Momento angular específico

Cantidad vectorial en mecánica celeste

En mecánica celeste , el momento angular relativo específico (a menudo denominado o ) de un cuerpo es el momento angular de ese cuerpo dividido por su masa. ^[1] En el caso de dos cuerpos en órbita es el producto vectorial de su posición relativa y su momento lineal relativo , dividido por la masa del cuerpo en cuestión. ${\displaystyle {\vec {h}}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

El momento angular relativo específico juega un papel fundamental en el análisis del problema de los dos cuerpos , ya que permanece constante para una órbita determinada en condiciones ideales. " Específico " en este contexto indica momento angular por unidad de masa. La unidad SI para el momento angular relativo específico es el metro cuadrado por segundo.

Definición

El momento angular relativo específico se define como el producto cruzado del vector de posición relativa y el vector de velocidad relativa . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {L} }{m}}}$$

donde está el vector de momento angular, definido como . ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$

El vector es siempre perpendicular al plano orbital osculador instantáneo , que coincide con la órbita perturbada instantánea . No es necesariamente perpendicular al plano orbital promedio a lo largo del tiempo. ${\displaystyle \mathbf {h} }$

Prueba de constancia en el caso de dos cuerpos.

Vector de distancia , vector de velocidad , anomalía verdadera y ángulo de trayectoria de vuelo en órbita alrededor . También se representan las medidas más importantes de la elipse (entre las cuales, tenga en cuenta que la verdadera anomalía está etiquetada como ). ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \nu }$

En determinadas condiciones se puede demostrar que el momento angular específico es constante. Las condiciones para esta prueba incluyen:

• La masa de un objeto es mucho mayor que la masa del otro. ( ) ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$
• El sistema de coordenadas es inercial .
• Cada objeto puede tratarse como una masa puntual esféricamente simétrica .
• Ninguna otra fuerza actúa sobre el sistema aparte de la fuerza gravitacional que conecta los dos cuerpos.

Prueba

La prueba comienza con la ecuación de movimiento de dos cuerpos , derivada de la ley de gravitación universal de Newton :

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}+{\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector de posición de a con magnitud escalar . ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}}$es la segunda derivada de . (la aceleración ) ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle G}$es la constante gravitacional .

El producto cruzado del vector de posición con la ecuación de movimiento es:

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

Porque el segundo término desaparece: ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {r} =0}$

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0}$$

También se puede derivar que:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}}$$

Combinando estas dos ecuaciones se obtiene:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$

Como la derivada del tiempo es igual a cero, la cantidad es constante. Usando el vector velocidad en lugar de la tasa de cambio de posición y para el momento angular específico: ${\displaystyle \mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

$${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$$

Esto es diferente de la construcción normal del momento, porque no incluye la masa del objeto en cuestión. ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

Las leyes del movimiento planetario de Kepler

Las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario se pueden demostrar casi directamente con las relaciones anteriores.

primera ley

La demostración comienza de nuevo con la ecuación del problema de dos cuerpos. Esta vez se multiplica (producto cruzado) por el momento angular relativo específico.

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\times \mathbf {h} }$$

El lado izquierdo es igual a la derivada porque el momento angular es constante. ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)}$

Después de algunos pasos (que incluyen usar el producto triple del vector y definir el escalar como la velocidad radial , en contraposición a la norma del vector ), el lado derecho se convierte en: ${\displaystyle {\dot {r}}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$

$${\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {h} \right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {v} \right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}\mathbf {r} -{\frac {\mu }{r}}\mathbf {v} \right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}$$

Igualar estas dos expresiones e integrarlas con el tiempo conduce a (con la constante de integración ) ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} }$$

Ahora esta ecuación se multiplica ( producto escalar ) por y se reorganiza ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \cdot \left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)&=\mathbf {r} \cdot \left(\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} \right)\\\Rightarrow \left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {h} &=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}}$$

Finalmente se obtiene la ecuación de la órbita ^[1]

$${\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}}$$

que es la ecuación de una sección cónica en coordenadas polares con recto semilato y excentricidad . ${\textstyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$ ${\textstyle e={\frac {C}{\mu }}}$

Segunda ley

La segunda ley se deriva instantáneamente de la segunda de las tres ecuaciones para calcular el valor absoluto del momento angular relativo específico. ^[1]

Si se conecta esta forma de ecuación con la relación para el área de un sector con un ángulo pequeño infinitesimal (triángulo con un lado muy pequeño), la ecuación ${\textstyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\,\mathrm {d} \theta }$ ${\textstyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\,\mathrm {d} \theta }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$

$${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\,\mathrm {d} A}$$

Tercera ley

La tercera ley de Kepler es una consecuencia directa de la segunda ley. La integración en una revolución da el período orbital ^[1]

$${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}$$

para el área de una elipse. Reemplazando el eje semi-menor con y el momento angular relativo específico con uno se obtiene ${\displaystyle \pi ab}$ ${\displaystyle b={\sqrt {ap}}}$ ${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$$

Existe, por tanto, una relación entre el semieje mayor y el período orbital de un satélite que puede reducirse a una constante del cuerpo central.

Ver también

• Energía orbital específica , otra cantidad conservada en el problema de los dos cuerpos.
• Problema clásico de fuerza central § Momento angular específico

Referencias

1. Vallado, David A. (2001). Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones (2ª ed.). Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. págs. 20-30. ISBN 0-7923-6903-3.