Números grandes

Cifras significativamente mayores que las que se utilizan habitualmente

Los números grandes son números significativamente más grandes que los que se utilizan normalmente en la vida cotidiana (por ejemplo, en un simple conteo o en transacciones monetarias), y aparecen con frecuencia en campos como las matemáticas , la cosmología , la criptografía y la mecánica estadística . Por lo general, son números enteros positivos grandes o, más generalmente, números reales positivos grandes , pero también pueden ser otros números en otros contextos. La googología es el estudio de la nomenclatura y las propiedades de grandes números. ^{[1] [2] [ se necesita una mejor fuente ]}

En el mundo cotidiano

La notación científica se creó para manejar la amplia gama de valores que ocurren en el estudio científico. 1,0 × 10 ⁹ , por ejemplo, significa mil millones , o un 1 seguido de nueve ceros: 1 000 000 000. El recíproco , 1,0 × 10 ⁻⁹ , significa una milmillonésima, o 0,000 000 001. Escribir 10 ⁹ en lugar de nueve ceros ahorra a los lectores el esfuerzo y el riesgo de contar una larga serie de ceros para ver qué tan grande es el número. Además de la notación científica (potencias de 10), los siguientes ejemplos incluyen nomenclatura sistemática (escala corta) de números grandes.

Ejemplos de números grandes que describen objetos cotidianos del mundo real incluyen:

• El número de células del cuerpo humano (estimado en 3,72 × 10 ¹³ ), o 37,2 billones ^[3]
• La cantidad de bits en el disco duro de una computadora (a partir de 2024 ^[actualizar], generalmente alrededor de 10 ¹³ , 1 a 2  TB ), o 10 billones
• El número de conexiones neuronales en el cerebro humano (estimado en 10 ¹⁴ ), o 100 billones
• La constante de Avogadro es el número de “entidades elementales” (normalmente átomos o moléculas) en un mol ; el número de átomos en 12 gramos de carbono-12  – aproximadamente6,022 × 10 ²³ , o 602,2 sextillones.
• El número total de pares de bases de ADN dentro de toda la biomasa de la Tierra, como posible aproximación a la biodiversidad global , se estima en (5,3 ± 3,6) × 10 ³⁷ , o 53 ± 36 undecillones ^{[4] [5]}
• La masa de la Tierra se compone de aproximadamente 4 × 10 ⁵¹ , o 4 sexdecillones, de nucleones.
• El número estimado de átomos en el universo observable (10 ⁸⁰ ), o 100 quinvigintillones
• El límite inferior de la complejidad del árbol de juego del ajedrez, también conocido como “ número de Shannon ” (estimado en alrededor de 10 ¹²⁰ ), o 1 novemtrigintillón ^[6]
  • Tenga en cuenta que este valor del número de Shannon es para ajedrez estándar. Tiene valores aún mayores para variantes de ajedrez de tablero más grande, como Grant Acedrex , Tai Shogi y Taikyoku Shogi .

Astronómico

Otros números grandes, en cuanto a longitud y tiempo, se encuentran en astronomía y cosmología . Por ejemplo, el modelo actual del Big Bang sugiere que el universo tiene 13,8 mil millones de años (4,355 × 10 ¹⁷ segundos) de edad, y que el universo observable tiene 93 mil millones de años luz de diámetro (8,8 × 10 ²⁶ metros), y contiene alrededor de 5 × 10 ²² estrellas, organizadas en alrededor de 125 mil millones (1,25 × 10 ¹¹ ) de galaxias, según observaciones del Telescopio Espacial Hubble. Según una estimación aproximada , hay alrededor de 10 ⁸⁰ átomos en el universo observable . ^[7]

Según Don Page , físico de la Universidad de Alberta, Canadá, el tiempo finito más largo que hasta ahora ha sido calculado explícitamente por cualquier físico es

${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}{\mbox{ years}}}$

que corresponde a la escala de un tiempo de recurrencia estimado de Poincaré para el estado cuántico de una caja hipotética que contiene un agujero negro con la masa estimada de todo el universo, observable o no, suponiendo un determinado modelo inflacionario con un inflatón cuya masa es 10 ⁻⁶ Masas de Planck . ^{[8] [9]} Esta vez se supone un modelo estadístico sujeto a la recurrencia de Poincaré. Una forma mucho más simplificada de pensar en este tiempo es en un modelo en el que la historia del universo se repite arbitrariamente muchas veces debido a propiedades de la mecánica estadística ; esta es la escala de tiempo en la que volverá a ser algo similar (para una elección razonable de "similar") a su estado actual.

Los procesos combinatorios generan rápidamente números aún mayores. La función factorial , que define el número de permutaciones en un conjunto de objetos fijos, crece muy rápidamente con el número de objetos. La fórmula de Stirling da una expresión asintótica precisa para esta tasa de crecimiento.

