Movimiento medio

Velocidad angular necesaria para que un cuerpo complete una órbita

En mecánica orbital , el movimiento medio (representado por n ) es la velocidad angular requerida para que un cuerpo complete una órbita, suponiendo una velocidad constante en una órbita circular que se completa en el mismo tiempo que la órbita elíptica de velocidad variable del cuerpo real. ^[1] El concepto se aplica igualmente bien a un cuerpo pequeño que gira alrededor de un cuerpo primario grande y masivo o a dos cuerpos relativamente del mismo tamaño que giran alrededor de un centro de masa común . Si bien nominalmente es una media , y teóricamente lo es en el caso del movimiento de dos cuerpos , en la práctica el movimiento medio no suele ser un promedio en el tiempo para las órbitas de cuerpos reales, que solo se aproximan a la suposición de dos cuerpos. Es más bien el valor instantáneo que satisface las condiciones anteriores calculadas a partir de las circunstancias gravitacionales y geométricas actuales de la órbita perturbada y en constante cambio del cuerpo .

El movimiento medio se utiliza como aproximación de la velocidad orbital real para realizar un cálculo inicial de la posición del cuerpo en su órbita, por ejemplo, a partir de un conjunto de elementos orbitales . Esta posición media se refina mediante la ecuación de Kepler para producir la posición verdadera.

Definición

Defina el período orbital (el tiempo que tarda el cuerpo en completar una órbita) como P , con dimensión de tiempo. El movimiento medio es simplemente una revolución dividida por este tiempo, o,

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{P}},\qquad n={\frac {360^{\circ }}{P}},\quad {\mbox{or}}\quad n={\frac {1}{P}},}$

con dimensiones de radianes por unidad de tiempo, grados por unidad de tiempo o revoluciones por unidad de tiempo. ^{[2] [3]}

El valor del movimiento medio depende de las circunstancias del sistema gravitatorio particular. En sistemas con mayor masa , los cuerpos orbitarán más rápido, de acuerdo con la ley de gravitación universal de Newton . Del mismo modo, los cuerpos más próximos entre sí también orbitarán más rápido.

Movimiento medio y leyes de Kepler

La tercera ley de Kepler sobre el movimiento planetario establece que el cuadrado del tiempo periódico es proporcional al cubo de la distancia media , ^[4] o

${\displaystyle {a^{3}}\propto {P^{2}},}$

donde a es el semieje mayor o distancia media y P es el período orbital como se indicó anteriormente. La constante de proporcionalidad está dada por

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{P^{2}}}={\frac {\mu }{4\pi ^{2}}}}$

donde μ es el parámetro gravitacional estándar , una constante para cualquier sistema gravitacional particular.

Si el movimiento medio se da en unidades de radianes por unidad de tiempo, podemos combinarlo en la definición anterior de la tercera ley de Kepler,

${\displaystyle {\frac {\mu }{4\pi ^{2}}}={\frac {a^{3}}{\left({\frac {2\pi }{n}}\right)^{2}}},}$

y reduciendo,

${\displaystyle \mu =a^{3}n^{2},}$

que es otra definición de la tercera ley de Kepler. ^{[3] [5]} μ , la constante de proporcionalidad, ^{[6] [nota 1]} es un parámetro gravitacional definido por las masas de los cuerpos en cuestión y por la constante de gravitación newtoniana , G (ver más abajo). Por lo tanto, n también está definido ^[7]

${\displaystyle n^{2}={\frac {\mu }{a^{3}}},\quad {\text{or}}\quad n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}.}$

Expansión del movimiento medio mediante la expansión de μ ,

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}},}$

donde M es típicamente la masa del cuerpo primario del sistema y m es la masa de un cuerpo más pequeño.

Esta es la definición gravitacional completa del movimiento medio en un sistema de dos cuerpos . A menudo, en mecánica celeste , el cuerpo primario es mucho más grande que cualquiera de los cuerpos secundarios del sistema, es decir, M ≫ m . Es en estas circunstancias que m deja de ser importante y la tercera ley de Kepler es aproximadamente constante para todos los cuerpos más pequeños.

