Constante gravitacional gaussiana

Constante utilizada en mecánica orbital

Carl Friedrich Gauss presentó su constante al mundo en su Theoria Motus de 1809 .

El descubrimiento de Ceres por Piazzi , descrito en su libro El descubrimiento de un nuevo planeta Ceres Ferdinandea , demostró la utilidad de la constante de gravitación gaussiana para predecir las posiciones de los objetos dentro del Sistema Solar.

La constante gravitacional de Gauss (símbolo k ) es un parámetro utilizado en la mecánica orbital del Sistema Solar . Relaciona el período orbital con el semieje mayor de la órbita y la masa del cuerpo en órbita en masas solares .

El valor de k expresa históricamente la velocidad angular media del sistema Tierra+Luna y Sol considerado como un problema de dos cuerpos , con un valor de aproximadamente 0,986 grados por día , o aproximadamente 0,0172 radianes por día. Como consecuencia de la ley de gravitación y la tercera ley de Kepler , k es directamente proporcional a la raíz cuadrada del parámetro gravitacional estándar del Sol , y su valor en radianes por día se deduce de fijar el semieje mayor de la Tierra (la unidad astronómica , au) en la unidad, k :(rad/d) = ( G M _☉ ) ^0,5 ·au ^−1,5 .

Un valor de k =0,017 202 098 95 rad/día fue determinado por Carl Friedrich Gauss en su obra de 1809 Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientum ("Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que se mueven alrededor del Sol en secciones cónicas"). ^[1] El valor de Gauss fue introducido como un valor fijo y definido por la UAI (adoptado en 1938, definido formalmente en 1964), que lo separó de su representación inmediata de la velocidad angular media (observable) del sistema Sol-Tierra. En cambio, la unidad astronómica ahora se convirtió en una cantidad medible ligeramente diferente de la unidad. Esto fue útil en la mecánica celeste del siglo XX para evitar la adaptación constante de los parámetros orbitales a los valores medidos actualizados, pero se produjo a expensas de la intuición, ya que la unidad astronómica, ostensiblemente una unidad de longitud, ahora dependía de la medición de la intensidad de la fuerza gravitacional .

La UAI abandonó el valor definido de k en 2012 en favor de un valor definido de la unidad astronómica de1,495 978 707 00 × 10 ¹¹  m exactamente, mientras que la intensidad de la fuerza gravitacional ahora se expresará en el parámetro gravitacional estándar separado G M _☉ , medido en unidades SI de m ³ ⋅s ⁻² . ^[2]

Discusión

La constante de Gauss se deriva de la aplicación de la tercera ley de Kepler al sistema Tierra+Luna y Sol considerado como un problema de dos cuerpos , relacionando el período de revolución ( P ) con el semieje mayor de la órbita ( a ) y la masa total de los cuerpos en órbita ( M ). Su valor numérico se obtuvo fijando el semieje mayor y la masa del Sol a la unidad y midiendo el período en días solares medios:

k = 2 π √ a ³ / ( P √ M ) ≈ 0,0172021 [rad], donde:

P ≈ 365,256 [días], M = ( M _☉ + M _E + M _☾ ) ≈ 1,00000304 [ M _☉ ], y a = 1 por definición.

El valor representa el movimiento angular medio del sistema Tierra-Sol, en radianes por día , equivalente a un valor justo por debajo de un grado (la división del círculo en 360 grados en la astronomía babilónica probablemente tenía la intención de aproximar el número de días en un año solar ^[3] ). La corrección debido a la división por la raíz cuadrada de M refleja el hecho de que el sistema Tierra-Luna no está orbitando alrededor del Sol en sí, sino alrededor del centro de masa del sistema.

El propio Isaac Newton determinó un valor de esta constante que coincidía con el valor de Gauss con seis dígitos significativos. ^[4] Gauss (1809) dio el valor con nueve dígitos significativos, como 3548,18761 segundos de arco .

