Tetración

Operación aritmética

Coloración de dominio de la tetración holomorfa , donde el tono representa el argumento de la función y el brillo representa la magnitud. ${\displaystyle {}^{z}e}$

${\displaystyle {}^{n}x}$, para n = 2, 3, 4, ... , mostrando convergencia al exponencial infinitamente iterado entre los dos puntos

En matemáticas , la tetración (o hiper-4 ) es una operación basada en una exponenciación iterada o repetida . Sin embargo, no existe una notación estándar para la tetración y el exponente izquierdo ^x b es común. ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$

Según la definición de exponenciación repetida, significa , donde n copias de a se iteran mediante exponenciación, de derecha a izquierda, es decir, la aplicación de tiempos de exponenciación. n se llama "altura" de la función, mientras que a se llama "base", de forma análoga a la exponenciación. Se leería como "la enésima tetración de a ". ${\displaystyle {^{n}a}}$ ${\displaystyle {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$ ${\displaystyle n-1}$

Es la siguiente hiperoperación después de la exponenciación , pero antes de la pentación . La palabra fue acuñada por Reuben Louis Goodstein a partir de tetra- (cuatro) e iteración .

La tetración también se define recursivamente como

${\displaystyle {a\uparrow \uparrow n}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\a^{a\uparrow \uparrow (n-1)}&{\text{if }}n>0,\end{cases}}}$

permitiendo intentos de extender la tetración a números no naturales, como números reales y complejos .

Las dos inversas de la tetración se llaman superraíz y superlogaritmo , análogas a la raíz enésima y las funciones logarítmicas. Ninguna de las tres funciones es elemental .

La tetración se utiliza para la notación de números muy grandes .

Introducción

Aquí se muestran las primeras cuatro hiperoperaciones , y la tetración se considera la cuarta de la serie. La sucesión de operaciones unarias , definida como , se considera la operación cero. ${\displaystyle a'=a+1}$

1. Suma
   $${\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}$$
   n copias de 1 sumadas a una combinada por sucesión.
2. Multiplicación
   $${\displaystyle n\times a=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}$$
   n copias de un combinado por suma.
3. exponenciación
   $${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$$
   n copias de a combinadas por multiplicación.
4. Tetración
   $${\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$$
   n copias de a combinadas por exponenciación, de derecha a izquierda.

Tenga en cuenta que los exponentes anidados se interpretan convencionalmente de arriba hacia abajo: significa y no ${\displaystyle 3^{5^{7}}}$ ${\displaystyle 3^{\left(5^{7}\right)}}$ ${\displaystyle \left(3^{5}\right)^{7}.}$

La sucesión, es la operación más básica; si bien la suma ( ) es una operación primaria, para la suma de números naturales se puede considerar como una sucesión encadenada de sucesores de ; la multiplicación ( ) también es una operación primaria, aunque para números naturales se puede considerar análogamente como una suma encadenada que involucra números de . La exponenciación puede considerarse como una multiplicación encadenada que involucra números de y la tetración ( ) como una potencia encadenada que involucra números . Cada una de las operaciones anteriores se define iterando la anterior; ^[1] sin embargo, a diferencia de las operaciones anteriores, la tetración no es una función elemental . ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+1}$ ${\displaystyle a+n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ^{n}a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$

El parámetro se denomina base , mientras que el parámetro puede denominarse altura . En la definición original de tetración, el parámetro de altura debe ser un número natural; por ejemplo, sería ilógico decir "tres elevado a sí mismo menos cinco veces" o "cuatro elevado a sí mismo la mitad de un tiempo". Sin embargo, así como la suma, la multiplicación y la exponenciación se pueden definir de manera que permitan extensiones a números reales y complejos, se han hecho varios intentos de generalizar la tetración a números negativos, números reales y números complejos. Una forma de hacerlo es utilizar una definición recursiva de tetración; para cualquier entero positivo real y no negativo , podemos definir recursivamente como: ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \,\!{^{n}a}}$

${\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left(^{(n-1)}a\right)}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

La definición recursiva equivale a la exponenciación repetida para alturas naturales ; sin embargo, esta definición permite extensiones a otras alturas como , y también; muchas de estas extensiones son áreas de investigación activa. ${\displaystyle ^{0}a}$ ${\displaystyle ^{-1}a}$ ${\displaystyle ^{i}a}$

Terminología

Hay muchos términos para la tetración, cada uno de los cuales tiene alguna lógica detrás, pero algunos no se han vuelto de uso común por una razón u otra. A continuación se muestra una comparación de cada término con su justificación y contrajustificación.

