Raíz cuadrada

En matemáticas , una raíz cuadrada de un número $x$ es un número $y$ tal que ; en otras palabras, un número $y$ cuyo cuadrado (resultado de multiplicar el número por sí mismo, o ) es $x$ . ^[1] Por ejemplo, 4 y −4 son raíces cuadradas de 16 porque . $y^{2}=x$ $y\cdot y$ $4^{2}=(-4)^{2}=16$

Cada número real no negativo $x$ tiene una raíz cuadrada no negativa única, llamada raíz cuadrada principal o simplemente raíz cuadrada (con un artículo definido, ver más abajo), que se denota donde el símbolo " " se llama signo radical^[2] o raíz . Por ejemplo, para expresar el hecho de que la raíz cuadrada principal de 9 es 3, escribimos . El término (o número) cuya raíz cuadrada se está considerando se conoce como radicando . $El radicando es el número o expresión debajo del signo radical, en este caso, 9. Para x$ no negativo , la raíz cuadrada principal también se puede escribir en notación exponencial , como . ${\sqrt {x}},$ ${\sqrt {~^{~}}}$ ${\sqrt {9}}=3$ $x^{1/2}$

Todo número positivo $x$ tiene dos raíces cuadradas: (que es positiva) y (que es negativa). Las dos raíces se pueden escribir de manera más concisa usando el signo ± como . Aunque la raíz cuadrada principal de un número positivo es sólo una de sus dos raíces cuadradas, la designación " raíz cuadrada" se utiliza a menudo para referirse a la raíz cuadrada principal. ^[3]^[4] ${\sqrt {x}}$ $-{\sqrt {x}}$ $\pm {\sqrt {x}}$

Las raíces cuadradas de números negativos se pueden analizar en el marco de los números complejos . De manera más general, las raíces cuadradas pueden considerarse en cualquier contexto en el que se defina una noción de " cuadrado " de un objeto matemático. Estos incluyen espacios funcionales y matrices cuadradas , entre otras estructuras matemáticas .

Historia

La tablilla de arcilla YBC 7289 de la Colección Babilónica de Yale fue creada entre 1800 a. C. y 1600 a. C. y muestra y respectivamente como 1; 24, 51, 10 y 0; 42, 25, 35 números en base 60 en un cuadrado atravesado por dos diagonales. ^[5] (1;24,51,10) base 60 corresponde a 1.41421296, que es correcto con 5 decimales (1.41421356...). ${\sqrt {2}}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

El Papiro Matemático de Rhind es una copia de 1650 a. C. de un Papiro de Berlín anterior y otros textos (posiblemente el Papiro Kahun ) que muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas mediante un método de proporción inversa. ^[6]

En la antigua India , el conocimiento de los aspectos teóricos y aplicados de la raíz cuadrada y la raíz cuadrada era al menos tan antiguo como los Sulba Sutras , que datan alrededor del 800 al 500 a. C. (posiblemente mucho antes). ^{[7] En el}Baudhayana Sulba Sutra se proporciona un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 . ^[8] Aryabhata , en Aryabhatiya (sección 2.4), ha dado un método para encontrar la raíz cuadrada de números que tienen muchos dígitos.

Los antiguos griegos sabían que las raíces cuadradas de números enteros positivos que no son cuadrados perfectos son siempre números irracionales : números que no se pueden expresar como una proporción de dos números enteros (es decir, no se pueden escribir exactamente como , donde $m$ y $n$ son números enteros) . . Este es el teorema de Euclides X, 9 , casi con certeza debido a Teeteto y que se remonta a c. 380 a.C. ^[9] El descubrimiento de los números irracionales, incluido el caso particular de la raíz cuadrada de 2 , está ampliamente asociado con la escuela pitagórica. ^[10]^[11] Aunque algunos relatos atribuyen el descubrimiento a Hippasus , el contribuyente específico sigue siendo incierto debido a la escasez de fuentes primarias y la naturaleza reservada de la hermandad. ^[12]^[13] Es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado con longitud de lado 1 . ${\frac {m}{n}}$

En la obra matemática china Escritos sobre el cálculo , escrita entre 202 a. C. y 186 a. C. durante la dinastía Han temprana , la raíz cuadrada se aproxima mediante el uso de un método de "exceso y deficiencia", que dice "...combinar el exceso y la deficiencia como el divisor; (tomando) el numerador de la deficiencia multiplicado por el denominador en exceso y el numerador en exceso por el denominador de la deficiencia, combinarlos para obtener el dividendo." ^[14]

Regiomontanus (1436-1476) inventó un símbolo para las raíces cuadradas, escrito como una R elaborada . También se utilizó una R para la base para indicar raíces cuadradas en Ars Magna de Gerolamo Cardano . ^[15]

Según el historiador de las matemáticas DE Smith , el método de Aryabhata para encontrar la raíz cuadrada fue introducido por primera vez en Europa por Cataneo , en 1546.