Dado que todos los parámetros implicados, el período orbital , la relación de masas Tierra-Sol , el semieje mayor y la duración del día solar medio , están sujetos a mediciones cada vez más refinadas, el valor preciso de la constante tendría que revisarse con el tiempo. Pero como la constante interviene en la determinación de los parámetros orbitales de todos los demás cuerpos del Sistema Solar, se encontró que era más conveniente fijarla en un valor fijo, por definición, lo que implica que el valor de a se desviaría de la unidad. El valor fijo de k = 0,01720209895 [rad] se tomó como el establecido por Gauss (convertido de grados a radianes ), de modo que a = 4 π ² :( k ² P ² M ) ≈ 1. ^[5]

El valor de la constante de Gauss de 1809 se utilizó como valor de referencia autorizado para la mecánica orbital del Sistema Solar durante dos siglos. Desde su introducción hasta 1938 se consideró una cantidad medida, y desde 1938 hasta 2012 se utilizó como una cantidad definida, con la incertidumbre de medición delegada al valor de la unidad astronómica . El valor definido de k fue abandonado por la IAU en 2012, y el uso de k quedó obsoleto, para ser reemplazado por un valor fijo de la unidad astronómica y la cantidad (medida) del parámetro gravitacional estándar G M _☉ .

Papel como constante definitoria de la dinámica del Sistema Solar

El propio Gauss expresó la constante en segundos de arco , con nueve dígitos significativos, como k = 3548″.187 61 . A finales del siglo XIX, este valor fue adoptado y convertido a radianes por Simon Newcomb , como k = 0,017 202 098 95 . ^[6] y la constante aparece en esta forma en sus Tablas del Sol , publicadas en 1898. ^[7]

El trabajo de Newcomb fue ampliamente aceptado como el mejor disponible en ese momento ^[8] y sus valores de las constantes se incorporaron a una gran cantidad de investigaciones astronómicas. Debido a esto, se volvió difícil separar las constantes de la investigación; nuevos valores de las constantes invalidarían, al menos parcialmente, una gran cantidad de trabajos. Por lo tanto, después de la formación de la Unión Astronómica Internacional en 1919, ciertas constantes comenzaron a aceptarse gradualmente como "fundamentales": constantes definitorias de las cuales se derivaban todas las demás. En 1938, la VI Asamblea General de la UAI declaró:

Adoptamos como constante de Gauss, el valor

k = 0,01720 20989 50000

La unidad de tiempo es el día solar medio de 1900,0 ^[9]

Sin embargo, hasta 1950 no se hizo ningún esfuerzo adicional para establecer un conjunto de constantes. ^[10] En 1963 se celebró en París un simposio de la UAI sobre el sistema de constantes, en parte como respuesta a los recientes avances en la exploración espacial. ^[6] Los asistentes finalmente decidieron en ese momento establecer un conjunto coherente de constantes. La Resolución 1 establecía que

El nuevo sistema se definirá por un conjunto no redundante de constantes fundamentales y por relaciones explícitas entre éstas y las constantes derivadas de ellas.

Resolución 4 recomendada

que el grupo de trabajo trate las siguientes cantidades como constantes fundamentales (en el sentido de la Resolución Nº 1).

En la lista de constantes fundamentales se incluyó

La constante gaussiana de gravitación, tal como fue definida por la VI Asamblea General de la UAI en 1938, tiene el valor 0,017202098950000. ^[6]

Estas resoluciones fueron retomadas por un grupo de trabajo de la UAI, que en su informe recomendó dos constantes definitorias, una de las cuales era

Constante gravitacional gaussiana, que define la au       k = 0,01720209895 ^[6]

Por primera vez se reconoció oficialmente el papel de la constante de Gauss en la escala del Sistema Solar. Las recomendaciones del grupo de trabajo fueron aceptadas en la XII Asamblea General de la UAI en Hamburgo, Alemania, en 1964. ^[11]

Definición de la unidad astronómica

Gauss pretendía que su constante se definiera utilizando una distancia media ^{[nota 1]} de la Tierra al Sol de 1 unidad astronómica precisamente. ^[6] Con la aceptación de las resoluciones de 1964, la UAI, en efecto, hizo lo contrario: definió la constante como fundamental y la unidad astronómica como derivada, siendo las otras variables en la definición ya fijadas: masa (del Sol) y tiempo (el día de86 400 segundos). Esto trasladó la incertidumbre de la constante gravitacional a la incertidumbre en el semieje mayor del sistema Tierra-Sol, que ya no era exactamente una ua (la ua se define como dependiente del valor de la constante gravitacional). La unidad astronómica pasó así a ser una cantidad medida en lugar de una cantidad definida y fija. ^[12]

