Fracciones parciales en análisis complejos.

Forma de escribir una función meromórfica.

En análisis complejo , una expansión de fracción parcial es una forma de escribir una función meromórfica como una suma infinita de funciones racionales y polinomios . Cuando es una función racional, esta se reduce al método habitual de fracciones parciales . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$

Motivación

Al utilizar la división larga de polinomios y la técnica de fracción parcial del álgebra, cualquier función racional se puede escribir como una suma de términos de la forma , donde y son complejos, es un número entero y es un polinomio. Así como la factorización polinómica se puede generalizar al teorema de factorización de Weierstrass , existe una analogía con las expansiones de fracciones parciales para ciertas funciones meromórficas. ${\textstyle {\frac {1}{(az+b)^{k}}}+p(z)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p(z)}$

Una función racional propia (una para la cual el grado del denominador es mayor que el grado del numerador) tiene una expansión de fracción parcial sin términos polinomiales. De manera similar, una función meromórfica para la cual va a 0 va al infinito al menos tan rápido como tiene una expansión sin términos polinomiales. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle |f(z)|}$ ${\displaystyle z}$ ${\textstyle |{\frac {1}{z}}|}$

Cálculo

Sea una función meromorfa en el plano complejo finito con polos en y sea una secuencia de curvas cerradas simples tal que: ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...}$ ${\displaystyle (\Gamma _{1},\Gamma _{2},...)}$

• El origen está dentro de cada curva. ${\displaystyle \Gamma _{k}}$
• Ninguna curva pasa por un polo de ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \Gamma _{k}}$yace dentro para todos ${\displaystyle \Gamma _{k+1}}$ ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }d(\Gamma _{k})=\infty }$, donde da la distancia desde la curva al origen ${\displaystyle d(\Gamma _{k})}$
• Una condición más de compatibilidad con los polos , descrita al final de este apartado. ${\displaystyle \lambda _{k}}$

Supongamos también que existe un número entero tal que ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\oint _{\Gamma _{k}}\left|{\frac {f(z)}{z^{p+1}}}\right||dz|<\infty }$

Escribiendo para la parte principal de la expansión de Laurent sobre el punto , tenemos ${\displaystyle \operatorname {PP} (f(z);z=\lambda _{k})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\operatorname {PP} (f(z);z=\lambda _{k}),}$

si . Si entonces ${\displaystyle p=-1}$ ${\displaystyle p>-1}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(\operatorname {PP} (f(z);z=\lambda _{k})+c_{0,k}+c_{1,k}z+\cdots +c_{p,k}z^{p}),}$

donde los coeficientes están dados por ${\displaystyle c_{j,k}}$

${\displaystyle c_{j,k}=\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}{\frac {f(z)}{z^{j+1}}}}$

${\displaystyle \lambda _{0}}$debe establecerse en 0, porque incluso si él mismo no tiene un polo en 0, los residuos de at aún deben incluirse en la suma. ${\displaystyle f(z)}$ ${\textstyle {\frac {f(z)}{z^{j+1}}}}$ ${\displaystyle z=0}$

Tenga en cuenta que en el caso de , podemos usar la expansión de Laurent sobre el origen para obtener ${\displaystyle \lambda _{0}=0}$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)={\frac {a_{-m}}{z^{m}}}+{\frac {a_{-m+1}}{z^{m-1}}}+\cdots +a_{0}+a_{1}z+\cdots }$

${\displaystyle c_{j,k}=\operatorname {Res} _{z=0}\left({\frac {a_{-m}}{z^{m+j+1}}}+{\frac {a_{-m+1}}{z^{m+j}}}+\cdots +{\frac {a_{j}}{z}}+\cdots \right)=a_{j},}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{p}c_{j,k}z^{j}=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{p}z^{p}}$

de modo que los términos polinomiales aportados sean exactamente la parte regular de la serie de Laurent hasta . ${\displaystyle z^{p}}$

