un punto de la proyección se define por el ángulo medido desde el meridiano proyectado, que define el norte verdadero, hasta una línea de cuadrícula de x constante , que define el norte de la cuadrícula. Por tanto, γ es positiva en el cuadrante al norte del ecuador y al este del meridiano central y también en el cuadrante al sur del ecuador y al oeste del meridiano central. La convergencia debe agregarse a un rumbo de cuadrícula para obtener un rumbo desde el norte verdadero. Para la secante transversal de Mercator, la convergencia puede expresarse ^[26] ya sea en términos de las coordenadas geográficas o en términos de las coordenadas de proyección:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (\lambda ,\varphi )&=\arctan(\tan \lambda \sin \varphi ),\\[5px]\gamma (x,y)&=\arctan \left(\tanh {\frac {x}{k_{0}a}}\tan {\frac {y}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

Fórmulas para el Mercator transversal elipsoidal

Detalles de implementaciones reales

• Serie de Gauss-Kruger en longitud: Transversa de Mercator: Serie de Redfearn
• Serie de Gauss-Kruger en n (tercer aplanamiento): Mercator transversal: serie de aplanamiento
• Proyección transversal exacta (forma cerrada) de Mercator: Mercator transversal: solución exacta
• Serie Redfearn de cuarto orden mediante fórmulas concisas (ejemplo): Transverse Mercator: serie Bowring

Coordenadas, cuadrículas, este y norte

Las coordenadas de proyección resultantes de los distintos desarrollos del elipsoidal transversal de Mercator son coordenadas cartesianas de modo que el meridiano central corresponde al eje x y el ecuador corresponde al eje y . Tanto x como y están definidos para todos los valores de λ y ϕ . La proyección no define una cuadrícula: la cuadrícula es una construcción independiente que podría definirse arbitrariamente. En la práctica, las implementaciones nacionales y UTM sí utilizan cuadrículas alineadas con los ejes cartesianos de la proyección, pero son de extensión finita, con orígenes que no necesariamente coinciden con la intersección del meridiano central con el ecuador.

El verdadero origen de la cuadrícula siempre se toma en el meridiano central, de modo que las coordenadas de la cuadrícula serán negativas al oeste del meridiano central. Para evitar este tipo de coordenadas de cuadrícula negativas, la práctica estándar define un origen falso al oeste (y posiblemente al norte o al sur) del origen de la cuadrícula: las coordenadas relativas al origen falso definen el este y el norte , que siempre serán positivos. El falso este , E ₀ , es la distancia del origen verdadero de la cuadrícula al este del origen falso. El norte falso , N ₀ , es la distancia del origen verdadero de la cuadrícula al norte del origen falso. Si el verdadero origen de la cuadrícula está en la latitud φ ₀ en el meridiano central y el factor de escala del meridiano central es k ₀ , entonces estas definiciones dan direcciones este y norte por:

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=E_{0}+x(\lambda ,\varphi ),\\[5px]N&=N_{0}+y(\lambda ,\varphi )-k_{0}m(\varphi _{0}).\end{aligned}}}$

Los términos "este" y "norte" no significan direcciones estrictas este y norte. Las líneas de cuadrícula de la proyección transversal, distintas de los ejes x e y , no van de norte a sur ni de este a oeste según lo definen los paralelos y meridianos. Esto es evidente a partir de las proyecciones globales que se muestran arriba. Cerca del meridiano central las diferencias son pequeñas pero mensurables. La diferencia entre las líneas de la cuadrícula norte-sur y los meridianos verdaderos es el ángulo de convergencia.

Ver también

• Lista de proyecciones cartográficas
• Proyección de Mercator
• Escala (mapa)
• Proyección oblicua de Mercator