• El término tetración , introducido por Goodstein en su artículo de 1947 Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory ^[2] (que generaliza la representación de base recursiva utilizada en el teorema de Goodstein para utilizar operaciones superiores), ha ganado predominio. También se popularizó en Infinity and the Mind de Rudy Rucker .
• El término superexponentiación fue publicado por Bromer en su artículo Superexponentiation en 1987. ^[3] Fue utilizado anteriormente por Ed Nelson en su libro Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
• El término hiperpoder ^[4] es una combinación natural de hiper y poder , que describe acertadamente la tetración. El problema radica en el significado de hiper con respecto a la secuencia de hiperoperación . Al considerar las hiperoperaciones, el término hiper se refiere a todos los rangos y el término super se refiere al rango 4, o tetración. Entonces, bajo estas consideraciones, la hiperpotencia es engañosa, ya que solo se refiere a la tetración.
• El término torre de energía ^[5] se utiliza ocasionalmente, en la forma "la torre de energía de orden n " para . La exponenciación se malinterpreta fácilmente: tenga en cuenta que la operación de elevar a una potencia es asociativa derecha (ver más abajo). La tetración es una exponenciación iterada (llame a esta operación asociativa por la derecha ^), comenzando desde el lado superior derecho de la expresión con una instancia a^a (llame a este valor c). Exponenciar la siguiente a hacia la izquierda (llamémosla la 'siguiente base' b) es trabajar hacia la izquierda después de obtener el nuevo valor b^c. Trabajando hacia la izquierda, consuma la siguiente a a la izquierda, como base b, y evalúe la nueva b^c. 'Desciende por la torre' a su vez, con el nuevo valor mayor para c en el siguiente paso hacia abajo. ${\displaystyle {\ \atop {\ }}{{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} } \atop n}}$

Debido en parte a cierta terminología compartida y a un simbolismo de notación similar , la tetración a menudo se confunde con funciones y expresiones estrechamente relacionadas. Aquí hay algunos términos relacionados:

En las dos primeras expresiones, a es la base y el número de veces que aparece a es la altura (suma uno para x ). En la tercera expresión, n es la altura , pero cada una de las bases es diferente.

Se debe tener cuidado al referirse a exponenciales iterados, ya que es común llamar a expresiones de esta forma exponenciación iterada, lo cual es ambiguo, ya que puede significar potencias iteradas o exponenciales iterados .

Notación

Hay muchos estilos de notación diferentes que se pueden utilizar para expresar la tetración. Algunas notaciones también se pueden utilizar para describir otras hiperoperaciones , mientras que otras se limitan a la tetración y no tienen una extensión inmediata.

Una notación anterior utiliza notación exponencial iterada; esto se define en general de la siguiente manera:

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$con n a s.

No hay tantas notaciones para exponenciales iterados, pero aquí hay algunas:

Ejemplos

Debido al crecimiento extremadamente rápido de la tetración, la mayoría de los valores de la siguiente tabla son demasiado grandes para escribirlos en notación científica. En estos casos, se utiliza notación exponencial iterada para expresarlos en base 10. Los valores que contienen un punto decimal son aproximados.

Observación: Si x no difiere de 10 en órdenes de magnitud, entonces para todos . Por ejemplo, en la tabla anterior, la diferencia es aún menor para las siguientes filas. ${\displaystyle k\geq 3,~^{m}x=\exp _{10}^{k}z,~z>1~\Rightarrow ~^{m+1}x=\exp _{10}^{k+1}z'{\text{ with }}z'\approx z}$ ${\displaystyle z-z'<1.5\cdot 10^{-15}{\text{ for }}x=3=k,~m=4}$

Propiedades

La tetración tiene varias propiedades que son similares a la exponenciación, así como propiedades que son específicas de la operación y que se pierden o ganan con la exponenciación (como la constancia de su velocidad de congruencia , ^[10] que caracteriza cada base de tetración que no es un múltiplo de cuyo hiperexponente es mayor o igual a , donde se indica en la Definición 2.1 de la Referencia ^[11] ). Debido a que la exponenciación no conmuta , las reglas del producto y de la potencia no tienen analogía con la tetración; las afirmaciones y no son ciertas en la mayoría de los casos. ^[12] ${\displaystyle a\in \mathbb {N} -\{0,1\}}$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}(a)+2}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}(a)}$ ${\textstyle {}^{a}\left({}^{b}x\right)=\left({}^{ab}x\right)}$ ${\textstyle {}^{a}\left(xy\right)={}^{a}x{}^{a}y}$

