Residuo (análisis complejo)

Atributo de una función matemática

En matemáticas , más específicamente en análisis complejos , el residuo es un número complejo proporcional a la integral de contorno de una función meromorfa a lo largo de un camino que encierra una de sus singularidades . (De manera más general, los residuos se pueden calcular para cualquier función que sea holomorfa excepto en los puntos discretos { a _k } _k , incluso si algunos de ellos son singularidades esenciales .) Los residuos se pueden calcular con bastante facilidad y, una vez conocidos, permiten determinar Integrales de contorno generales mediante el teorema del residuo . ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C} }$

Definición

El residuo de una función meromorfa en una singularidad aislada , a menudo denominado , o , es el valor único que tiene una antiderivada analítica en un disco perforado . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)}$ ${\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=a}f(z)}$ ${\displaystyle \mathop {\operatorname {res} } _{z=a}f(z)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(z)-R/(z-a)}$ ${\displaystyle 0<\vert z-a\vert <\delta }$

Alternativamente, los residuos se pueden calcular encontrando expansiones de la serie de Laurent , y se puede definir el residuo como el coeficiente a ₋₁ de una serie de Laurent.

El concepto se puede utilizar para proporcionar valores de integración de contorno de ciertos problemas de integral de contorno considerados en el teorema del residuo . Según el teorema del residuo , para una función meromorfa , el residuo en el punto viene dado como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,.}$

donde es una curva cerrada simple orientada positivamente alrededor y sin incluir otras singularidades en o dentro de la curva. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a_{k}}$

La definición de residuo se puede generalizar a superficies de Riemann arbitrarias . Supongamos que es una forma 1 en una superficie de Riemann. Sea meromorfo en algún punto , de modo que podamos escribir en coordenadas locales como . Entonces, el residuo de at se define como el residuo de en el punto correspondiente a . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f(z)\;dz}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle x}$

Integración de contorno

Integral de contorno de un monomio

Calcular el residuo de un monomio

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}\,dz}$

facilita la mayoría de los cálculos de residuos. Dado que los cálculos de la integral de ruta son invariantes de homotopía , dejaremos que sea el círculo con el radio en sentido contrario a las agujas del reloj. Luego, usando el cambio de coordenadas encontramos que ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z\to e^{i\theta }}$

${\displaystyle dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta }$

por lo tanto nuestra integral ahora se lee como

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Por tanto, el residuo de es 1 si es un número entero y 0 en caso contrario. ${\displaystyle z^{k}}$ ${\displaystyle k=-1}$

Generalización a la serie Laurent

Si una función se expresa como una expansión en serie de Laurent alrededor de c de la siguiente manera:

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.}$$

$${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz={1 \over 2\pi i}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(z-c)^{n}\,dz=a_{-1}}$$

en serie de Laurent ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Aplicación en el teorema del residuo

Para una función meromorfa , con un conjunto finito de singularidades dentro de una curva cerrada simple orientada positivamente que no pasa por ninguna singularidad, el valor de la integral de contorno viene dado según el teorema del residuo , como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (C,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$

${\displaystyle \operatorname {I} (C,a_{k})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$

${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle C}$

Cálculo de residuos

Supongamos un disco perforado D = { z  : 0 < | z − c | < R } en el plano complejo está dado y f es una función holomorfa definida (al menos) en D . El residuo Res( f , c ) de f en c es el coeficiente a ₋₁ de ( z − c ) ⁻¹ en la expansión en serie de Laurent de f alrededor de c . Existen varios métodos para calcular este valor, y la elección de cuál utilizar depende de la función en cuestión y de la naturaleza de la singularidad.

Según el teorema del residuo , tenemos:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

donde γ traza un círculo alrededor de c en sentido antihorario y no pasa ni contiene otras singularidades dentro de él. Podemos elegir que el camino γ sea un círculo de radio ε alrededor de c. Dado que ε puede ser tan pequeño como deseemos, se puede hacer que contenga solo la singularidad de c debido a la naturaleza de las singularidades aisladas. Esto se puede utilizar para el cálculo en los casos en que la integral se puede calcular directamente, pero suele darse el caso de que se utilicen residuos para simplificar el cálculo de integrales, y no al revés.

Singularidades removibles

Si la función f puede continuar hasta una función holomorfa en todo el disco , entonces Res( f ,  c ) = 0. Lo contrario generalmente no es cierto. ${\displaystyle |y-c|<R}$

Postes simples

En un polo simple c , el residuo de f viene dado por:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

Si ese límite no existe, hay allí una singularidad esencial. Si es 0, entonces es analítico o hay una singularidad removible. Si es igual a infinito entonces el orden es mayor que 1.