En 1976, la UAI reconfirmó el estatus de la constante gaussiana en la XVI Asamblea General en Grenoble, ^[13] declarándola una constante definitoria, y que

La unidad astronómica de longitud es aquella longitud ( A ) para la cual la constante gravitacional gaussiana ( k ) toma el valor0,017 202 098 95 cuando las unidades de medida son las unidades astronómicas de longitud, masa y tiempo. Las dimensiones de k ² son las de la constante de gravitación ( G ), es decir, T ⁻² L ³ M ⁻¹ . El término "unidad de distancia" también se utiliza para la longitud ( A ).

A partir de esta definición, la distancia media de la Tierra al Sol es de 1.000.000,03 au, pero con las perturbaciones de los otros planetas, que no promedian hasta cero con el tiempo, la distancia media es de 1.000.000,20 au. ^[6]

Abandono

En 2012, la IAU, como parte de un nuevo conjunto de unidades y estándares numéricos autoconsistentes para su uso en la astronomía dinámica moderna, redefinió la unidad astronómica como ^[14]

una unidad convencional de longitud igual a149 597 870 700  m exactamente, ... ... considerando que la precisión de las mediciones de distancia modernas hace innecesario el uso de relaciones de distancia

y por lo tanto abandonó la constante gaussiana como una definición indirecta de escala en el Sistema Solar, recomendando

que la constante gravitacional gaussiana k se elimine del sistema de constantes astronómicas.

El valor de k basado en el valor definido para la unidad astronómica estaría ahora sujeto a la incertidumbre de medición del parámetro gravitacional estándar . ${\displaystyle k={\sqrt {GM_{\odot }}}\cdot {\text{au}}^{-1.5}\cdot {\text{d}}={1.32712440018(9)}^{0.5}\cdot 1.495978707^{-1.5}\cdot 8.64\cdot 10^{-2.5}=0.0172020989484(6).}$

Unidades y dimensiones

k se da como una fracción sin unidades del orden de 1,7%, pero puede considerarse equivalente a la raíz cuadrada de la constante gravitacional , ^[15] en cuyo caso tiene las unidades de au ^{3 ⁄ 2} ⋅d ⁻¹ ⋅ M _☉ ^{− 1 ⁄ 2} , ^[6] donde

au es la distancia para la cual k toma su valor según lo definido por Gauss: la distancia de la órbita circular no perturbada de un cuerpo hipotético sin masa cuyo período orbital es2π/a⁠ días, ^[12]

d es el día solar medio (86.400 segundos),

M _☉ es la masa del Sol .

Por lo tanto, las dimensiones de k son ^[16]

longitud ^{3 ⁄ 2} tiempo ⁻¹ masa ^{− 1 ⁄ 2} o L ^{3 ⁄ 2} T ⁻¹ M ^{− 1 ⁄ 2} .

A pesar de esto, k se conoce con mucha mayor precisión que G (o la raíz cuadrada de G ). El valor absoluto de G se conoce con una precisión de aproximadamente 10 ⁻⁴ , pero el producto G M _☉ (el parámetro gravitacional del Sol) se conoce con una precisión mejor que 10 ⁻¹⁰ .

Derivación

El original de Gauss

Gauss comienza su Theoria Motus presentando sin pruebas varias leyes concernientes al movimiento de los cuerpos alrededor del Sol. ^[1] Más adelante en el texto, menciona que Pierre-Simon Laplace las trata en detalle en su Mécanique Céleste . ^[17] Las dos leyes finales de Gauss son las siguientes:

• El área barrida por una línea que une un cuerpo y el Sol dividida por el tiempo en que es barrida da como resultado un cociente constante . Esta es la segunda ley de Kepler del movimiento planetario .
• El cuadrado de este cociente es proporcional al parámetro (es decir, el latus rectum ) de la órbita y a la suma de la masa del Sol y del cuerpo. Esta es una forma modificada de la tercera ley de Kepler .