Para los otros polos donde , se puede sacar de los cálculos de residuos : ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\textstyle {\frac {1}{z^{j+1}}}}$

${\displaystyle c_{j,k}={\frac {1}{\lambda _{k}^{j+1}}}\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}f(z)}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{p}c_{j,k}z^{j}=[\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}f(z)]\sum _{j=0}^{p}{\frac {1}{\lambda _{k}^{j+1}}}z^{j}}$

• Para evitar problemas con la convergencia, los polos deben ordenarse de modo que si está dentro , también esté dentro para todos . ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ ${\displaystyle j<k}$

Ejemplo

Las funciones meromórficas más simples con un número infinito de polos son las funciones trigonométricas no enteras . Como ejemplo, es meromorfo con polos en , los contornos serán cuadrados con vértices en recorridos en sentido antihorario, que se ve fácilmente que satisfacen las condiciones necesarias. ${\displaystyle \tan(z)}$ ${\textstyle (n+{\frac {1}{2}})\pi }$ ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,...}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle \pm \pi k\pm \pi ki}$ ${\displaystyle k>1}$

En los lados horizontales de , ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

${\displaystyle z=t\pm \pi ki,\ \ t\in [-\pi k,\pi k],}$

entonces

${\displaystyle |\tan(z)|^{2}=\left|{\frac {\sin(t)\cosh(\pi k)\pm i\cos(t)\sinh(\pi k)}{\cos(t)\cosh(\pi k)\pm i\sin(t)\sinh(\pi k)}}\right|^{2}}$

${\displaystyle |\tan(z)|^{2}={\frac {\sin ^{2}(t)\cosh ^{2}(\pi k)+\cos ^{2}(t)\sinh ^{2}(\pi k)}{\cos ^{2}(t)\cosh ^{2}(\pi k)+\sin ^{2}(t)\sinh ^{2}(\pi k)}}}$

${\displaystyle \sinh(x)<\cosh(x)}$para todo real , lo que produce ${\displaystyle x}$

${\displaystyle |\tan(z)|^{2}<{\frac {\cosh ^{2}(\pi k)(\sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t))}{\sinh ^{2}(\pi k)(\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t))}}=\coth ^{2}(\pi k)}$

Porque , es continua, decreciente y está limitada por debajo por 1, por lo que se deduce que en los lados horizontales de , . De manera similar, se puede demostrar que en los lados verticales de . ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle \coth(x)}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle |\tan(z)|<\coth(\pi )}$ ${\displaystyle |\tan(z)|<1}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

Con este límite podemos ver que ${\displaystyle |\tan(z)|}$

${\displaystyle \oint _{\Gamma _{k}}\left|{\frac {\tan(z)}{z}}\right|dz\leq \operatorname {length} (\Gamma _{k})\max _{z\in \Gamma _{k}}\left|{\frac {\tan(z)}{z}}\right|<8k\pi {\frac {\coth(\pi )}{k\pi }}=8\coth(\pi )<\infty .}$

Es decir, el máximo de on ocurre en el mínimo de , que es . ${\textstyle |{\frac {1}{z}}|}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle k\pi }$

Por lo tanto , y la expansión en fracción parcial de parece ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle \tan(z)}$

${\displaystyle \tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(\operatorname {PP} (\tan(z);z=\lambda _{k})+\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}{\frac {\tan(z)}{z}}).}$

Las partes principales y los residuos son bastante fáciles de calcular, ya que todos los polos de son simples y tienen residuo -1: ${\displaystyle \tan(z)}$

${\displaystyle \operatorname {PP} (\tan(z);z=(n+{\frac {1}{2}})\pi )={\frac {-1}{z-(n+{\frac {1}{2}})\pi }}}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=(n+{\frac {1}{2}})\pi }{\frac {\tan(z)}{z}}={\frac {-1}{(n+{\frac {1}{2}})\pi }}}$