La segunda ley de Kepler sobre el movimiento planetario establece que una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales , ^[6] o

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\text{constant}}}$

para una órbita de dos cuerpos, dondeEl A/el o⁠ es la tasa de cambio temporal del área barrida.

Si t  =  P , el período orbital, el área barrida es el área total de la elipse , d A  =  π ab , donde a es el semieje mayor y b es el semieje menor de la elipse. ^[8] Por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {\pi ab}{P}}.}$

Multiplicando esta ecuación por 2,

${\displaystyle 2\left({\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}\right)=2\left({\frac {\pi ab}{P}}\right).}$

De la definición anterior, el movimiento medio n  =  ⁠2π​/PAG⁠ . Sustituyendo,

${\displaystyle 2{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=nab,}$

y el movimiento medio también es

${\displaystyle n={\frac {2}{ab}}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}},}$

que es constante como a , b yEl A/el o⁠ son todas constantes en el movimiento de dos cuerpos.

Movimiento medio y constantes del movimiento

Debido a la naturaleza del movimiento de dos cuerpos en un campo gravitacional conservativo , dos aspectos del movimiento no cambian: el momento angular y la energía mecánica .

La primera constante, llamada momento angular específico , se puede definir como ^{[8] [9]}

${\displaystyle h=2{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}},}$

y sustituyendo en la ecuación anterior, el movimiento medio también es

${\displaystyle n={\frac {h}{ab}}.}$

La segunda constante, llamada energía mecánica específica , se puede definir, ^{[10] [11]}

${\displaystyle \xi =-{\frac {\mu }{2a}}.}$

Reordenando y multiplicando por ⁠1/un ²⁠ ,

${\displaystyle {\frac {-2\xi }{a^{2}}}={\frac {\mu }{a^{3}}}.}$

Desde arriba, el cuadrado del movimiento medio n ²  =  ⁠micras/un ³Sustituyendo y reordenando, el movimiento medio también se puede expresar,

${\displaystyle n={\frac {1}{a}}{\sqrt {-2\xi }},}$

donde el −2 muestra que ξ debe definirse como un número negativo, como es habitual en la mecánica celeste y la astrodinámica .

Movimiento medio y constantes gravitacionales

En la mecánica celeste del Sistema Solar se utilizan habitualmente dos constantes gravitacionales : G , la constante de gravitación newtoniana y k , la constante de gravitación gaussiana . A partir de las definiciones anteriores, el movimiento medio es

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}\,\!.}$

Normalizando partes de esta ecuación y haciendo algunas suposiciones, se puede simplificar, revelando la relación entre el movimiento medio y las constantes.

Si se establece la masa del Sol en la unidad, M  = 1, las masas de los planetas son mucho menores, m ≪ M . Por lo tanto, para cualquier planeta en particular,

${\displaystyle n\approx {\sqrt {\frac {G}{a^{3}}}},}$

y tomando también el semieje mayor como una unidad astronómica ,

${\displaystyle n_{1\;{\text{AU}}}\approx {\sqrt {G}}.}$

La constante gravitacional gaussiana k  =  √ G , ^{[12] [13] [nota 2]} por lo tanto, bajo las mismas condiciones que las anteriores, para cualquier planeta en particular

${\displaystyle n\approx {\frac {k}{\sqrt {a^{3}}}},}$

y tomando nuevamente el semieje mayor como una unidad astronómica,

${\displaystyle n_{1{\text{ AU}}}\approx k.}$

Movimiento medio y anomalía media

El movimiento medio también representa la tasa de cambio de la anomalía media y, por lo tanto, también se puede calcular, ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {M_{1}-M_{0}}{t_{1}-t_{0}}}={\frac {M_{1}-M_{0}}{\Delta t}},\\M_{1}&=M_{0}+n\times (t_{1}-t_{0})=M_{0}+n\times \Delta t\end{aligned}}}$

donde M ₁ y M ₀ son las anomalías medias en puntos particulares en el tiempo, y Δ t (≡ t ₁ - t ₀ ) es el tiempo transcurrido entre los dos. M ₀ se conoce como la anomalía media en la época t ₀ , y Δ t es el tiempo transcurrido desde la época .