Sin embargo, la tetración sigue una propiedad diferente, en la que . Este hecho se muestra más claramente utilizando la definición recursiva. De esta propiedad se deduce que , que permite cambiar byc en ciertas ecuaciones. La prueba es la siguiente: ${\textstyle {}^{a}x=x^{\left({}^{a-1}x\right)}}$ ${\displaystyle \left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}=\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}={}&\left(a^{{}^{b-1}a}\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\={}&\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{aligned}}}$

Cuando un número x y 10 son coprimos , es posible calcular los últimos m dígitos decimales utilizando el teorema de Euler , para cualquier número entero m . Esto también es cierto en otras bases: por ejemplo, los últimos m dígitos octales de se pueden calcular cuando x y 8 son coprimos. ${\displaystyle \,\!\ ^{a}x}$ ${\displaystyle \,\!\ ^{a}x}$

Dirección de evaluación

Cuando se evalúa la tetración expresada como una "torre de exponenciación", la exponenciación en serie se realiza primero en el nivel más profundo (en la notación, en el vértice). Por ejemplo:

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65,\!536}$

Este orden es importante porque la exponenciación no es asociativa y evaluar la expresión en el orden opuesto conducirá a una respuesta diferente:

${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}\neq \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=4^{2\cdot 2}=256}$

Evaluar la expresión de izquierda a derecha se considera menos interesante; Al evaluar de izquierda a derecha, cualquier expresión se puede simplificar para que sea . ^[13] Debido a esto, las torres deben evaluarse de derecha a izquierda (o de arriba a abajo). Los programadores informáticos se refieren a esta elección como asociativa por derecha . ${\displaystyle ^{n}a\!}$ ${\displaystyle a^{\left(a^{n-1}\right)}\!\!}$

tetración repetida

Usando notación de flecha hacia arriba, también se puede escribir como . Para la tetración, también es igual a 4, o . ${\displaystyle ^{4}2}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4}$ ${\displaystyle ^{2}2}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 2=4}$

${\displaystyle ^{4}2}$por tanto, puede escribirse como o . ${\displaystyle ^{^{2}2}2}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2)}$

Esta tetración repetida también se puede representar como (conocida como pentación ). ${\displaystyle 2[5]3}$

Tenga en cuenta que, para el siguiente nivel de tetración, utilice el siguiente orden de evaluación:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow {\underline {2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2)}}=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 4)}$

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 65536=^{65536}2=2^{2^{^{2...(65536\;times)}}}}$

(Este número también se representa como ). ${\displaystyle 2[5]4}$

Mientras que la evaluación en la otra dirección da: ${\displaystyle {\underline {(2\uparrow \uparrow 2)\uparrow \uparrow 2}}\uparrow \uparrow 2}$

Primero, ${\displaystyle (2\uparrow \uparrow 2)\uparrow \uparrow 2=4\uparrow \uparrow 2=4^{4}=256}$

y , que es mucho menor que . ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 2=256^{256}=2^{2048}\approx 3.23\times 10^{616}}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536}$

Extensiones

La tetración se puede ampliar de dos formas diferentes; en la ecuación , tanto la base a como la altura n se pueden generalizar utilizando la definición y las propiedades de la tetración. Aunque la base y la altura se pueden extender más allá de los números enteros no negativos a diferentes dominios , incluidas funciones complejas como y alturas de n infinito , las propiedades más limitadas de la tetración reducen la capacidad de extender la tetración. ${\displaystyle ^{n}a\!}$ ${\displaystyle {^{n}0}}$ ${\displaystyle {}^{n}i}$

Ampliación de dominio para bases

base cero

La exponencial no está definida consistentemente. Por tanto, las tetraciones no están claramente definidas por la fórmula dada anteriormente. Sin embargo, está bien definido y existe: ^[14] ${\displaystyle 0^{0}}$ ${\displaystyle \,{^{n}0}}$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

Así podríamos definir consistentemente . Esto es análogo a definir . ${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$ ${\displaystyle 0^{0}=1}$