Puede ser que la función f pueda expresarse como un cociente de dos funciones, donde g y h son funciones holomorfas en una vecindad de c , con h ( c ) = 0 y  h' ( c ) ≠ 0. En tal En este caso, la regla de L'Hôpital se puede utilizar para simplificar la fórmula anterior a: ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

Fórmula límite para polos de orden superior

De manera más general, si c es un polo de orden n , entonces el residuo de f alrededor de z = c se puede encontrar mediante la fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$

Esta fórmula puede resultar muy útil para determinar los residuos de polos de orden inferior. Para polos de orden superior, los cálculos pueden volverse inmanejables y la expansión en serie suele ser más fácil. Para las singularidades esenciales , no existe una fórmula tan simple y, por lo general, los residuos deben tomarse directamente de las expansiones en serie.

Residuo en el infinito

En general, el residuo en el infinito se define como:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

Si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

entonces el residuo en el infinito se puede calcular usando la siguiente fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}$

si en cambio

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

entonces el residuo en el infinito es

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

Para funciones holomorfas, la suma de los residuos en las singularidades aisladas más el residuo en el infinito es cero, lo que da:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} \left(f\left(z\right),a_{k}\right).}$

Métodos en serie

Si partes o la totalidad de una función se pueden expandir en una serie de Taylor o una serie de Laurent , lo que puede ser posible si las partes o la totalidad de la función tiene una expansión en serie estándar, entonces calcular el residuo es significativamente más simple que con otros métodos. El residuo de la función viene dado simplemente por el coeficiente de en la expansión de la función en serie de Laurent . ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Ejemplos

Residuo de expansión en serie

Ejemplo 1

Como ejemplo, considere la integral de contorno.

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$

donde C es una curva cerrada simple alrededor de 0.

Evaluemos esta integral usando un resultado de convergencia estándar sobre integración por series. Podemos sustituir la serie de Taylor en el integrando. La integral entonces se convierte en ${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

Introduzcamos el factor 1/ z ⁵ en la serie. La integral de contorno de la serie entonces escribe

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}$

Dado que la serie converge uniformemente en el soporte del camino de integración, se nos permite intercambiar integración y suma. La serie de integrales de trayectoria luego colapsa a una forma mucho más simple debido al cálculo previo. Entonces ahora la integral alrededor de C de cualquier otro término que no esté en la forma cz ⁻¹ es cero, y la integral se reduce a

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$

¡El valor 1/4! es el residuo de e ^z / z ⁵ en z = 0, y se denota

${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.}$

Ejemplo 2

Como segundo ejemplo, considere calcular los residuos en las singularidades de la función

$${\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}}$$

z

$${\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}}$$

zsingularidad removiblezzgzza

$${\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots }$$

gzza

$${\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .}$$

gzza

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}$$

z

$${\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$$

fzz

Ejemplo 3

El siguiente ejemplo muestra que, al calcular un residuo mediante expansión en serie, el teorema de inversión de Lagrange desempeña un papel importante . Dejar

$${\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}$$

función completa

$${\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}$$

meromórfico ${\textstyle v_{1}\neq 0}$ ${\textstyle v(z)}$ ${\textstyle V(z)}$ ${\textstyle u(1/V(z))}$

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.}$$

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}}$$

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},}$$

${\displaystyle u(z)=z+z^{2}}$ ${\displaystyle v(z)=z+z^{2}}$

$${\displaystyle V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}}$$

$${\displaystyle u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.}$$

${\displaystyle 1/z^{2}+2/z}$

Tenga en cuenta que, con los supuestos simétricos más fuertes correspondientes en y , también se sigue ${\textstyle u(z)}$ ${\textstyle v(z)}$

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),}$$

${\textstyle U(z)}$ ${\textstyle u(z)}$

Ver también

• El teorema del residuo relaciona una integral de contorno alrededor de algunos de los polos de una función con la suma de sus residuos.
• Fórmula integral de Cauchy
• Teorema integral de Cauchy
• Teorema de Mittag-Leffler
• Métodos de integración de contornos.
• teorema de morera
• Fracciones parciales en análisis complejos.

Referencias

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo . McGraw-Hill.
• Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. (1998). Análisis complejo básico (3ª ed.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

enlaces externos

• "Residuo de una función analítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Residuo complejo". MundoMatemático .