Referencias

1. Lambert, Johann Heinrich. 1772. Anmerkungen und Zusätze zur Entwerfung der Land- und Himmelscharten . En Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, parte 3, sección 6)
2. Albert Wangerin (Editor), 1894. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften ( 54 ). Publicado por Wilhelm Engelmann. Este es el artículo de Lambert con comentarios adicionales del editor. Disponible en la Biblioteca de Matemáticas Históricas de la Universidad de Michigan.
3. Tobler, Waldo R, Notas y comentarios sobre la composición de mapas terrestres y celestes , 1972 (University of Michigan Press). Reimpreso (2010) por Esri: [1]
4. Snyder, John P. (1993). Aplanamiento de la Tierra: dos mil años de proyecciones cartográficas . Prensa de la Universidad de Chicago. pag. 82.ISBN​ 978-0-226-76747-5.Este es un excelente estudio de prácticamente todas las proyecciones conocidas desde la antigüedad hasta 1993.
5. Gauss, Karl Friedrich, 1825. "Allgemeine Auflösung der Aufgabe: die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegebnen Fläche so abzubilden, daß die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird" Preisarbeit der Kopenhagener Akademie 1822. Schumacher Astro nomische Abhandlungen, Altona , No. 3, pág. 5–30. [Reimpreso en 1894, Klassiker der Exakten Wissenschaften de Ostwald, no. 55: Leipzig, Wilhelm Engelmann, pág. 57–81, editado por Albert Wangerin, págs. 97–101. También en Herausgegeben von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen en Kommission bei Julius Springer en Berlín, 1929, v. 12, págs. 1–9.]
6. Krüger, L. (1912). Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene . Real Instituto Geodésico de Prusia, Nueva Serie 52.
7. "Actas breves del primer taller europeo sobre redes de referencia, Ispra, 27 a 29 de octubre de 2003" (PDF) . Agencia Europea de Medio Ambiente . 2004-06-14. pag. 6 . Consultado el 27 de agosto de 2009 .La EEA recomienda el Mercator transversal para el mapeo paneuropeo conforme a escalas superiores a 1:500.000.
8. Lee, Laurence Patrick (1976). Proyecciones conformes basadas en funciones elípticas . Monografía cartográfica . vol. 16. Prensa de la Universidad de Toronto. ISBN 9780919870161.págs. 1 a 14, 92 a 101 y 107 a 114.
9. Lee LP, (1945). Revisión de la encuesta, volumen  8 (Parte 58), págs. 142-152. La proyección transversal de Mercator del esferoide. (Erratas y comentarios en el Volumen  8 (Parte 61), págs. 277–278.
10. Una guía para sistemas de coordenadas en Gran Bretaña. Está disponible como documento pdf en "Bienvenido a GPS Network". Archivado desde el original el 11 de febrero de 2012 . Consultado el 11 de enero de 2012 .
11. Redfearn, JCB (1948). Survey Review, Volumen  9 (Parte 69), págs. 318–322, Fórmulas transversales de Mercator.
12. Thomas, Paul D (1952). Proyecciones conformes en geodesia y cartografía . Washington: Publicación especial 251 del estudio geodésico y costero de EE. UU.
13. Snyder, John P. (1987). Proyecciones cartográficas: un manual de trabajo. Documento profesional 1395 del Servicio Geológico de EE. UU . Imprenta del Gobierno de los Estados Unidos, Washington, DCEste documento se puede descargar desde las páginas del USGS. Proporciona todos los detalles de la mayoría de las proyecciones, junto con interesantes secciones introductorias, pero no deriva ninguna de las proyecciones de los primeros principios.
14. Hager, JW; Behensky, JF; Dibujó, BW (1989). «Las rejillas universales: Universal Transverse Mercator (UTM) y Universal Polar Stereographic (UPS)» (PDF) . Informe Técnico TM 8358.2, Agencia de Cartografía de Defensa .
15. Geotrans, 2010, Traductor geográfico, versión 3.0, URL http://earth-info.nga.mil/GandG/geotrans/
16. N. Stuifbergen, 2009, Proyección transversal de Mercator de zona amplia, Informe técnico 262, Servicio Hidrográfico Canadiense, URL http://www.dfo-mpo.gc.ca/Library/337182.pdf.
17. http://geodesie.ign.fr/contenu/fichiers/documentation/algorithmes/notice/NTG_76.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
18. R. Kuittinen, T. Sarjakoski, M. Ollikainen, M. Poutanen, R. Nuuros, P. Tätilä, J. Peltola, R. Ruotsalainen y M. Ollikainen, 2006, ETRS89 — järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako, Informe técnico JHS 154, Instituto Geodésico Finlandés, Apéndice 1, Projektiokaavart, URL http://docs.jhs-suositukset.fi/jhs-suositukset/JHS154/JHS154_liite1.pdf.
19. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 18 de abril de 2014 . Consultado el 15 de julio de 2013 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
20. http://psgsv2.gsi.go.jp/koukyou/jyunsoku/pdf/H28/H28_junsoku_furoku6.pdf#page=22 ^{[ URL desnuda PDF ]}
21. KE Engsager y K. Poder, 2007, Un algoritmo mundial de alta precisión para el mapeo transversal de Mercator (casi), en Proc. Internacional XXIII Conferencia cartográfica. (ICC2007), Moscú, pág. 2.1.2.
22. Kawase, K. (2011): Una fórmula general para calcular la longitud del arco de los meridianos y su aplicación a la conversión de coordenadas en la proyección Gauss-Krüger, Boletín de la Autoridad de Información Geoespacial de Japón , 59 , págs.
23. CFF Karney (2011), Mercator transversal con una precisión de unos pocos nanómetros , J. Geodesy 85 (8), 475-485 (2011); La preimpresión en papel y la implementación de algoritmos en C++ están disponibles en tm.html.
24. FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert y CW Clark, editores, 2010, Manual de funciones matemáticas del NIST (Cambridge University Press), disponible en línea en la URL http://dlmf.nist.gov.
25. Maxima, 2009, Un sistema de álgebra informática, versión 5.20.1, URL http://maxima.sf.net.
26. Las proyecciones de Mercator Derivaciones detalladas de todas las fórmulas citadas en este artículo
27. Maling, Derek Hylton (1992). Sistemas de coordenadas y proyecciones cartográficas (segunda ed.). Prensa de Pérgamo. ISBN 978-0-08-037233-4..

enlaces externos

• Las proyecciones utilizadas para ilustrar este artículo se prepararon utilizando Geocart, que está disponible en http://www.mapthematics.com.