Fórmulas

En el caso de los parámetros orbitales de los satélites terrestres, el movimiento medio se mide normalmente en revoluciones por día . En ese caso,

${\displaystyle n={\frac {d}{2\pi }}{\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}=d{\sqrt {\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}a^{3}}}}\,\!}$

dónde

• d es la cantidad de tiempo en un día ,
• G es la constante gravitacional ,
• M y m son las masas de los cuerpos en órbita,
• a es la longitud del semieje mayor .

Para convertir de radianes por unidad de tiempo a revoluciones por día, considere lo siguiente:

${\displaystyle {\rm {{\frac {radians}{time\ unit}}\times {\frac {1\ revolution}{2\pi \ radians}}\times }}{\frac {d\ {\rm {time\ units}}}{1{\rm {\ day}}}}={\frac {d}{2\pi }}{\rm {\ revolutions\ per\ day}}}$

De arriba, el movimiento medio en radianes por unidad de tiempo es:

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{P}},}$

Por lo tanto, el movimiento medio en revoluciones por día es

${\displaystyle n={\frac {d}{2\pi }}{\frac {2\pi }{P}}={\frac {d}{P}},}$

donde P es el período orbital , como arriba.

Véase también

• Portal de astronomía

• Constante gravitacional gaussiana
• Órbita de Kepler
• Anomalía media
• Longitud media
• Resonancia de movimiento medio
• Elementos orbitales

Notas

1. No confunda μ , el parámetro gravitacional , con μ , la masa reducida .
2. La constante gravitacional gaussiana , k , suele expresarse en radianes por día y la constante gravitacional newtoniana , G , suele expresarse en unidades del SI . Tenga cuidado al realizar la conversión.

Referencias

1. Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E., eds. (2013). Suplemento explicativo del Almanaque astronómico (3.ª ed.). University Science Books, Mill Valley, CA. pág. 648. ISBN 978-1-891389-85-6.
2. Roy, AE (1988). Movimiento orbital (tercera edición). Instituto de Física. Editorial . pág. 83. ISBN. 0-85274-229-0.
3. Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). Métodos de mecánica celeste . Academic Press . págs. 20–21.
4. Vallado, David A. (2001). Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones (segunda edición). El Segundo, CA: Microcosm Press. p. 29. ISBN 1-881883-12-4.
5. Battin, Richard H. (1999). Introducción a las matemáticas y métodos de la astrodinámica, edición revisada . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica, Inc., pág. 119. ISBN 1-56347-342-9.
6. Vallado, David A. (2001). pag. 31.
7. Vallado, David A. (2001). pag. 53.
8. Vallado, David A. (2001). pag. 30.
9. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica . Dover Publications, Inc., Nueva York. pág. 32. ISBN 0-486-60061-0.
10. Vallado, David A. (2001). pag. 27.
11. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). pág. 28.
12. Observatorio Naval de los Estados Unidos, Oficina del Almanaque Náutico; Oficina del Almanaque Náutico de Su Majestad (1961). Suplemento explicativo de las Efemérides Astronómicas y las Efemérides y el Almanaque Náutico Americanos . Oficina de Papelería de Su Majestad, Londres. pág. 493.
13. Smart, WM (1953). Mecánica celeste . Longmans, Green and Co., Londres. pág. 4.
14. Vallado, David A. (2001). pag. 54.

Enlaces externos

• Entrada del glosario movimiento medio Archivado el 23 de diciembre de 2017 en Wayback Machine en el Almanaque Astronómico en Línea del Observatorio Naval de los EE. UU. Archivado el 20 de abril de 2015 en Wayback Machine