Los procesos combinatorios generan números muy grandes en mecánica estadística. Estos números son tan grandes que normalmente sólo se hace referencia a ellos utilizando sus logaritmos .

Los números de Gödel , y números similares utilizados para representar cadenas de bits en la teoría algorítmica de la información , son muy grandes, incluso para enunciados matemáticos de longitud razonable. Sin embargo, algunos números patológicos son incluso mayores que los números de Gödel de las proposiciones matemáticas típicas.

El lógico Harvey Friedman ha realizado trabajos relacionados con números muy grandes, como el teorema del árbol de Kruskal y el teorema de Robertson-Seymour .

"Miles de millones y miles de millones"

Para ayudar a los espectadores de Cosmos a distinguir entre "millones" y "miles de millones", el astrónomo Carl Sagan destacó la "b". Sin embargo, Sagan nunca dijo " miles de millones y miles de millones ". La asociación del público entre la frase y Sagan provino de una parodia de Tonight Show . Parodiando el efecto de Sagan, Johnny Carson bromeó "miles de millones y miles de millones". ^[10] Sin embargo, la frase se ha convertido ahora en un número ficticio humorístico: el Sagan . Cf. , Unidad Sagan .

Ejemplos

• googol = ${\displaystyle 10^{100}}$
• centillón = o , dependiendo del sistema de denominación numérica ${\displaystyle 10^{303}}$ ${\displaystyle 10^{600}}$
• millones = o , dependiendo del sistema de denominación numérica ${\displaystyle 10^{3003}}$ ${\displaystyle 10^{6000}}$
• El mayor número de Smith conocido = (10 ¹⁰³¹ −1) × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10^{3 913 210}
• El primo de Mersenne más grande conocido = ^[11] ${\displaystyle 2^{82,589,933}-1}$
• googolplex = ${\displaystyle 10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}}$
• Números de Skewes : el primero es aproximadamente , el segundo ${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$ ${\displaystyle 10^{10^{10^{964}}}}$
• El número de Graham , mayor de lo que se puede representar incluso utilizando torres de energía ( tetración ). Sin embargo, se puede representar utilizando capas de la notación de flecha hacia arriba de Knuth.
• El teorema del árbol de Kruskal es una secuencia relacionada con gráficos. TREE(3) es mayor que el número de Graham .
• El número de Rayo es un número grande que lleva el nombre de Agustín Rayo y que se ha afirmado que es el número más grande con nombre. Se definió originalmente en un "duelo de grandes números" en el MIT el 26 de enero de 2007.

Sistema estandarizado de escritura.

Una forma estandarizada de escribir números muy grandes permite clasificarlos fácilmente en orden creciente y uno puede tener una buena idea de cuánto mayor es un número que otro.

Para comparar números en notación científica, digamos 5×10 ⁴ y 2×10 ⁵ , primero compare los exponentes, en este caso 5 > 4, entonces 2×10 ⁵ > 5×10 ⁴ . Si los exponentes son iguales, se debe comparar la mantisa (o coeficiente), por lo tanto 5×10 ⁴ > 2×10 ⁴ porque 5 > 2.

La tetración con base 10 da la secuencia , las torres de poder de los números 10, donde denota una potencia funcional de la función (la función también expresada por el sufijo "-plex" como en googolplex, ver la familia googol ). ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1}$ ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}}$ ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$

Se trata de números muy redondos y cada uno de ellos representa un orden de magnitud en un sentido generalizado. Una forma sencilla de especificar qué tan grande es un número es especificar entre qué dos números de esta secuencia se encuentra.

Más precisamente, los números intermedios se pueden expresar en la forma , es decir, con una torre de energía de decenas y un número en la parte superior, posiblemente en notación científica, por ejemplo , un número entre y (tenga en cuenta que si ). (Ver también extensión de la tetración a alturas reales ). ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}a}$ ${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow )^{5}4.829}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)}$ ${\displaystyle 1<a<10}$

Así, googolplex es ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2}$

Otro ejemplo:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65,531}(6\times 10^{19,728})\approx (10\uparrow )^{65,533}4.3}$(en medio y ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,533}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,534}$

Por lo tanto, el "orden de magnitud" de un número (en una escala mayor de lo que normalmente se entiende) puede caracterizarse por el número de veces ( n ) que uno tiene que tomar para obtener un número entre 1 y 10. Por lo tanto, el número es en medio y . Como se explicó, una descripción más precisa de un número también especifica el valor de este número entre 1 y 10, o del número anterior (tomando el logaritmo una vez menos) entre 10 y 10 ¹⁰ , o del siguiente, entre 0 y 1. ${\displaystyle log_{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n+1)}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle 10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$