Bajo esta extensión, la regla de la definición original sigue siendo válida. ${\displaystyle {}^{0}0=1}$ ${\displaystyle {^{0}a}=1}$

Bases complejas

Tetración por período

Tetración por escape

Dado que los números complejos se pueden elevar a potencias, la tetración se puede aplicar a bases de la forma z = a + bi (donde a y b son reales). Por ejemplo, en ⁿ z con z = i , la tetración se logra utilizando la rama principal del logaritmo natural; usando la fórmula de Euler obtenemos la relación:

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

Esto sugiere una definición recursiva para ^{n +1} i = a′ + b′i dado cualquier ⁿ i = a + bi :

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

Se pueden derivar los siguientes valores aproximados:

Al resolver la relación inversa, como en la sección anterior, se obtienen los ⁰ i = 1 y ⁻¹ i = 0 esperados , y los valores negativos de n dan resultados infinitos en el eje imaginario. Trazada en el plano complejo , toda la secuencia gira en espiral hasta el límite 0,4383 + 0,3606 i , que podría interpretarse como el valor donde n es infinito.

Estas secuencias de tetración se han estudiado desde la época de Euler, pero no se comprenden bien debido a su comportamiento caótico. Históricamente, la mayoría de las investigaciones publicadas se han centrado en la convergencia de la función exponencial infinitamente iterada. La investigación actual se ha beneficiado enormemente con la llegada de potentes ordenadores con software de matemáticas simbólicas y fractales . Gran parte de lo que se sabe sobre la tetración proviene del conocimiento general de la dinámica compleja y de la investigación específica del mapa exponencial. ^{[ cita necesaria ]}

Ampliaciones del dominio para diferentes alturas

alturas infinitas

${\displaystyle \textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x}$de la exponencial infinitamente iterada converge para las bases ${\displaystyle \textstyle \left(e^{-1}\right)^{e}\leq x\leq e^{\left(e^{-1}\right)}}$

La función en el plano complejo, que muestra la función exponencial de valor real infinitamente iterada (curva negra) ${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}\right|}$

La tetración se puede extender a alturas infinitas ; es decir, para ciertos valores de a y n en , existe un resultado bien definido para un n infinito . Esto se debe a que para bases dentro de un cierto intervalo, la tetración converge a un valor finito cuando la altura tiende al infinito . Por ejemplo, converge a 2 y, por tanto, se puede decir que es igual a 2. La tendencia hacia 2 se puede ver evaluando una pequeña torre finita: ${\displaystyle {}^{n}a}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}$

En general, la exponencial iterada infinitamente , definida como el límite de cuando n llega al infinito, converge para e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} , aproximadamente el intervalo de 0,066 a 1,44, un resultado mostrado por Leonhard Euler . ^[15] El límite, si existe, es una solución real positiva de la ecuación y = x ^y . Por tanto, x = y ^{1/ y} . El límite que define la exponencial infinita de x no existe cuando x > e ^{1/ e} porque el máximo de y ^{1/ y} es e ^{1/ e} . El límite tampoco existe cuando 0 < x < e ^{− e} . ${\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!}$ ${\displaystyle {}^{n}x}$

Esto puede extenderse a números complejos z con la definición:

${\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}$

donde W representa la función W de Lambert .

Como el límite y = ^∞ x (si existe en la recta real positiva, es decir, para e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} ) debe satisfacer x ^y = y vemos que x ↦ y = ^∞ x es (la rama inferior de ) la función inversa de y ↦ x = y ^{1/ y} .

alturas negativas

Podemos usar la regla recursiva para la tetración,

${\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}$

probar : ${\displaystyle {}^{-1}a}$

${\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right);}$

Sustituyendo −1 por k se obtiene

${\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$. ^[13]

Los valores negativos más pequeños no pueden definirse bien de esta manera. Sustituyendo −2 por k en la misma ecuación se obtiene

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0=-\infty }$

que no está bien definido. Sin embargo, a veces pueden considerarse conjuntos. ^[13]

Porque cualquier definición de es consistente con la regla porque ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \,\!{^{-1}1}}$

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}$para cualquier . ${\displaystyle \,\!n={^{-1}1}}$

alturas reales

En este momento no existe una solución comúnmente aceptada para el problema general de extender la tetración a los valores reales o complejos de n . Sin embargo, ha habido múltiples enfoques sobre el tema y a continuación se describen diferentes enfoques.