Según Jeffrey A. Oaks, los árabes usaban la letra jīm/ĝīm ( ج ), la primera letra de la palabra " جذر " (transliterada de diversas formas como jaḏr , jiḏr , ǧaḏr o ǧiḏr , "raíz"), colocada en su forma inicial ( ﺟ ) sobre un número para indicar su raíz cuadrada. La letra jīm se parece a la forma actual de raíz cuadrada. Su uso se remonta a finales del siglo XII en las obras del matemático marroquí Ibn al-Yasamin . ^[dieciséis]

El símbolo "√" para la raíz cuadrada se utilizó por primera vez en forma impresa en 1525, en Coss de Christoph Rudolff . ^[17]

Propiedades y usos

La función de raíz cuadrada principal (generalmente denominada simplemente "función de raíz cuadrada") es una función que mapea el conjunto de números reales no negativos sobre sí mismo. En términos geométricos , la función de raíz cuadrada relaciona el área de un cuadrado con la longitud de su lado. $f(x)={\sqrt {x}}$

La raíz cuadrada de $x$ es racional si y sólo si $x$ es un número racional que puede representarse como una razón de dos cuadrados perfectos. (Ver raíz cuadrada de 2 para pruebas de que se trata de un número irracional, e irracional cuadrático para una prueba de todos los números naturales no cuadrados). La función de raíz cuadrada transforma números racionales en números algebraicos , siendo este último un superconjunto de números racionales. ).

Para todos los números reales $x$ ,

{\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{casos}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{ \text{if }}x<0.\end{cases}}

valor absoluto

Para todos los números reales no negativos $x$ e $y$ ,

{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}

{\sqrt {x}}=x^{1/2}.

La función de raíz cuadrada es continua para todos $los x$ no negativos y diferenciable para todos $los x$ positivos . Si $f$ denota la función raíz cuadrada, cuya derivada viene dada por:

f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.

La serie de Taylor de aproximadamente $x$ $= 0$ converge para $|$ $x$ $|$ $\leq 1$ , y viene dado por ${\sqrt {1+x}}$

{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)( n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2 }+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,

La raíz cuadrada de un número no negativo se utiliza en la definición de norma (y distancia ) euclidiana , así como en generalizaciones como los espacios de Hilbert . Define un concepto importante de desviación estándar utilizado en teoría de probabilidad y estadística . Tiene un uso importante en la fórmula de raíces de una ecuación cuadrática ; Los campos cuadráticos y los anillos de números enteros cuadráticos , que se basan en raíces cuadradas, son importantes en álgebra y tienen usos en geometría. Las raíces cuadradas aparecen con frecuencia en fórmulas matemáticas de otros lugares, así como en muchas leyes físicas .

Raíces cuadradas de números enteros positivos

Un número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, que son opuestas entre sí. Cuando se habla de la raíz cuadrada de un número entero positivo, normalmente se refiere a la raíz cuadrada positiva.

Las raíces cuadradas de un número entero son números enteros algebraicos , más específicamente enteros cuadráticos .

La raíz cuadrada de un número entero positivo es el producto de las raíces de sus factores primos , porque la raíz cuadrada de un producto es el producto de las raíces cuadradas de los factores. Dado que solo son necesarias las raíces de aquellos números primos que tienen una potencia impar en la factorización . Más precisamente, la raíz cuadrada de una factorización prima es ${\estilo de texto {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$

{\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.

Como expansiones decimales

Las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos (p. ej., 0, 1, 4, 9, 16) son números enteros . En todos los demás casos, las raíces cuadradas de números enteros positivos son números irracionales y, por tanto, tienen decimales no periódicos en sus representaciones decimales . En la siguiente tabla se dan aproximaciones decimales de las raíces cuadradas de los primeros números naturales.

Como expansiones en otros sistemas numéricos.

Como antes, las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos (p. ej., 0, 1, 4, 9, 16) son números enteros. En todos los demás casos, las raíces cuadradas de números enteros positivos son números irracionales y, por lo tanto, tienen dígitos que no se repiten en cualquier sistema de notación posicional estándar .

Las raíces cuadradas de números enteros pequeños se utilizan en los diseños de funciones hash SHA-1 y SHA-2 para no proporcionar números bajo la manga .

Como fracciones continuas periódicas

Uno de los resultados más intrigantes del estudio de los números irracionales como fracciones continuas lo obtuvo Joseph Louis Lagrange c. 1780 . Lagrange descubrió que la representación de la raíz cuadrada de cualquier entero positivo no cuadrado como una fracción continua es periódica . Es decir, cierto patrón de denominadores parciales se repite indefinidamente en la fracción continua. En cierto sentido, estas raíces cuadradas son los números irracionales más simples, porque pueden representarse con un patrón repetitivo simple de números enteros.