Es decir, si un número x es demasiado grande para una representación, la torre de energía se puede hacer una más alta, reemplazando x por log ₁₀ x , o encontrar x a partir de la representación de la torre inferior del log ₁₀ del número entero. Si la torre de energía contuviera uno o más números distintos de 10, los dos enfoques llevarían a resultados diferentes, lo que corresponde al hecho de que extender la torre de energía con un 10 en la parte inferior no es lo mismo que extenderla con un 10 en la parte inferior. la parte superior (pero, por supuesto, se aplican observaciones similares si toda la torre de energía consta de copias del mismo número, distinto de 10). ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}x}$

Si la altura de la torre es grande, las diversas representaciones para números grandes se pueden aplicar a la altura misma. Si la altura se proporciona sólo aproximadamente, no tiene sentido dar un valor en la parte superior, por lo que se puede utilizar la notación de doble flecha (por ejemplo, ). Si el valor después de la doble flecha es un número muy grande en sí mismo, lo anterior se puede aplicar de forma recursiva a ese valor. ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7.21\times 10^{8})}$

Ejemplos:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$(en medio y ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$(en medio y ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

De manera similar a lo anterior, si el exponente de no se da exactamente, entonces dar un valor a la derecha no tiene sentido, y en lugar de usar la notación de potencia de , es posible sumar al exponente de , para obtener, por ejemplo . ${\displaystyle (10\uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{3}(2.8\times 10^{12})}$

Si el exponente de es grande, las diversas representaciones de números grandes se pueden aplicar a este exponente. Si este exponente no se da exactamente, entonces, nuevamente, dar un valor a la derecha no tiene sentido, y en lugar de usar la notación de potencia es posible usar el operador de flecha triple, por ejemplo . ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (7.3\times 10^{6})}$

Si el argumento de la derecha del operador de triple flecha es grande, se le aplica lo anterior, obteniendo, por ejemplo, (entre y ). Esto se puede hacer de forma recursiva, por lo que es posible tener un poder del operador de triple flecha. ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

Entonces es posible proceder con operadores con mayor número de flechas, escritas . ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

Compare esta notación con el hiperoperador y la notación de flechas encadenadas de Conway :

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$= ( a → b → n ) = hiper( a ,  n  + 2,  b )

Una ventaja de la primera es que cuando se considera como función de b , existe una notación natural para las potencias de esta función (al igual que cuando se escriben las n flechas): . Por ejemplo: ${\displaystyle (a\uparrow ^{n})^{k}b}$

${\displaystyle (10\uparrow ^{2})^{3}b}$= ( 10 → ( 10 → ( 10 → b → 2 ) → 2 ) → 2 )

y sólo en casos especiales se reduce la notación de cadena larga anidada; para obtiene: ${\displaystyle ''b''=1}$

${\displaystyle 10\uparrow ^{3}3=(10\uparrow ^{2})^{3}1}$= (10 → 3 → 3)

Dado que b también puede ser muy grande, en general se puede escribir un número con una secuencia de potencias con valores decrecientes de n (con exponentes enteros exactamente dados ) con al final un número en notación científica ordinaria. Siempre que a es demasiado grande para ser dado exactamente, el valor de se incrementa en 1 y se reescribe todo lo que está a la derecha de. ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n+1}}}$ ${\displaystyle ({n+1})^{k_{n+1}}}$

Para describir números de forma aproximada, no se necesitan desviaciones del orden decreciente de los valores de n . Por ejemplo, y . De este modo se obtiene el resultado algo contrario a la intuición de que un número x puede ser tan grande que, en cierto modo, x y 10 ^x son "casi iguales" (para la aritmética de números grandes, véase también más adelante). ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a=(10\uparrow \uparrow )^{6}a}$ ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

Si el superíndice de la flecha hacia arriba es grande, las diversas representaciones de números grandes se pueden aplicar a este superíndice. Si este superíndice no se da exactamente, entonces no tiene sentido elevar el operador a una potencia particular o ajustar el valor sobre el cual actúa; en su lugar, es posible simplemente usar un valor estándar a la derecha, digamos 10, y la expresión se reduce a con un aproximado n . Para tales números, la ventaja de usar la notación de flecha hacia arriba ya no se aplica, por lo que se puede usar la notación de cadena en su lugar. ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10=(10\to 10\to n)}$

Lo anterior se puede aplicar recursivamente para este n , por lo que la notación se obtiene en el superíndice de la primera flecha, etc., o una notación en cadena anidada, por ejemplo: ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

(10 → 10 → (10 → 10 → ) ) = ${\displaystyle 3\times 10^{5}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}10}$

Si el número de niveles es demasiado grande para ser conveniente, se utiliza una notación en la que este número de niveles se escribe como un número (como usar el superíndice de la flecha en lugar de escribir muchas flechas). Introduciendo una función = (10 → 10 → n ), estos niveles se convierten en potencias funcionales de f , permitiéndonos escribir un número en la forma donde m se da exactamente y n es un número entero que puede o no darse exactamente (por ejemplo : ). Si n es grande, se puede utilizar cualquiera de los anteriores para expresarlo. Los "más redondos" de estos números son los de la forma f ^m (1) = (10→10→ m →2). Por ejemplo, ${\displaystyle f(n)=10\uparrow ^{n}10}$ ${\displaystyle f^{m}(n)}$ ${\displaystyle f^{2}(3\times 10^{5})}$ ${\displaystyle (10\to 10\to 3\to 2)=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$

