The Sand Reckoner ( griego : Ψαμμίτης , Psammitas ) es una obra de Arquímedes , un matemático griego antiguo del siglo III a. C. , en la que se propuso determinar un límite superior para el número de granos de arena que caben en el universo . Para ello, Arquímedes tuvo que estimar el tamaño del universo según el modelo contemporáneo e inventar una manera de hablar de números extremadamente grandes.
La obra, también conocida en latín como Arenarius , tiene unas ocho páginas traducidas y está dirigida al rey de Siracusa Gelo II (hijo de Hierón II ). Se considera la obra más accesible de Arquímedes. [1]
Primero, Arquímedes tuvo que inventar un sistema para nombrar números grandes . El sistema numérico en uso en ese momento podía expresar números hasta una miríada (μυριάς - 10,000), y al utilizar la palabra miríada , uno puede extender inmediatamente esto para nombrar todos los números hasta una miríada de miríadas (10 8 ). [3] Arquímedes llamó a los números hasta 10 8 "de primer orden" y llamó al propio 10 8 la "unidad de segundo orden". Los múltiplos de esta unidad luego se convirtieron en el segundo orden, hasta esta unidad tomada una miríada de veces, 10 8 ·10 8 =10 16 . Esta se convirtió en la "unidad de tercer orden", cuyos múltiplos eran de tercer orden, y así sucesivamente. Arquímedes continuó nombrando números de esta manera hasta una miríada de veces la unidad del orden 10 8 , es decir, (10 8 )^(10 8 )
Después de haber hecho esto, Arquímedes llamó a las órdenes que había definido las "órdenes del primer período", y a la última la llamó "unidad del segundo período". Luego construyó los órdenes del segundo período tomando múltiplos de esta unidad de manera análoga a la forma en que se construyeron los órdenes del primer período. Continuando de esta manera, finalmente llegó a las órdenes del período miríada-miríada. El número más grande nombrado por Arquímedes fue el último número de este período, que es
Otra forma de describir este número es uno seguido de ( escala corta ) ochenta cuatrillones (80·10 15 ) ceros.
El sistema de Arquímedes recuerda a un sistema de numeración posicional con base 10 8 , lo cual es notable porque los antiguos griegos usaban un sistema muy simple para escribir números , que emplea 27 letras diferentes del alfabeto para las unidades del 1 al 9, las decenas del 10 al 90 y las centenas del 100 al 900.
Arquímedes también descubrió y demostró la ley de los exponentes , necesaria para manipular potencias de 10.
Luego, Arquímedes estimó un límite superior para la cantidad de granos de arena necesarios para llenar el Universo. Para ello utilizó el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos . La obra original de Aristarco se ha perdido. Sin embargo, este trabajo de Arquímedes es una de las pocas referencias supervivientes a su teoría, [4] según la cual el Sol permanece inmóvil mientras la Tierra orbita alrededor del Sol. En palabras del propio Arquímedes:
Sus hipótesis [de Aristarco] son que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, que la Tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, el Sol se encuentra en el medio de la órbita y que la esfera de las estrellas fijas, situada aproximadamente del mismo centro que el Sol, es tan grande que el círculo en el que supone que gira la Tierra guarda con la distancia de las estrellas fijas tal proporción como la que guarda el centro de la esfera con su superficie. [5]
La razón del gran tamaño de este modelo es que los griegos no podían observar el paralaje estelar con las técnicas disponibles, lo que implica que cualquier paralaje es extremadamente pequeño y por lo tanto las estrellas deben ubicarse a grandes distancias de la Tierra (suponiendo que el heliocentrismo sea cierto). ).
Según Arquímedes, Aristarco no indicó a qué distancia estaban las estrellas de la Tierra. Por lo tanto, Arquímedes tuvo que hacer las siguientes suposiciones:
Esta suposición también se puede expresar diciendo que el paralaje estelar causado por el movimiento de la Tierra alrededor de su órbita es igual al paralaje solar causado por el movimiento alrededor de la Tierra. Poner en una proporción:
Para obtener un límite superior, Arquímedes hizo las siguientes suposiciones sobre sus dimensiones:
Arquímedes concluyó entonces que el diámetro del Universo no era más de 10 14 estadios (en unidades modernas, unos 2 años luz ), y que no se necesitarían más de 10 63 granos de arena para llenarlo. Con estas medidas, cada grano de arena en el experimento mental de Arquímedes habría tenido aproximadamente 19 μm (0,019 mm) de diámetro.