A continuación define:

• 2 p como parámetro (es decir, el lado recto ) de la órbita de un cuerpo,
• μ como la masa del cuerpo, donde la masa del Sol = 1,
• ⁠1/2⁠ g como el área barrida por una línea que une el Sol y el cuerpo,
• t como el tiempo en que se barre esta zona,

y declara que

${\displaystyle {\frac {g}{t{\sqrt {p}}{\sqrt {1+\mu }}}}}$

"Es constante para todos los cuerpos celestes". Continúa diciendo que "no tiene importancia qué cuerpo usemos para determinar este número", y por eso usa la Tierra, definiendo

• distancia unitaria = distancia media de la Tierra (es decir, su semieje mayor ) desde el Sol,
• unidad de tiempo = un día solar .

Afirma que el área barrida por la Tierra en su órbita "será evidentemente" π √ p , y utiliza esto para simplificar su constante a

${\displaystyle {\frac {2\pi }{t{\sqrt {1+\mu }}}}.}$

Aquí, nombra la constante k y, al introducir algunos valores medidos, t =365.256 3835 días, μ = ⁠1/354 710⁠ masas solares, logra el resultado k =0,017 202 098 95 .

En términos modernos

Gauss es conocido por omitir detalles, y esta derivación no es una excepción. Aquí se repite en términos modernos, completando algunos de los detalles.

Definir sin pruebas

${\displaystyle h=2{\frac {dA}{dt}},}$

donde ^[18]

• ⁠es/es⁠ es la tasa temporal de barrido de área por un cuerpo en su órbita , una constante según la segunda ley de Kepler , y
• h es el momento angular específico , una de las constantes del movimiento de dos cuerpos .

A continuación definir

${\displaystyle h^{2}=\mu p,}$

donde ^[19]

• μ = G ( M + m ) , un parámetro gravitacional , ^{[nota 2]} donde
  • G es la constante gravitacional de Newton ,
  • M es la masa del cuerpo primario (es decir, el Sol ),
  • m es la masa del cuerpo secundario (es decir, un planeta ), y
• p es el semiparámetro (el semilato recto ) de la órbita del cuerpo.

Tenga en cuenta que cada variable en las ecuaciones anteriores es una constante para el movimiento de dos cuerpos. Combinando estas dos definiciones,

${\displaystyle \left(2{\frac {dA}{dt}}\right)^{2}=G(M+m)p,}$

que es lo que Gauss estaba describiendo con la última de sus leyes. Tomando la raíz cuadrada ,

${\displaystyle 2{\frac {dA}{dt}}={\sqrt {G}}{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}},}$

y resolviendo √ G ,

${\displaystyle {\sqrt {G}}={\frac {2dA}{dt{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}}.}$

En este punto, defina k ≡ √ G . ^[2] Sea dA el área total barrida por el cuerpo mientras orbita, por lo tanto dA = π ab , el área de una elipse , donde a es el semieje mayor y b es el semieje menor . Sea dt = P , el tiempo que tarda el cuerpo en completar una órbita. Por lo tanto,

${\displaystyle k={\frac {2\pi ab}{P{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}}.}$

Aquí, Gauss decide utilizar la Tierra para calcular k . A partir de la geometría de una elipse , p = ⁠el segundo ²/a⁠ . ^[20]   Al establecer el semieje mayor de la Tierra, a = 1 , p se reduce a b ² y √ p = b . Sustituyendo, el área de la elipse "es evidentemente" π √ p , en lugar de π ab . Poniendo esto en el numerador de la ecuación para k y reduciendo,

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{P{\sqrt {M+m}}}}.}$

Obsérvese que Gauss, al normalizar el tamaño de la órbita, la ha eliminado por completo de la ecuación. Normalizando aún más, fije la masa del Sol en 1,

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{P{\sqrt {1+m}}}},}$

donde ahora m está en masas solares . Lo que queda son dos cantidades: P , el período de la órbita de la Tierra o el año sideral , una cantidad conocida con precisión mediante mediciones a lo largo de siglos, y m , la masa del sistema Tierra-Luna. Nuevamente, introduciendo los valores medidos tal como se conocían en la época de Gauss, P =365.256 3835 días, m = ⁠1/354 710⁠ masas solares, ^{[ aclaración necesaria ]} dando como resultado k =0,017 202 098 95 .