Compare la definición del número de Graham: usa los números 3 en lugar de 10 y tiene 64 niveles de flecha y el número 4 en la parte superior; así , pero también . ${\displaystyle G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)}$ ${\displaystyle G<f^{64}(4)<f^{65}(1)}$

Si m in es demasiado grande para darlo exactamente, es posible usar un n fijo , por ejemplo, n = 1, y aplicar lo anterior de forma recursiva a m , es decir, el número de niveles de flechas hacia arriba se representa en la flecha hacia arriba en superíndice. notación, etc. Usando la notación de potencia funcional de f esto da múltiples niveles de f . Al introducir una función, estos niveles se convierten en potencias funcionales de g , lo que nos permite escribir un número en la forma en la que m se da exactamente y n es un número entero que puede o no darse exactamente. Por ejemplo, si (10→10→ m →3) = g ^m (1). Si n es grande, se puede utilizar cualquiera de los anteriores para expresarlo. De manera similar , se puede introducir una función h , etc. Si se requieren muchas funciones de este tipo, se pueden numerar en lugar de usar una nueva letra cada vez, por ejemplo, como un subíndice, de manera que haya números de la forma donde k y m se dan exactamente y n es un número entero que puede o no darse exactamente. Usando k =1 para la f anterior, k =2 para g , etc., se obtiene (10→10→ n → k ) = . Si n es grande, se puede utilizar cualquiera de los anteriores para expresarlo. Así se obtiene un anidamiento de formas donde hacia adentro k disminuye, y con como argumento interno una secuencia de potencias con valores decrecientes de n (donde todos estos números son exactamente enteros dados) con al final un número en notación científica ordinaria. ${\displaystyle f^{m}(n)}$ ${\displaystyle g(n)=f^{n}(1)}$ ${\displaystyle g^{m}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}^{m}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)}$ ${\displaystyle {f_{k}}^{m_{k}}}$ ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Cuando k es demasiado grande para darlo exactamente, el número en cuestión se puede expresar como =(10→10→10→ n ) con un n aproximado . Tenga en cuenta que el proceso de pasar de la secuencia =(10→ n ) a la secuencia =(10→10→ n ) es muy similar a pasar de esta última a la secuencia =(10→10→10→ n ): es el proceso general de agregar un elemento 10 a la cadena en la notación de cadena; Este proceso se puede repetir nuevamente (ver también la sección anterior). Al numerar las versiones posteriores de esta función, un número se puede describir usando funciones , anidadas en orden lexicográfico con q el número más significativo, pero con orden decreciente para q y para k ; como argumento interno produce una secuencia de potencias con valores decrecientes de n (donde todos estos números son exactamente números enteros) con al final un número en notación científica ordinaria. ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$ ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10}$ ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$ ${\displaystyle {f_{qk}}^{m_{qk}}}$ ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Para un número demasiado grande para escribirlo en la notación de flechas encadenadas de Conway, su tamaño se puede describir por la longitud de esa cadena, por ejemplo, usando solo los elementos 10 en la cadena; en otras palabras, se podría especificar su posición en la secuencia 10, 10→10, 10→10→10, .. Si incluso la posición en la secuencia es un número grande, se pueden aplicar nuevamente las mismas técnicas.

Ejemplos

Números expresables en notación decimal:

• 2 ² = 4
• 2 ^{2 2} = 2 ↑ ↑ 3 = 16
• 3 ³ = 27
• 4 ⁴ = 256
• 5 ⁵ = 3,125
• 6 ⁶ = 46,656
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}}$= 2 ↑ ↑ 4 = 2 ↑ ↑ ↑ 3 = 65,536
• 7 ⁷ = 823,543
• 10 ⁶ = 1.000.000 = 1 millón
• 8 ⁸ = 16.777.216
• 9 ⁹ = 387.420.489
• 10 ⁹ = 1.000.000.000 = mil millones
• 10 ¹⁰ = 10.000.000.000
• 10 ¹² = 1.000.000.000.000 = 1 billón
• 3 ^{3 3} = 3 ↑ ↑ 3 = 7.625.597.484.987 ≈ 7,63 × 10 ¹²
• 10 ¹⁵ = 1.000.000.000.000.000 = 1 millón de billones = 1 cuatrillón
• 10 ¹⁸ = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 billón de billones = 1 quintillón

Números expresables en notación científica:

