Serie Laurent

Serie de potencias con potencias negativas

Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular y a una trayectoria de integración γ. La trayectoria de integración debe estar en un anillo, indicado aquí por el color rojo, cuyo interior es holomorfo ( analítico ). ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(z)}$

En matemáticas , la serie de Laurent de una función compleja es una representación de esa función como una serie de potencias que incluye términos de grado negativo. Puede utilizarse para expresar funciones complejas en casos en los que no se puede aplicar una expansión en serie de Taylor . La serie de Laurent recibió su nombre y fue publicada por primera vez por Pierre Alphonse Laurent en 1843. Karl Weierstrass la había descrito previamente en un artículo escrito en 1841 pero no publicado hasta 1894. ^[1] ${\displaystyle f(z)}$

Definición

La serie de Laurent para una función compleja respecto de un punto está dada por donde y son constantes, y está definida por una integral de contorno que generaliza la fórmula integral de Cauchy : ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n},}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-c)^{n+1}}}\,dz.}$$

La trayectoria de integración es en sentido antihorario alrededor de una curva de Jordan que encierra y se encuentra en un anillo en el que es holomorfo (analítico). La expansión para será entonces válida en cualquier lugar dentro del anillo. El anillo se muestra en rojo en la figura de la derecha, junto con un ejemplo de una trayectoria de integración adecuada etiquetada como . Si tomamos como un círculo , donde , esto simplemente equivale a calcular los coeficientes complejos de Fourier de la restricción de a . El hecho de que estas integrales no cambien por una deformación del contorno es una consecuencia inmediata del teorema de Green . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle |z-c|=\varrho }$ ${\displaystyle r<\varrho <R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

También se puede obtener la serie de Laurent para una función compleja en . Sin embargo, esto es lo mismo que cuando (ver el ejemplo a continuación). ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z=\infty }$ ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

En la práctica, la fórmula integral anterior puede no ofrecer el método más práctico para calcular los coeficientes de una función dada ; en cambio, a menudo se juntan las piezas de la serie de Laurent combinando las expansiones de Taylor conocidas. Debido a que la expansión de Laurent de una función es única siempre que exista, cualquier expresión de esta forma que sea igual a la función dada en algún anillo debe ser en realidad la expansión de Laurent de . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$

Serie convergente de Laurent

e ^{−1/ x 2} y aproximaciones de Laurent: véase el texto para la clave. A medida que aumenta el grado negativo de la serie de Laurent, se aproxima a la función correcta.

e ^{−1/ x 2} y sus aproximaciones de Laurent con el grado negativo en aumento. El entorno alrededor de la singularidad cero nunca puede aproximarse.

Las series de Laurent con coeficientes complejos son una herramienta importante en el análisis complejo , especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca de singularidades .

Consideremos, por ejemplo, la función con . Como función real, es infinitamente diferenciable en todas partes; sin embargo, como función compleja, no es diferenciable en . Al reemplazar con en la serie de potencias para la función exponencial , obtenemos su serie de Laurent que converge y es igual a para todos los números complejos excepto en la singularidad . El gráfico opuesto muestra en negro y sus aproximaciones de Laurent para = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 y 50 . Como , la aproximación se vuelve exacta para todos los números (complejos) excepto en la singularidad . ${\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -1/x^{2}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle e^{-1/x^{2}}}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!}}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$

De manera más general, las series de Laurent se pueden utilizar para expresar funciones holomorfas definidas en un anillo , de forma similar a como se utilizan las series de potencias para expresar funciones holomorfas definidas en un disco .

Supongamos que se da una serie de Laurent con coeficientes complejos y un centro complejo . Entonces existe un radio interior y un radio exterior únicos tales que: $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

• La serie de Laurent converge en el anillo abierto . Al decir que la serie de Laurent converge, queremos decir que tanto la serie de potencias de grado positivo como la serie de potencias de grado negativo convergen. Además, esta convergencia será uniforme en conjuntos compactos . Finalmente, la serie convergente define una función holomorfa en el anillo abierto. ${\displaystyle A=\{z:r<|z-c|<R\}}$ ${\displaystyle f(z)}$
• Fuera del anillo, la serie de Laurent diverge. Es decir, en cada punto del exterior de , diverge la serie de potencias de grado positivo o la serie de potencias de grado negativo. ${\displaystyle A}$
• En el límite del anillo no se puede hacer una afirmación general, excepto decir que hay al menos un punto en el límite interior y un punto en el límite exterior que no pueden continuar holomórficamente hasta esos puntos. ${\displaystyle f(z)}$

Es posible que sea cero o que sea infinito; en el otro extremo, no es necesariamente cierto que sea menor que . Estos radios se pueden calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\limsup _{n\to \infty }|a_{-n}|^{\frac {1}{n}},\\{1 \over R}&=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}.\end{aligned}}}$$