Podemos ignorar , ya que ambos y son analíticos en 0, por lo que no hay contribución a la suma, y ​​ordenar los polos de modo que , etc., dé como resultado ${\displaystyle \lambda _{0}=0}$ ${\displaystyle \tan(z)}$ ${\textstyle {\frac {\tan(z)}{z}}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\textstyle \lambda _{1}={\frac {\pi }{2}},\lambda _{2}={\frac {-\pi }{2}},\lambda _{3}={\frac {3\pi }{2}}}$

${\displaystyle \tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[\left({\frac {-1}{z-(k+{\frac {1}{2}})\pi }}-{\frac {1}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)+\left({\frac {-1}{z+(k+{\frac {1}{2}})\pi }}+{\frac {1}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)\right]}$

${\displaystyle \tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-2z}{z^{2}-(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}}$

Aplicaciones

Productos infinitos

Debido a que la expansión de fracciones parciales a menudo produce sumas de , puede resultar útil para encontrar una manera de escribir una función como un producto infinito ; integrar ambos lados da una suma de logaritmos y exponenciar da el producto deseado: ${\textstyle {\frac {1}{a+bz}}}$

${\displaystyle \tan(z)=-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{z-(k+{\frac {1}{2}})\pi }}+{\frac {1}{z+(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{z}\tan(w)dw=\log \sec z}$

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {1}{w\pm (k+{\frac {1}{2}})\pi }}dw=\log \left(1\pm {\frac {z}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)}$

Aplicando algunas reglas de logaritmos,

${\displaystyle \log \sec z=-\sum _{k=0}^{\infty }\left(\log \left(1-{\frac {z}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)+\log \left(1+{\frac {z}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)\right)}$

${\displaystyle \log \cos z=\sum _{k=0}^{\infty }\log \left(1-{\frac {z^{2}}{(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}\right),}$

que finalmente da

${\displaystyle \cos z=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

serie laurent

La expansión en fracción parcial de una función también se puede utilizar para encontrar una serie de Laurent simplemente reemplazando las funciones racionales en la suma con sus series de Laurent, que a menudo no son difíciles de escribir en forma cerrada. Esto también puede conducir a identidades interesantes si ya se conoce una serie de Laurent.

Recordar que

${\displaystyle \tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-2z}{z^{2}-(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-8z}{4z^{2}-(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}.}$

Podemos expandir el sumando usando una serie geométrica:

${\displaystyle {\frac {-8z}{4z^{2}-(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}={\frac {8z}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}{\frac {1}{1-({\frac {2z}{(2k+1)\pi }})^{2}}}={\frac {8}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}}{(2k+1)^{2n}\pi ^{2n}}}z^{2n+1}.}$

Sustituyendo de nuevo,

${\displaystyle \tan(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n+2}}{(2k+1)^{2n+2}\pi ^{2n+2}}}z^{2n+1},}$

lo que muestra que los coeficientes en la serie de Laurent (Taylor) de aproximadamente son ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \tan(z)}$ ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle a_{2n+1}={\frac {T_{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2n+2}}}}$

${\displaystyle a_{2n}={\frac {T_{2n}}{(2n)!}}=0,}$

¿Dónde están los números tangentes ? ${\displaystyle T_{n}}$

Por el contrario, podemos comparar esta fórmula con la expansión de Taylor para calcular las sumas infinitas: ${\displaystyle \tan(z)}$ ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle \tan(z)=z+{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {2}{15}}z^{5}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{2^{3}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{4}}}={\frac {1}{3}}{\frac {\pi ^{4}}{2^{5}}}={\frac {\pi ^{4}}{96}}.}$

Ver también

• Fracción parcial
• Integral de línea
• Residuo (análisis complejo)
• Teorema del residuo

Referencias

• Markushevich, AI Teoría de funciones de una variable compleja . Trans. Richard A. Silverman. vol. 2. Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, 1965.