• Número aproximado de átomos en el universo observable = 10 ⁸⁰ = 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00 0,000
• googol = 10 ¹⁰⁰ = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,0 00.000.000.000.000.000.000
• 4 ^{4 4} = 4 ↑ ↑ 3 = 2 ⁵¹² ≈ 1,34 × 10 ¹⁵⁴ ≈ (10 ↑) ² 2,2
• Número aproximado de volúmenes de Planck que componen el volumen del universo observable = 8,5 × 10 ¹⁸⁴
• 5 ^{5 5} = 5 ↑ ↑ 3 = 5 ³¹²⁵ ≈ 1,91 × 10 ²¹⁸⁴ ≈ (10 ↑) ² 3,3
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65,536}\approx 2.0\times 10^{19,728}\approx (10\uparrow )^{2}4.3}$
• 6 ^{6 6} = 6 ↑ ↑ 3 ≈ 2,66 × 10 ^36.305 ≈ (10 ↑) ² 4,6
• 7 ^{7 7} = 7 ↑ ↑ 3 ≈ 3,76 × 10 ^695.974 ≈ (10 ↑) ² 5,8
• 8 ^{8 8} = 8 ↑ ↑ 3 ≈ 6,01 × 10 ^15.151.335 ≈ (10 ↑) ² 7,2
• ${\displaystyle M_{82,589,933}\approx 1.49\times 10^{24,862,047}\approx 10^{10^{7.3955}}=(10\uparrow )^{2}\ 7.3955}$, el número 51 y, a partir de enero de 2021, ^[update]el mayor premio Mersenne conocido .
• 9 ^{9 9} = 9 ↑ ↑ 3 ≈ 4,28 × 10 ^369.693.099 ≈ (10 ↑) ² 8,6
• 10 ^{10 10} =10 ↑ ↑ 3 = 10 ^{10 000 000 000} = (10 ↑) ³ 1
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3,638,334,640,024}\approx (10\uparrow )^{3}1.10}$

Números expresables en notación (10 ↑) ⁿ k :

• googolplex = ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{3}2}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}=2\uparrow \uparrow 6=2^{2^{65,536}}\approx 2^{(10\uparrow )^{2}4.3}\approx 10^{(10\uparrow )^{2}4.3}=(10\uparrow )^{3}4.3}$
• ${\displaystyle 10^{10^{10^{10}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1}$
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3}$
• 10 ↑ ↑ 5 = (10 ↑) ⁵ 1
• 3 ↑ ↑ 6 ≈ (10 ↑) ⁵ 1,10
• 2 ↑ ↑ 8 ≈ (10 ↑) ⁵ 4,3
• 10 ↑ ↑ 6 = (10 ↑) ⁶ 1
• 10 ↑ ↑ ↑ 2 = 10 ↑ ↑ 10 = (10 ↑) ¹⁰ 1
• 2 ↑ ↑ ↑ ↑ 3 = 2 ↑ ↑ ↑ 4 = 2 ↑ ↑ 65 536 ≈ (10 ↑) ^{65 533} 4,3 está entre 10 ↑ ↑ 65 533 y 10 ↑ ↑ 65 534

Números más grandes:

• 3 ↑ ↑ ↑ 3 = 3 ↑ ↑ (3 ↑ ↑ 3) ≈ 3 ↑ ↑ 7,6 × 10 ¹² ≈ 10 ↑ ↑ 7,6 × 10 ¹² está entre (10 ↑ ↑) ² 2 y (10 ↑ ↑) ² 3
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow )^{3}1}$= (10 → 3 → 3)
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}11}$
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow )^{4}1}$= (10 → 4 → 3)
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1}$= (10 → 5 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1}$= (10 → 6 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1}$= (10 → 7 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1}$= (10 → 8 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1}$= (10 → 9 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{10}1}$= (10 → 2 → 4) = (10 → 10 → 3)
• El primer término en la definición del número de Graham, g ₁ = 3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3 = 3 ↑ ↑ ↑ (3 ↑ ↑ ↑ 3) ≈ 3 ↑ ↑ ↑ (10 ↑ ↑ 7,6 × 10 ¹² ) ≈ 10 ↑ ↑ ↑ (10 ↑ ↑ 7,6 × 10 ¹² ) está entre (10 ↑ ↑ ↑) ² 2 y (10 ↑ ↑ ↑) ² 3 (Ver el número de Graham#Magnitud )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1}$= (10 → 3 → 4)
• ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4}$= ( 4 → 4 → 4 ) ${\displaystyle \approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1}$= (10 → 4 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1}$= (10 → 5 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1}$= (10 → 6 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=}$= (10 → 7 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=}$= (10 → 8 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=}$= (10 → 9 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1}$= (10 → 2 → 5) = (10 → 10 → 4)
• ( 2 → 3 → 2 → 2 ) = ( 2 → 3 → 8 )
• ( 3 → 2 → 2 → 2 ) = ( 3 → 2 → 9 ) = ( 3 → 3 → 8 )
• ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
• ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
• ( 10 → 10 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → ) = ${\displaystyle 10^{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10^{10}}10}$
• El segundo término en la definición del número de Graham, g ₂ = 3 ↑ ^{g ₁} 3 > 10 ↑ ^{g ₁ – 1} 10.
• ( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → (10 → 10 → ) ) = ${\displaystyle 10^{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$
• g ₃ = (3 → 3 → g ₂ ) > (10 → 10 → g ₂ – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
• g ₄ = (3 → 3 → g ₃ ) > (10 → 10 → g ₃ – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• g ₉ = (3 → 3 → g ₈ ) está entre (10 → 10 → 9 → 2) y (10 → 10 → 10 → 2)
• ( 10 → 10 → 10 → 2 )
• g ₁₀ = (3 → 3 → g ₉ ) está entre (10 → 10 → 10 → 2) y (10 → 10 → 11 → 2)
• ...
• g ₆₃ = (3 → 3 → g ₆₂ ) está entre (10 → 10 → 63 → 2) y (10 → 10 → 64 → 2)
• ( 10 → 10 → 64 → 2 )
• Número de Graham, g ₆₄ ^[12]
• ( 10 → 10 → 65 → 2 )
• ( 10 → 10 → 10 → 3 )
• ( 10 → 10 → 10 → 4 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 ) donde hay ( 10 → 10 → 10 ) "10"