La constante de Gauss y la tercera ley de Kepler

La constante de Gauss está estrechamente relacionada con la tercera ley de Kepler del movimiento planetario , y una se deriva fácilmente de la otra. Comenzando con la definición completa de la constante de Gauss,

${\displaystyle k={\frac {2\pi ab}{P{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}},}$

dónde

• a es el semieje mayor de la órbita elíptica ,
• b es el semieje menor de la órbita elíptica,
• P es el período orbital ,
• M es la masa del cuerpo primario,
• m es la masa del cuerpo secundario, y
• p es el semi-lato recto de la órbita elíptica.

A partir de la geometría de una elipse , el semilato recto, p se puede expresar en términos de a y b así: p = ⁠el segundo ²/a⁠ . ^[20]   Por lo tanto,

${\displaystyle {\sqrt {p}}={\frac {b}{\sqrt {a}}}.}$

Sustituyendo y reduciendo, la constante de Gauss se convierte en

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{P}}{\sqrt {\frac {a^{3}}{M+m}}}.}$

De la mecánica orbital ,2π/PAG⁠ es simplemente n , el movimiento medio del cuerpo en su órbita. ^[18] Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}k&=n{\sqrt {\frac {a^{3}}{M+m}}},\\[8pt]k^{2}&={\frac {n^{2}a^{3}}{M+m}},\\[8pt]k^{2}(M+m)&=n^{2}a^{3},\end{aligned}}}$

que es la definición de la tercera ley de Kepler. ^{[19] [21]} En esta forma, a menudo se ve con G , la constante gravitacional newtoniana en lugar de k ² .

Si se establece a = 1 , M = 1 , m ≪ M y n en radianes por día, se obtiene k ≈ n , también en unidades de radianes por día, sobre lo cual véase la sección correspondiente del artículo sobre movimiento medio .

Otras definiciones

El valor de la constante de Gauss, tal como él la derivó, se había utilizado desde la época de Gauss porque se consideraba una constante fundamental, como se describió anteriormente. La masa solar , el día solar medio y el año sideral con los que Gauss definió su constante están cambiando lentamente de valor. Si se insertaran valores modernos ^{[ se necesita aclaración ]} en la ecuación de definición, se obtendría un valor deEl resultado sería 0,017 202 097 89. ^{[ dudoso – discutir ] [22]}

También es posible fijar la constante gravitacional, la masa del Sol y la unidad astronómica en 1. Esto define una unidad de tiempo con la que el período de la órbita resultante es igual a 2π . Estas suelen llamarse unidades canónicas . ^[22]

Véase también

• Constante gravitacional
• Parámetro gravitacional estándar
• Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario
• Movimiento medio

Notas

1. Históricamente, ^{[ cita requerida ]} el término distancia media se utilizaba indistintamente con el parámetro elíptico semieje mayor . No se refiere a una distancia media real.
2. No confunda el parámetro gravitacional μ con la notación de Gauss para la masa del cuerpo.