Consideramos que es infinito cuando este último lim sup es cero. ${\displaystyle R}$

Por el contrario, si partimos de un anillo de la forma y una función holomorfa definida en , entonces siempre existe una única serie de Laurent con centro que converge (al menos) en y representa la función . ${\displaystyle A=\{z:r<|z-c|<R\}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(z)}$

A modo de ejemplo, considere la siguiente función racional, junto con su expansión en fracciones parciales : $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-1)(z-2i)}}={\frac {1+2i}{5}}\left({\frac {1}{z-1}}-{\frac {1}{z-2i}}\right).}$$

Esta función tiene singularidades en y , donde el denominador de la expresión es cero y, por lo tanto, la expresión no está definida. Una serie de Taylor sobre (que produce una serie de potencias) solo convergerá en un disco de radio 1, ya que "toca" la singularidad en 1. ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle z=2i}$ ${\displaystyle z=0}$

Sin embargo, hay tres posibles expansiones de Laurent alrededor de 0, dependiendo del radio de : ${\displaystyle z}$

• Se define una serie en el disco interior donde | z | < 1 ; es lo mismo que la serie de Taylor, Esto se desprende de la forma de fracción parcial de la función, junto con la fórmula para la suma de una serie geométrica , para . $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{n+1}}}-1\right)z^{n}.}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}=-{\frac {1}{a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\tfrac {z}{a}}\right)^{n}}$$ ${\displaystyle |z|<|a|}$
• La segunda serie se define en el anillo medio donde está atrapado entre las dos singularidades: Aquí, utilizamos la forma alternativa de la suma de series geométricas, para . ${\displaystyle 1<z<2}$ $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }z^{-n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{n+1}}}z^{n}\right).}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a}{z}}\right)^{n}}$$ ${\displaystyle |z|>|a|}$
• La tercera serie se define en el anillo exterior infinito donde , (que también es la expansión de Laurent en ) Esta serie se puede derivar utilizando series geométricas como antes, o realizando una división larga polinómica de 1 por , sin detenerse con un resto sino continuando en términos; de hecho, la serie de Laurent "externa" de una función racional es análoga a la forma decimal de una fracción. (La expansión de la serie de Taylor "interna" se puede obtener de manera similar, simplemente invirtiendo el orden de los términos en el algoritmo de división). ${\displaystyle 2<z<\infty }$ ${\displaystyle z=\infty }$ $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-(2i)^{n-1}\right)z^{-n}.}$$ ${\displaystyle (x-1)(x-2i)}$ ${\displaystyle x^{-n}}$

El caso , es decir, una función holomorfa que puede no estar definida en un único punto , es especialmente importante. El coeficiente de la expansión de Laurent de dicha función se denomina residuo de en la singularidad ; desempeña un papel destacado en el teorema del residuo . Para un ejemplo de esto, considere ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a_{-1}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle f(z)={e^{z} \over z}+e^{{1}/{z}}.}$$

Esta función es holomorfa en todas partes excepto en . ${\displaystyle z=0}$

Para determinar la expansión de Laurent sobre , utilizamos nuestro conocimiento de la serie de Taylor de la función exponencial : ${\displaystyle c=0}$ $${\displaystyle f(z)=\cdots +\left({1 \over 3!}\right)z^{-3}+\left({1 \over 2!}\right)z^{-2}+2z^{-1}+2+\left({1 \over 2!}\right)z+\left({1 \over 3!}\right)z^{2}+\left({1 \over 4!}\right)z^{3}+\cdots .}$$

Encontramos que el residuo es 2.

Un ejemplo para ampliar sobre : ${\displaystyle z=\infty }$ $${\displaystyle f(z)={\sqrt {1+z^{2}}}-z=z\left({\sqrt {1+{\frac {1}{z^{2}}}}}-1\right)=z\left({\frac {1}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8z^{4}}}+{\frac {1}{16z^{6}}}-\cdots \right)={\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{8z^{3}}}+{\frac {1}{16z^{5}}}-\cdots .}$$

Unicidad

Supongamos que una función holomorfa en el anillo tiene dos series de Laurent: ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle r<|z-c|<R}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n}.}$$

Multiplica ambos lados por , donde k es un entero arbitrario, e integra en una trayectoria γ dentro del anillo, ${\displaystyle (z-c)^{-k-1}}$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz=\oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz.}$$

La serie converge uniformemente en , donde ε es un número positivo lo suficientemente pequeño como para que γ quede contenido en el anillo cerrado y restringido, por lo que la integración y la suma se pueden intercambiar. Sustituyendo la identidad en la suma se obtiene ${\displaystyle r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon }$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }\,(z-c)^{n-k-1}\,dz=2\pi i\delta _{nk}}$$ $${\displaystyle a_{k}=b_{k}.}$$

Por eso la serie Laurent es única.