Otras notaciones

Algunas notaciones para números extremadamente grandes:

• Notación de flecha hacia arriba de Knuth / hiperoperadores / función de Ackermann , incluida la tetración
• Notación de flecha encadenada de Conway
• notación Steinhaus-Moser ; Además del método de construcción de números grandes, esto también implica una notación gráfica con polígonos . También se pueden utilizar notaciones alternativas, como una notación de función más convencional, con las mismas funciones.
• Jerarquía en rápido crecimiento

Estas notaciones son esencialmente funciones de variables enteras, que aumentan muy rápidamente con esos números enteros. Se pueden construir fácilmente funciones de crecimiento cada vez más rápido de forma recursiva aplicando estas funciones con números enteros grandes como argumento.

Una función con una asíntota vertical no es útil para definir un número muy grande, aunque la función aumenta muy rápidamente: hay que definir un argumento muy cercano a la asíntota, es decir, usar un número muy pequeño, y construirlo equivale a construir una número muy grande, por ejemplo, el recíproco.

Comparación de valores base

A continuación se ilustra el efecto de una base diferente a 10, base 100. También ilustra representaciones de números y la aritmética.

${\displaystyle 100^{12}=10^{24}}$, con base 10 se duplica el exponente.

${\displaystyle 100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}}$, lo mismo.

${\displaystyle 100^{100^{100^{12}}}\approx 10^{10^{2*10^{24}+0.30103}}}$, el exponente más alto es poco más que el doble (aumentado en log ₁₀ 2).

• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 2=10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{3}200.3=(10\uparrow )^{4}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow )^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{n-1}200.3=(10\uparrow )^{n}2.3<10\uparrow \uparrow (n+1)}$(por lo tanto, si n es grande, parece justo decir que es "aproximadamente igual a" ) ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$(compárese ; por lo tanto, si n es grande, parece justo decir que es "aproximadamente igual a" ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$ ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(comparar ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(comparar ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(compárese ; si n es grande, esto es "aproximadamente" igual) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$

Exactitud

Para un número , un cambio de unidad en n cambia el resultado en un factor 10. En un número como , con 6.2 como resultado de un redondeo adecuado usando cifras significativas, el verdadero valor del exponente puede ser 50 menos o 50 más. Por tanto, el resultado puede ser un factor demasiado grande o demasiado pequeño. Esto parece una precisión extremadamente pobre, pero para un número tan grande puede considerarse justo (un error grande en un número grande puede ser "relativamente pequeño" y, por lo tanto, aceptable). ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle 10^{\,\!6.2\times 10^{3}}}$ ${\displaystyle 10^{50}}$

Para números muy grandes

En el caso de una aproximación de un número extremadamente grande, el error relativo puede ser grande, pero aun así puede haber un sentido en el que uno quiera considerar los números como "próximos en magnitud". Por ejemplo, considere

${\displaystyle 10^{10}}$y ${\displaystyle 10^{9}}$

El error relativo es

${\displaystyle 1-{\frac {10^{9}}{10^{10}}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%}$

un gran error relativo. Sin embargo, también se puede considerar el error relativo en los logaritmos; en este caso, los logaritmos (en base 10) son 10 y 9, por lo que el error relativo en los logaritmos es sólo del 10%.