Referencias

1. Gauss, Carl Friedrich; Davis, Charles Henry (1857). Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que se desplazan alrededor del Sol en secciones cónicas. Boston: Little, Brown and Company. pág. 2.
2. Smart, WM (1953). Mecánica celeste . Londres: Longmans, Green and Co., pág. 4.
3. David H. Kelley, Eugene F. Milone, Explorando los cielos antiguos: un estudio de la astronomía antigua y cultural (2011), pág. 219
4. "El valor numérico de la constante de Gauss fue determinado por el propio Newton 120 años antes que Gauss. Coincide con el valor moderno hasta seis cifras significativas. Por lo tanto, el nombre 'constante de Gauss' debería considerarse un tributo a los servicios de Gauss a la mecánica celeste en su conjunto, en lugar de indicar prioridad en la determinación del valor numérico de la constante gravitacional utilizada en la mecánica celeste, como a veces se considera al referirse a su trabajo". Sagitov (1970:713). [Esta afirmación es cuestionable ya que Sagitov no cita dónde Newton calculó este valor.]
5. Sagitov, MU, "Estado actual de las determinaciones de la constante gravitacional y la masa de la Tierra", Astronomía soviética, vol. 13 (1970), 712–718, traducido de Astronomicheskii Zhurnal vol. 46, núm. 4 (julio-agosto de 1969), 907–915.
6. Clemence, GM (1965). "El sistema de constantes astronómicas". Revista anual de astronomía y astrofísica . 3 : 93. Bibcode :1965ARA&A...3...93C. doi :10.1146/annurev.aa.03.090165.000521.
7. "El valor adoptado de la constante gaussiana es el del propio Gauss, es decir: k = 3548″.187 61 = 0,017 202 098 95 ". Newcomb, Simon (1898). "I, Tablas del movimiento de la Tierra sobre su eje y alrededor del Sol". Documentos astronómicos preparados para el uso del American Ephemeris and Nautical Almanac. Vol. VI. Oficina de Equipos, Departamento de la Marina. pág. 10.
8. de Sitter, W.; Brouwer, D. (1938). "Sobre el sistema de constantes astronómicas". Boletín de los Institutos Astronómicos de los Países Bajos . 8 : 213. Bibcode :1938BAN.....8..213D.
9. "Resoluciones de la VI Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional, Estocolmo, 1938" (PDF) .. Antes de la década de 1940, el segundo en sí se definía como una fracción del día solar medio, de modo que el día solar medio era 86.400 s por definición (desde la redefinición del segundo, el día solar medio ha sido una cantidad medida, que fluctúa entre 86.400.000 y 86.400.003 s), véase Día .
10. Wilkins, GA (1964). "El sistema de constantes astronómicas. Parte I". Revista trimestral de la Royal Astronomical Society . 5 : 23. Código Bibliográfico :1964QJRAS...5...23W.
11. "Resoluciones de la XII Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional, Hamburgo, Alemania, 1964" (PDF) .
12. Herrick, Samuel (1965). "La fijación de la constante gravitacional gaussiana y la constante gravitacional geocéntrica correspondiente". Actas del Simposio de la IAU n.º 21. 21 : 95. Código Bibliográfico :1965IAUS...21...95H.
13. "Resoluciones de la XVI Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional, Grenoble, Francia, 1976" (PDF) .
14. "Resoluciones de la XXVIII Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional, 2012" (PDF) .
15. Observatorio Naval de los Estados Unidos, Oficina del Almanaque Náutico; Oficina del Almanaque Náutico de Su Majestad (1961). Suplemento explicativo de las Efemérides Astronómicas y las Efemérides y el Almanaque Náutico Americanos . Londres: Oficina de Papelería de Su Majestad. pág. 493.
16. Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). Métodos de mecánica celeste . Nueva York y Londres: Academic Press. pág. 58.
17. Laplace, Pierre Simón; Bowditch, Nathaniel (1829). Mécanique Celeste. Boston: Hilliard, Gray, Little y Wilkins.
18. Smart, WM (1977). Libro de texto sobre astronomía esférica (6.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pág. 100. ISBN 0-521-29180-1.
19. Smart, WM (1977). pag. 101.
20. Smart, WM (1977). pág. 99.
21. Vallado, David A. (2001). Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones (2.ª ed.). El Segundo, CA: Microcosm Press. p. 31. ISBN 1-881883-12-4.
22. Danby, JMA (1988). Fundamentos de la Mecánica Celeste . Richmond, VA: Willmann-Bell. pag. 146.ISBN​ 0-943396-20-4.

Lectura adicional

• Brumfiel, Geoff (14 de septiembre de 2012). «La unidad astronómica se vuelve fija: la distancia Tierra-Sol cambia de una ecuación escurridiza a un solo número». Nature . doi :10.1038/nature.2012.11416. S2CID  123424704 . Consultado el 14 de septiembre de 2012 .
• Seares, Frederick H. (febrero de 1899). "La constante de atracción". Publicaciones de la Sociedad Astronómica del Pacífico . 11 (66): 22. Bibcode :1899PASP...11...22S. doi : 10.1086/121298 .

Enlaces externos

• Entrada del glosario Constante gravitacional gaussiana Archivado el 19 de agosto de 2017 en Wayback Machine en el Almanaque Astronómico en Línea del Observatorio Naval de los EE. UU. Archivado el 20 de abril de 2015 en Wayback Machine
• Constante gravitacional gaussiana, Wolfram ScienceWorld