Polinomios de Laurent

Un polinomio de Laurent es una serie de Laurent en la que solo un número finito de coeficientes son distintos de cero. Los polinomios de Laurent se diferencian de los polinomios ordinarios en que pueden tener términos de grado negativo.

Parte principal

La parte principal de una serie de Laurent es la serie de términos con grado negativo, es decir $${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{-1}a_{k}(z-c)^{k}.}$$

Si la parte principal de es una suma finita, entonces tiene un polo en de orden igual a (negativo) el grado del término más alto; por otro lado, si tiene una singularidad esencial en , la parte principal es una suma infinita (lo que significa que tiene infinitos términos distintos de cero). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Si el radio interior de convergencia de la serie de Laurent para es 0, entonces tiene una singularidad esencial en si y sólo si la parte principal es una suma infinita, y tiene un polo en caso contrario. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Si el radio interior de convergencia es positivo, puede tener infinitos términos negativos y aún así ser regular en , como en el ejemplo anterior, en cuyo caso se representa mediante una serie de Laurent diferente en un disco aproximadamente  . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Las series de Laurent con sólo un número finito de términos negativos tienen un buen comportamiento (son series de potencia divididas por , y pueden analizarse de manera similar), mientras que las series de Laurent con un número infinito de términos negativos tienen un comportamiento complicado en el círculo interno de convergencia. ${\displaystyle z^{k}}$

Multiplicación y suma

En general, las series de Laurent no se pueden multiplicar. Algebraicamente, la expresión de los términos del producto puede implicar sumas infinitas que no necesariamente convergen (no se puede realizar la convolución de secuencias enteras). Geométricamente, las dos series de Laurent pueden tener anillos de convergencia que no se superpongan.

Se pueden multiplicar dos series de Laurent con un número finito de términos negativos: algebraicamente, las sumas son todas finitas; geométricamente, tienen polos en , y un radio interno de convergencia 0, por lo que ambas convergen en un anillo superpuesto. ${\displaystyle c}$

Por lo tanto, al definir una serie de Laurent formal , se requiere una serie de Laurent con sólo un número finito de términos negativos.

De manera similar, la suma de dos series de Laurent convergentes no necesita converger, aunque siempre esté definida formalmente, pero la suma de dos series de Laurent acotadas inferiormente (o cualquier serie de Laurent en un disco perforado) tiene un anillo de convergencia no vacío.

Además, para un cuerpo , por la suma y multiplicación definidas anteriormente, la serie formal de Laurent formaría un cuerpo que es también el cuerpo de fracciones del anillo de series formales de potencias . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F((x))}$ ${\displaystyle F[[x]]}$

Véase también

• Serie Puiseux
• Teorema de Mittag-Leffler
• Serie de Laurent formal  – Serie de Laurent considerada formalmente , con coeficientes de un anillo conmutativo arbitrario , sin tener en cuenta la convergencia y con solo un número finito de términos negativos, de modo que la multiplicación siempre esté definida.
• Transformada Z  : el caso especial en el que la serie de Laurent se toma alrededor de cero es de gran utilidad en el análisis de series de tiempo.
• Serie de Fourier  : la sustitución transforma una serie de Laurent en una serie de Fourier, o viceversa. Se utiliza en la expansión de la serie q del invariante j . ${\displaystyle z=e^{\pi iw}}$
• Aproximación de Padé  : Otra técnica utilizada cuando una serie de Taylor no es viable.

Referencias

1. Roy, Ranjan (2012), "§1.5 Apéndice: Notas históricas de Ranjan Roy", Análisis complejo: en el espíritu de Lipman Bers , por Rodríguez, Rubí E .; Kra, Irwin ; Gilman, Jane P. (2.ª ed.), Springer, pág. 12, doi :10.1007/978-1-4419-7323-8_1, ISBN 978-1-4419-7322-1

   Weierstrass, Karl (1841), "Darstellung einer analytischen Function einer complexen Veränderlichen, deren absolutista Betrag zwischen zwei gegebenen Grenzen liegt" [Representación de una función analítica de una variable compleja, cuyo valor absoluto se encuentra entre dos límites dados], Mathematische Werke (en alemán), vol. 1, Berlín: Mayer & Müller (publicado en 1894), págs. 51–66

Enlaces externos

• "Serie Laurent", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Serie Laurent", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
• Weisstein, Eric W. "Serie Laurent". MundoMatemático .
• Serie Laurent y conjunto Mandelbrot de Robert Munafo