El punto es que las funciones exponenciales magnifican enormemente los errores relativos: si a y b tienen un error relativo pequeño,

${\displaystyle 10^{a}}$y ${\displaystyle 10^{b}}$

el error relativo es mayor, y

${\displaystyle 10^{10^{a}}}$y ${\displaystyle 10^{10^{b}}}$

tendrá un error relativo aún mayor. La pregunta entonces es: ¿en qué nivel de logaritmos iterados se comparan dos números? Hay un sentido en el que uno puede querer considerar

${\displaystyle 10^{10^{10}}}$y ${\displaystyle 10^{10^{9}}}$

ser "cercano en magnitud". El error relativo entre estos dos números es grande y el error relativo entre sus logaritmos sigue siendo grande; sin embargo, el error relativo en sus logaritmos de segunda iteración es pequeño:

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{10}}))=10}$y ${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{9}}))=9}$

Este tipo de comparaciones de logaritmos iterados son comunes, por ejemplo, en la teoría analítica de números .

Clases

Una solución al problema de comparar números grandes es definir clases de números, como el sistema ideado por Robert Munafo, ^[13] que se basa en diferentes "niveles" de percepción de una persona promedio. La clase 0 (números entre cero y seis) se define para contener números que se subitizan fácilmente , es decir, números que aparecen con mucha frecuencia en la vida diaria y son comparables casi instantáneamente. La clase 1 (números entre seis y 1.000.000 = 10 ⁶ ) se define para contener números cuyas expresiones decimales se subitizan fácilmente, es decir, números que son fácilmente comparables no por cardinalidad , sino "de un vistazo" dada la expansión decimal.

Cada clase posterior a estas se define en términos de iterar esta exponenciación de base 10, para simular el efecto de otra "iteración" de la indistinguibilidad humana. Por ejemplo, la clase 5 se define para incluir números entre 10 ^{10 10 10 6} y 10 ^{10 10 10 10 6} , que son números en los que X se vuelve humanamente indistinguible de X ^{2 [14]} (tomar logaritmos iterados de dicho X produce indistinguibilidad en primer lugar entre log ( X ) y 2log( X ), en segundo lugar entre log(log( X )) y 1+log(log( X )), y finalmente una expansión decimal extremadamente larga cuya longitud no se puede subitizar).

Aritmética aproximada

Existen algunas reglas generales relacionadas con las operaciones aritméticas habituales realizadas con números muy grandes:

• La suma y el producto de dos números muy grandes son ambos "aproximadamente" iguales al mayor.
• ${\displaystyle (10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{10^{b+\log _{10}a}}}$

Por eso:

• Un número muy grande elevado a una potencia muy grande es "aproximadamente" igual al mayor de los dos valores siguientes: el primer valor y 10 elevado al segundo. Por ejemplo, para muy grande existe (ver, por ejemplo, el cálculo de mega ) y también . Así , ver tabla . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{n}\approx 10^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}\approx 10^{n}}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536\approx 10\uparrow \uparrow 65533}$

Creando sistemáticamente secuencias cada vez más rápidas

Dada una secuencia/función entera estrictamente creciente ( n ≥1), es posible producir una secuencia de crecimiento más rápido (donde el superíndice n denota el n ^-ésimo poder funcional ). Esto se puede repetir cualquier número de veces dejando que cada secuencia crezca mucho más rápido que la anterior. Por lo tanto, es posible definir , que crece mucho más rápido que cualquier otro para k finito (aquí ω es el primer número ordinal infinito , que representa el límite de todos los números finitos k). Esta es la base de la jerarquía de funciones en rápido crecimiento, en la que el subíndice de indexación se extiende a ordinales cada vez más grandes. ${\displaystyle f_{0}(n)}$ ${\displaystyle f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{\omega }(n)=f_{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}}$

Por ejemplo, comenzando con f ₀ ( n ) = n + 1:

• f ₁ ( norte ) = f ₀ ^norte ( norte ) = norte + norte = 2 norte
• f ₂ ( n ) = f ₁ ⁿ ( n ) = 2 ⁿ n > (2 ↑) n para n ≥ 2 (usando la notación de flecha hacia arriba de Knuth )
• f ₃ ( n ) = f ₂ ⁿ ( n ) > (2 ↑) ⁿ n ≥ 2 ↑ ² n para n ≥ 2
• f _{k +1} ( n ) > 2 ↑ ^k n para n ≥ 2, k < ω
• f _ω ( n ) = f _n ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 2 ↑ ^{n − 2} ( n + 3) − 3 = A ( n , n ) para n ≥ 2, donde A es la función de Ackermann ( de la cual f _ω es una versión unaria)
• f _ω+1 (64) > f _ω ⁶⁴ (6) > Número de Graham (= g ₆₄ en la secuencia definida por g ₀ = 4, g _{k +1} = 3 ↑ ^{g _k} 3)
  • Esto sigue observando f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 3 ↑ ^{n – 2} 3 + 2, y por lo tanto f _ω ( g _k + 2) > g _{k +1} + 2
• f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n = (2 → n → n -1) = (2 → n → n -1 → 1) (usando la notación de flechas encadenadas de Conway )
• f _ω+1 ( n ) = f _ω ⁿ ( n ) > (2 → n → n -1 → 2) (porque si g _k ( n ) = X → n → k entonces X → n → k +1 = g _{kn (} ¹ ))
• f _{ω+ k} ( n ) > (2 → n → n -1 → k +1) > ( n → n → k )
• f _ω2 ( n ) = f _{ω+ n} ( n ) > ( n → n → n ) = ( n → n → n → 1)
• f _{ω2+ k} ( n ) > ( n → n → n → k )
• f _ω3 ( n ) > ( n → n → n → n )
• f _{ω k} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Cadena de k +1 n' s)
• f _{ω ²} ( n ) = f _{ω n} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Cadena de n +1 n' s)