En general, el problema es encontrar, para cualquier a > 0 real , una función superexponencial sobre x > −2 real que satisfaga ${\displaystyle \,f(x)={}^{x}a}$

• ${\displaystyle \,{}^{-1}a=0}$
• ${\displaystyle \,{}^{0}a=1}$
• ${\displaystyle \,{}^{x}a=a^{\left({}^{x-1}a\right)}}$para todos los reales ^[16] ${\displaystyle x>-1.}$

Para encontrar una extensión más natural se suele exigir uno o más requisitos extra. Suele ser una colección de lo siguiente:

• Un requisito de continuidad (generalmente solo que sea continuo en ambas variables para ). ${\displaystyle {}^{x}a}$ ${\displaystyle x>0}$
• Un requisito de diferenciabilidad (puede ser una, dos, k veces o infinitamente diferenciable en x ).
• Un requisito de regularidad (que implica dos veces diferenciable en x ) que:

  ${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}$para todos ${\displaystyle x>0}$

El cuarto requisito difiere de un autor a otro y entre enfoques. Hay dos enfoques principales para extender la tetración a alturas reales; uno se basa en el requisito de regularidad y el otro se basa en el requisito de diferenciabilidad . Estos dos enfoques parecen ser tan diferentes que es posible que no puedan conciliarse, ya que producen resultados inconsistentes entre sí.

Cuando se define para un intervalo de longitud uno, la función completa se sigue fácilmente para todo x > −2 . ${\displaystyle \,{}^{x}a}$

Aproximación lineal para alturas reales.

${\displaystyle \,{}^{x}e}$usando aproximación lineal

Una aproximación lineal (solución al requisito de continuidad, aproximación al requisito de diferenciabilidad) viene dada por:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

por eso:

etcétera. Sin embargo, sólo es diferenciable por partes; en valores enteros de x, la derivada se multiplica por . Es continuamente diferenciable para si y sólo si . Por ejemplo, utilizando estos métodos y ${\displaystyle \ln {a}}$ ${\displaystyle x>-2}$ ${\displaystyle a=e}$ ${\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}$ ${\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}$

Un teorema principal en el artículo de Hooshmand ^[6] establece: Sea . Si es continuo y satisface las condiciones: ${\displaystyle 0<a\neq 1}$ ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$es diferenciable en (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }}$es una función no decreciente o no creciente en (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ or }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right).}$

entonces está determinada únicamente a través de la ecuación ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))\quad {\text{for all}}\;\;x>-2,}$

donde denota la parte fraccionaria de x y es la función iterada de la función . ${\displaystyle (x)=x-[x]}$ ${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle \exp _{a}}$

La prueba es que las condiciones segunda a cuarta implican trivialmente que f es una función lineal en [−1, 0] .

La aproximación lineal a la función de tetración natural es continuamente diferenciable, pero su segunda derivada no existe en valores enteros de su argumento. Hooshmand derivó otro teorema de unicidad que establece: ${\displaystyle {}^{x}e}$

Si es una función continua que satisface: ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$es convexo en (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right).}$

entonces . [Aquí está el nombre de Hooshmand para la aproximación lineal a la función de tetración natural.] ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$ ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$

La prueba es muy parecida a la anterior; la ecuación de recursión asegura que y luego la condición de convexidad implica que es lineal en (−1, 0) . ${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$ ${\displaystyle f}$

Por tanto, la aproximación lineal a la tetración natural es la única solución de la ecuación y que es convexa en (−1, +∞) . Todas las demás soluciones suficientemente diferenciables deben tener un punto de inflexión en el intervalo (−1, 0) . ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}$ ${\displaystyle f(0)=1}$

Aproximaciones de orden superior para alturas reales

Una comparación de las aproximaciones lineal y cuadrática (en rojo y azul respectivamente) de la función , desde x = −2 hasta x = 2 ${\displaystyle ^{x}0.5}$

Más allá de las aproximaciones lineales, una aproximación cuadrática (al requisito de diferenciabilidad) viene dada por:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x-{\frac {1\;-\;\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}$

que es diferenciable para todos , pero no dos veces diferenciable. Por ejemplo, si esto es lo mismo que la aproximación lineal. ^[1] ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}$ ${\displaystyle a=e}$

Debido a la forma en que se calcula, esta función no se "cancela", al contrario de los exponentes, donde . A saber, ${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}$

${\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}$.

