Teorema integral de Cauchy

Teorema en análisis complejo

En matemáticas , el teorema integral de Cauchy (también conocido como teorema de Cauchy-Goursat ) en análisis complejo , llamado así por Augustin-Louis Cauchy (y Édouard Goursat ), es una afirmación importante sobre las integrales de línea para funciones holomorfas en el plano complejo . Básicamente, dice que si es holomorfa en un dominio simplemente conexo Ω, entonces para cualquier contorno simplemente cerrado en Ω, esa integral de contorno es cero. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=0.}$$

Declaración

Teorema fundamental para integrales de línea complejas

Si f ( z ) es una función holomorfa en una región abierta U , y es una curva en U de a entonces, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ $${\displaystyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz=f(z_{1})-f(z_{0}).}$$

Además, cuando f ( z ) tiene una antiderivada de un solo valor en una región abierta U , entonces la integral de trayectoria es independiente de la trayectoria para todas las trayectorias en U . ${\textstyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz}$

Formulación sobre regiones simplemente conexas

Sea un conjunto abierto simplemente conexo , y sea una función holomorfa . Sea una curva cerrada suave. Entonces: (La condición de que sea simplemente conexo significa que no tiene "agujeros", o en otras palabras, que el grupo fundamental de es trivial.) ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Formulación general

Sea un conjunto abierto , y sea una función holomorfa . Sea una curva cerrada suave. Si es homotópica a una curva constante, entonces: (Recordemos que una curva es homotópica a una curva constante si existe una homotopía suave (dentro de ) desde la curva hasta la curva constante. Intuitivamente, esto significa que uno puede encoger la curva en un punto sin salir del espacio). La primera versión es un caso especial de esto porque en un conjunto simplemente conexo , cada curva cerrada es homotópica a una curva constante. ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$$ ${\displaystyle U}$

Ejemplo principal

En ambos casos, es importante recordar que la curva no rodea ningún "agujero" en el dominio, o de lo contrario el teorema no se aplica. Un ejemplo famoso es la siguiente curva: que traza el círculo unitario. Aquí la siguiente integral: es distinta de cero. El teorema de la integral de Cauchy no se aplica aquí ya que no está definida en . Intuitivamente, rodea un "agujero" en el dominio de , por lo que no se puede encoger a un punto sin salir del espacio. Por lo tanto, el teorema no se aplica. ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right],}$$ $${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=2\pi i\neq 0,}$$ ${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$

Discusión

Como demostró Édouard Goursat , el teorema integral de Cauchy se puede demostrar suponiendo únicamente que la derivada compleja existe en todas partes en . Esto es importante porque se puede demostrar la fórmula integral de Cauchy para estas funciones y, a partir de ello, deducir que estas funciones son infinitamente diferenciables . ${\displaystyle f'(z)}$ ${\displaystyle U}$

La condición de que sea simplemente conexo significa que no tiene "agujeros" o, en términos de homotopía , que el grupo fundamental de es trivial; por ejemplo, cada disco abierto , para , califica. La condición es crucial; considere que traza el círculo unitario, y entonces la integral de trayectoria es distinta de cero; el teorema de la integral de Cauchy no se aplica aquí ya que no está definido (y ciertamente no es holomorfo) en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{z_{0}}=\{z:\left|z-z_{0}\right|<r\}}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]}$$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}$$ ${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle z=0}$

Una consecuencia importante del teorema es que las integrales de trayectoria de funciones holomorfas en dominios simplemente conexos se pueden calcular de una manera familiar a partir del teorema fundamental del cálculo : sea un subconjunto abierto simplemente conexo de , sea una función holomorfa y sea una trayectoria continuamente diferenciable por partes en con punto inicial y punto final . Si es una antiderivada compleja de , entonces ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).}$$

El teorema integral de Cauchy es válido con una hipótesis más débil que la dada anteriormente, p. ej., dado , un subconjunto abierto simplemente conexo de , podemos debilitar las suposiciones a que es holomorfo en y continuo en y un bucle simple rectificable en . ^[1] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\textstyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\textstyle {\overline {U}}}$

El teorema integral de Cauchy conduce a la fórmula integral de Cauchy y al teorema del residuo .

Prueba

Si se supone que las derivadas parciales de una función holomorfa son continuas, el teorema integral de Cauchy puede demostrarse como consecuencia directa del teorema de Green y del hecho de que las partes real e imaginaria de deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann en la región limitada por , y además en el entorno abierto U de esta región. Cauchy proporcionó esta prueba, pero Goursat la demostró más tarde sin requerir técnicas de cálculo vectorial ni la continuidad de las derivadas parciales. ${\displaystyle f=u+iv}$ ${\displaystyle \gamma }$

Podemos descomponer el integrando , así como la diferencial en sus componentes reales e imaginarios: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle dz}$

$${\displaystyle f=u+iv}$$ $${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$$

En este caso tenemos $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)}$$

Por el teorema de Green , podemos entonces reemplazar las integrales alrededor del contorno cerrado con una integral de área en todo el dominio que está encerrado por lo siguiente: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$

Pero como las partes reales e imaginarias de una función holomorfa en el dominio , y deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann allí: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$$

Por lo tanto, encontramos que ambos integrandos (y, por lo tanto, sus integrales) son cero.

$${\displaystyle \iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}$$ $${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0}$$

Esto da el resultado deseado. $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$$

Véase también

• Teorema de Morera
• Métodos de integración de contornos
• Dominio estelar

Referencias

1. Walsh, JL (1 de mayo de 1933). "El teorema de Cauchy-Goursat para curvas de Jordan rectificables". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 19 (5): 540–541. doi : 10.1073/pnas.19.5.540 . ISSN  0027-8424. PMC  1086062 . PMID  16587781.

• Kodaira, Kunihiko (2007), Análisis complejo , Cambridge Stud. Adv. Matemáticas., 107, COPA , ISBN 978-0-521-80937-5
• Ahlfors, Lars (2000), Análisis complejo , Serie McGraw-Hill en Matemáticas, McGraw-Hill , ISBN 0-07-000657-1
• Lang, Serge (2003), Análisis complejo , Springer Verlag GTM, Springer Verlag
• Rudin, Walter (2000), Análisis real y complejo , Serie McGraw-Hill en matemáticas, McGraw-Hill

Enlaces externos

• "Teorema integral de Cauchy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Teorema integral de Cauchy". MathWorld .
• Jeremy Orloff, 18.04 Variables complejas con aplicaciones Primavera de 2018 Instituto Tecnológico de Massachusetts: MIT OpenCourseWare Creative Commons.