Arquímedes afirma que cuarenta semillas de amapola colocadas una al lado de la otra equivaldrían a un dáctilo griego (el ancho de un dedo) que medía aproximadamente 19 mm (3/4 de pulgada) de largo. Dado que el volumen procede como el cubo de una dimensión lineal ("Porque se ha demostrado que las esferas tienen una relación triplicada entre sí de sus diámetros"), entonces una esfera de un dáctilo de diámetro contendría (usando nuestro sistema numérico actual) 40 3 , o 64.000 semillas de amapola.
Luego afirmó (sin pruebas) que cada semilla de amapola podría contener una miríada (10.000) de granos de arena. Multiplicando las dos cifras propuso 640.000.000 como el número de hipotéticos granos de arena en una esfera de un dáctilo de diámetro.
Para facilitar los cálculos adicionales, redondeó 640 millones a mil millones, observando sólo que el primer número es menor que el segundo y que, por lo tanto, el número de granos de arena calculados posteriormente excederá el número real de granos. Recuerde que el metaobjetivo de Arquímedes con este ensayo era mostrar cómo calcular con lo que antes se consideraban números increíblemente grandes, no simplemente calcular con precisión el número de granos de arena en el universo.
Un estadio griego tenía una longitud de 600 pies griegos y cada pie tenía 16 dáctilos de largo, por lo que había 9.600 dáctilos en un estadio. Arquímedes redondeó este número a 10.000 (una miríada) para facilitar los cálculos, señalando nuevamente que el número resultante excederá el número real de granos de arena.
El cubo de 10.000 es un billón (10 12 ); y multiplicando mil millones (el número de granos de arena en una esfera de dactilo) por un billón (el número de esferas de dactilo en una esfera de estadio) se obtiene 10 21 , el número de granos de arena en una esfera de estadio.
Arquímedes había estimado que el Universo Aristarquiano tenía 10 14 estadios de diámetro, por lo que, en consecuencia, habría (10 14 ) 3 estadios-esferas en el universo, o 10 42 . Multiplicar 10 21 por 10 42 da 10 63 , el número de granos de arena en el Universo Aristarquiano. [6]
Siguiendo la estimación de Arquímedes de una miríada (10.000) de granos de arena en una semilla de amapola; 64.000 semillas de amapola en una esfera dáctila; la longitud de un estadio es de 10.000 dáctilos; y aceptando 19 mm como ancho de un dáctilo, el diámetro del grano de arena típico de Arquímedes sería de 18,3 μm, lo que hoy llamaríamos grano de limo . Actualmente, el grano de arena más pequeño se definiría como de 50 μm de diámetro.
Arquímedes realizó algunos experimentos y cálculos interesantes a lo largo del camino. Un experimento consistió en estimar el tamaño angular del Sol, visto desde la Tierra. El método de Arquímedes es especialmente interesante ya que tiene en cuenta el tamaño finito de la pupila del ojo, [7] y por tanto puede ser el primer ejemplo conocido de experimentación en psicofísica , la rama de la psicología que se ocupa de la mecánica de la percepción humana , cuyo desarrollo es generalmente atribuido a Hermann von Helmholtz . Otro cálculo interesante tiene en cuenta el paralaje solar y las diferentes distancias entre el espectador y el Sol, ya sea visto desde el centro de la Tierra o desde la superficie de la Tierra al amanecer. Este puede ser el primer cálculo conocido relacionado con el paralaje solar. [1]
Hay algunos, rey Gelón, que piensan que el número de la arena es infinito en multitud; y por arena me refiero no sólo a la que existe en Siracusa y el resto de Sicilia, sino también a la que se encuentra en todas las regiones, habitadas o deshabitadas. También hay quienes, sin considerarlo infinito, piensan sin embargo que no se ha nombrado ningún número que sea lo suficientemente grande como para exceder su magnitud. Y es claro que quienes sostienen esta opinión, si imaginaran una masa compuesta de arena tan grande en otros aspectos como la masa de la Tierra, incluyendo en ella todos los mares y las cavidades de la Tierra llenas hasta una altura igual al de la más alta de las montañas, estaría muchas veces más lejos aún de reconocer que se pueda expresar algún número que exceda la multitud de la arena así tomada.
Pero intentaré demostraros mediante pruebas geométricas que podréis seguir, que de los números nombrados por mí y dados en la obra que envié a Zeuxipo, algunos exceden no sólo el número de la masa de arena de magnitud igual a la Tierra se llenó de la forma descrita, pero también la de masa igual en magnitud a la del universo. [8]
— Archimedis Syracusani Arenarius y Dimensio Circuli
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