Así como existe una aproximación cuadrática, también existen aproximaciones cúbicas y métodos para generalizar a aproximaciones de grado n , aunque son mucho más difíciles de manejar. ^{[1] [17]}

Alturas complejas

Dibujo de la extensión analítica de la tetración al plano complejo. Los niveles y niveles se muestran con curvas gruesas. ${\displaystyle f=F(x+{\rm {i}}y)}$ ${\displaystyle |f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots }$ ${\displaystyle \arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

Tiene ahora ^{[ ¿cuándo? ]} se ha demostrado ^[18] que existe una función única F que es solución de la ecuación F ( z + 1) = exp( F ( z )) y satisface las condiciones adicionales de que F (0) = 1 y F ( z ) se acerca a los puntos fijos del logaritmo (aproximadamente 0,318 ± 1,337 i ) cuando z se acerca a ± i ∞ y que F es holomorfa en todo el plano z complejo , excepto la parte del eje real en z ≤ −2 . Esta prueba confirma una conjetura anterior . ^[19] La construcción de dicha función fue demostrada originalmente por Kneser en 1950. ^[20] El mapa complejo de esta función se muestra en la figura de la derecha. La prueba también funciona para otras bases además de e , siempre que la base sea mayor que . Los trabajos posteriores ampliaron la construcción a todas las bases del complejo. ^[21] ${\displaystyle e^{\frac {1}{e}}\approx 1.445}$

El requisito de que la tetración sea holomorfa es importante por su singularidad. Muchas funciones S se pueden construir como

${\displaystyle S(z)=F\!\left(~z~+\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)~\alpha _{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}1-\cos(2\pi nz){\Big )}~\beta _{n}\right)}$

donde α y β son secuencias reales que decaen lo suficientemente rápido como para proporcionar la convergencia de la serie , al menos en valores moderados de Im  z .

La función S satisface las ecuaciones de tetración S ( z + 1) = exp( S ( z )) , S (0) = 1 , y si α _n y β _n se acercan a 0 lo suficientemente rápido, será analítica en una vecindad de lo positivo eje real. Sin embargo, si algunos elementos de { α } o { β } no son cero, entonces la función S tiene multitud de singularidades y líneas de corte adicionales en el plano complejo, debido al crecimiento exponencial de sen y cos a lo largo del eje imaginario; cuanto más pequeños son los coeficientes { α } y { β } , más alejadas están estas singularidades del eje real.

La extensión de la tetración al plano complejo es, por tanto, esencial para la unicidad; la tetración analítica real no es única.

Recursividad no elemental

La tetración (restringida a ) no es una función recursiva elemental . Se puede probar por inducción que para cada función recursiva elemental f , existe una constante c tal que ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$

${\displaystyle f(x)\leq \underbrace {2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{c}.}$

Denotamos el lado derecho por . Supongamos por el contrario que la tetración es recursiva elemental. también es recursivo elemental. Por la desigualdad anterior, existe una constante c tal que . Al permitirlo , tenemos esa , una contradicción. ${\displaystyle g(c,x)}$ ${\displaystyle g(x,x)+1}$ ${\displaystyle g(x,x)+1\leq g(c,x)}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle g(c,c)+1\leq g(c,c)}$

Operaciones inversas

La exponenciación tiene dos operaciones inversas; raíces y logaritmos . De manera análoga, las inversas de la tetración a menudo se denominan superraíz y superlogaritmo (de hecho, todas las hiperoperaciones mayores o iguales a 3 tienen inversas análogas); por ejemplo, en la función , las dos inversas son la superraíz cúbica de y y el superlogaritmo en base  y de x . ${\displaystyle {^{3}}y=x}$

Superraíz

La superraíz es la operación inversa de la tetración con respecto a la base: si , entonces y es una enésima superraíz de x ( o ). ${\displaystyle ^{n}y=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$

Por ejemplo,

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65{,}536}$

entonces 2 es la cuarta superraíz de 65,536.