En algunas secuencias no computables

La función de castor ocupado Σ es un ejemplo de una función que crece más rápido que cualquier función computable . Su valor, incluso para insumos relativamente pequeños, es enorme. Los valores de Σ( n ) para n = 1, 2, 3, 4, 5 son 1, 4, 6, 13, 4098 ^[15] (secuencia A028444 en la OEIS ). Σ(6) no se conoce pero es al menos 10 ↑ ↑ 15.

numeros infinitos

Aunque todos los números analizados anteriormente son muy grandes, todos siguen siendo decididamente finitos . Ciertos campos de las matemáticas definen números infinitos y transfinitos . Por ejemplo, aleph-null es la cardinalidad del conjunto infinito de números naturales , y aleph-one es el siguiente número cardinal más grande. es la cardinalidad de los reales . La proposición que se conoce como hipótesis del continuo . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

Ver también

• Aritmética de precisión arbitraria
• Lista de software aritmético de precisión arbitraria
• Hipótesis de los grandes números de Dirac
• Crecimiento exponencial
• Historia de grandes números
• Escala humana
• Números indefinidos y ficticios
• numero mas grande
• Infinidad
• ley de los grandes números
• Miríadas (10.000) en el este de Asia
• Nombres de números grandes.
• Poder de dos
• potencia de 10
• Tetración

Referencias

1. Un millón de cosas: una enciclopedia visual ^{[ ¿fuente poco confiable? ]}
2. «El estudio de grandes números se llama googología» ^{[ ¿fuente poco confiable? ]}
3. Bianconi, Eva; Piovesán, Allison; Facchin, Federica; Beraudi, Alina; Casadei, Raffaella; Frabetti, Flavia; Vitale, Lorenza; Pelleri, María Chiara; Tassani, Simone (noviembre-diciembre de 2013). "Una estimación del número de células del cuerpo humano". Anales de biología humana . 40 (6): 463–471. doi : 10.3109/03014460.2013.807878 . hdl :11585/152451. ISSN  1464-5033. PMID  23829164. S2CID  16247166.
4. Landenmark HK, Forgan DH, Cockell CS (junio de 2015). "Una estimación del ADN total en la biosfera". Más biología . 13 (6): e1002168. doi : 10.1371/journal.pbio.1002168 . PMC 4466264 . PMID  26066900. 
5. Nuwer R (18 de julio de 2015). "Contando todo el ADN de la Tierra". Los New York Times . Nueva York. ISSN  0362-4331 . Consultado el 18 de julio de 2015 .
6. Shannon, Claude (marzo de 1950). «XXII. Programación de una computadora para jugar al ajedrez» (PDF) . Revista Filosófica . Serie 7. 41 (314). Archivado desde el original (PDF) el 6 de julio de 2010 . Consultado el 25 de enero de 2019 .
7. Átomos en el universo. Universo hoy. 30-07-2009. Consultado el 3 de febrero de 2013.
8. Pérdida de información en agujeros negros y/o seres conscientes?, Don N. Page, Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity (1995), SA Fulling (ed), p. 461. Discursos en Matemáticas y sus Aplicaciones, No. 4, Departamento de Matemáticas de la Universidad Texas A&M. arXiv : hep-th/9411193. ISBN 0-9630728-3-8 . 
9. Cómo conseguir un Googolplex
10. Carl Sagan responde más preguntas de su discurso de apertura del CSICOP de 1994 'Maravilla y escepticismo', Skeptical Inquirer Archivado el 21 de diciembre de 2016 en Wayback Machine .
11. "GIMPS descubre el número primo más grande conocido". Gran búsqueda de Mersenne Prime en Internet . 2018-12-21.
12. Respecto a la comparación con el valor anterior: , por lo que comenzar los 64 pasos con 1 en lugar de 4 compensa con creces reemplazar los números 3 por 10. ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10<3\uparrow ^{n+1}3}$
13. "Grandes cifras en MROB". www.mrob.com . Consultado el 13 de mayo de 2021 .
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15. "[2 de julio de 2024] Hemos demostrado" BB(5) = 47.176.870"". El desafío del castor ocupado . 2024-07-02 . Consultado el 4 de julio de 2024 .