Superraíz cuadrada

La gráfica ${\displaystyle y={\sqrt {x}}_{s}}$

La superraíz de segundo orden , la superraíz cuadrada o la superraíz cuadrada tienen dos notaciones equivalentes, y . Es la inversa y se puede representar con la función Lambert W : ^[22] ${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$ ${\displaystyle ^{2}x=x^{x}}$

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=e^{W(\ln x)}={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}$

La función también ilustra la naturaleza reflexiva de las funciones raíz y logaritmo, ya que la siguiente ecuación solo es válida cuando : ${\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}$

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

Al igual que las raíces cuadradas , la superraíz cuadrada de x puede no tener una única solución. A diferencia de las raíces cuadradas, determinar el número de superraíces cuadradas de x puede resultar difícil. En general, si , entonces x tiene dos superraíces cuadradas positivas entre 0 y 1; y si , entonces x tiene una superraíz cuadrada positiva mayor que 1. Si x es positivo y menor que no tiene ninguna superraíz cuadrada real , pero la fórmula dada anteriormente produce contablemente infinitos complejos para cualquier x finito que no sea igual a 1. ^[22] La función se ha utilizado para determinar el tamaño de los grupos de datos . ^[23] ${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle e^{-1/e}}$

En : ${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+{\mathcal {O}}{\left((x-1)^{8}\right)}}$$

Otras súper raíces

La gráfica ${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$

Para cada número entero n > 2 , la función ⁿ x está definida y es creciente para x ≥ 1 , y ⁿ 1 = 1 , de modo que la n -ésima superraíz de x , , existe para x ≥ 1 . ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

Una de las fórmulas más simples y rápidas para una superraíz de tercer grado es la fórmula recursiva, si: x ^{x x} = a , y luego x ( n + 1) = exp (W (W ( x ( n ) ln ( a )))) , por ejemplo x (0) = 1 .

Sin embargo, si se utiliza la aproximación lineal anterior, entonces si −1 < y ≤ 0 , entonces no puede existir. ${\displaystyle ^{y}x=y+1}$ ${\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$

De la misma manera que la superraíz cuadrada, la terminología para otras superraíces puede basarse en las raíces normales : las "superraíces cúbicas" se pueden expresar como ; la "cuarta superraíz" se puede expresar como ; y la " enésima superraíz" es . Tenga en cuenta que es posible que no esté definido de forma única, porque puede haber más de una ^raíz enésima . Por ejemplo, x tiene una superraíz única (real) si n es impar y hasta dos si n es par . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

Al igual que con la extensión de la tetración a alturas infinitas, la superraíz se puede extender a n = ∞ , quedando bien definida si 1/ e ≤ x ≤ e . Tenga en cuenta eso y por lo tanto aquello . Por tanto, cuando está bien definida, y, a diferencia de la tetración normal, es una función elemental . Por ejemplo, . ${\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}$ ${\displaystyle y=x^{1/x}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$

Del teorema de Gelfond-Schneider se deduce que la superraíz de cualquier número entero positivo n es entera o trascendental , y es entera o irracional. ^[24] Sigue siendo una cuestión abierta si las superraíces irracionales son trascendentales en el último caso. ${\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}$

Superlogaritmo

Una vez que se selecciona una definición creciente continua (en x ) de tetración, ^x a , se define el superlogaritmo correspondiente o para todos los números reales x , y a > 1 . ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}x}$ ${\displaystyle \log _{a}^{4}x}$

La función slog _a  x satisface:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&\geq -2\end{aligned}}}$

Preguntas abiertas

Aparte de los problemas con las extensiones de la tetración, hay varias preguntas abiertas sobre la tetración, particularmente cuando se trata de las relaciones entre sistemas numéricos como los números enteros y irracionales :

• No se sabe si existe un número entero positivo n para el cual ⁿ π o ⁿ e es un número entero. En particular, no se sabe si ⁴ π o ⁵ e es un número entero. ^{[ cita necesaria ]}
• No se sabe si ⁿ q es racional para cualquier número entero positivo n y q racional positivo no entero . ^[24] Por ejemplo, no se sabe si la raíz positiva de la ecuación ⁴ x = 2 es un número racional. ^{[ cita necesaria ]}
• No se sabe si ^e π o ^π e son racionales o no.

Ver también

• función de ackermann
• Notación O grande
• Función exponencial doble
• Hiperoperación
• Logaritmo iterado
• Aritmética de índice de nivel simétrica

Notas

1. ⁿ x de Rudolf von Bitter Rucker (1982) , introducida por Hans Maurer (1901) y Reuben Louis Goodstein (1947) para la tetración, no debe confundirse con la notación de Alfred Pringsheim y Jules Molk (1907). ⁿ f ( x ) para denotar composiciones de funciones iteradas , ni con la notación presuperíndice ⁿ x de David Patterson Ellerman (1995) para raíces .

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Otras lecturas

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