La notación entre corchetes utilizada anteriormente es una forma abreviada de una fracción continua. Escrita en la forma algebraica más sugerente, la fracción continua simple para la raíz cuadrada de 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], se ve así:

{\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}

donde el patrón de dos dígitos {3, 6} se repite una y otra vez en los denominadores parciales. Dado que $11 = 3 2 + 2$ , lo anterior también es idéntico a las siguientes fracciones continuas generalizadas :

{\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.

Cálculo

Las raíces cuadradas de números positivos no son en general números racionales y, por lo tanto, no pueden escribirse como una expresión decimal terminal o recurrente. Por lo tanto, en general, cualquier intento de calcular una raíz cuadrada expresada en forma decimal sólo puede producir una aproximación, aunque se puede obtener una secuencia de aproximaciones cada vez más precisas.

La mayoría de las calculadoras de bolsillo tienen una clave de raíz cuadrada. Las hojas de cálculo de computadora y otros programas también se utilizan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Las calculadoras de bolsillo suelen implementar rutinas eficientes, como el método de Newton (frecuentemente con una estimación inicial de 1), para calcular la raíz cuadrada de un número real positivo. ^[18]^[19] Al calcular raíces cuadradas con tablas de logaritmos o reglas de cálculo , se pueden explotar las identidades

{\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},

ln

log 10

naturales de base 10

Mediante prueba y error, ^[20] se puede elevar al cuadrado una estimación y aumentarla o reducirla hasta que concuerde con una precisión suficiente. Para esta técnica es prudente utilizar la identidad ${\sqrt {a}}$

(x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},

x

c

c

recta tangente

c

x

a

(x+c)^{2}\approx x^{2}+2xc

x^{2}+2xc+c^{2}

c=0

y=2xc+x^{2}

2xc

c={\frac {a}{2x}}

El método iterativo más común para calcular manualmente la raíz cuadrada se conoce como " método babilónico " o "método de Herón", en honor al filósofo griego del siglo I, Herón de Alejandría , quien lo describió por primera vez. ^[21] El método utiliza el mismo esquema iterativo que el método de Newton-Raphson cuando se aplica a la función $y = f (x) = x 2 - a$ , utilizando el hecho de que su pendiente en cualquier punto es $dy / dx = f' (x) = 2 x$ , pero es anterior en muchos siglos. ^[22] El algoritmo consiste en repetir un cálculo simple que da como resultado un número más cercano a la raíz cuadrada real cada vez que se repite con su resultado como nueva entrada. La motivación es que si $x$ es una sobreestimación de la raíz cuadrada de un número real no negativo $a,$ entonces $a / x$ será una subestimación y, por lo tanto, el promedio de estos dos números es una mejor aproximación que cualquiera de ellos. Sin embargo, la desigualdad de las medias aritméticas y geométricas muestra que esta media es siempre una sobreestimación de la raíz cuadrada (como se indica más adelante), por lo que puede servir como una nueva sobreestimación con la que repetir el proceso, que converge como consecuencia de las sucesivas sobreestima y subestima estar más cerca uno del otro después de cada iteración. Para encontrar $x$ :

Comience con un valor inicial positivo arbitrario $x$ . Cuanto más cerca de la raíz cuadrada de $a$ , menos iteraciones serán necesarias para lograr la precisión deseada.
Reemplace $x$ por el promedio $(x + a / x)/2$ entre $x$ y $a / x$ .
Repita desde el paso 2, utilizando este promedio como el nuevo valor de $x$ .

Es decir, si una suposición arbitraria es $x$ $0$ y $x$ $n$ $+ 1$ $= ($ $x$ $n$ $+$ $a$ $/$ $x$ $n$ $) / 2$ , entonces cada $x$ $n$ es una aproximación de cuál es mejor para $n$ grande que para $n$ pequeño . Si $a$ es positivo, la convergencia es cuadrática , lo que significa que al acercarse al límite, el número de dígitos correctos aproximadamente se duplica en cada iteración siguiente. Si $a$ $= 0$ , la convergencia es sólo lineal; sin embargo, en este caso no es necesaria ninguna iteración. ${\sqrt {a}}$ ${\sqrt {a}}$ ${\sqrt {0}}=0$

Usando la identidad

{\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},

[1, 4)

aproximación polinómica lineal por partes .

La complejidad temporal para calcular una raíz cuadrada con $n$ dígitos de precisión es equivalente a la de multiplicar dos números $de n dígitos.$

Otro método útil para calcular la raíz cuadrada es el algoritmo de raíz enésima desplazable , aplicado para $n = 2$ .

El nombre de la función de raíz cuadrada varía de un lenguaje de programación a otro, siendo común sqrt^[23] (a menudo pronunciado "squirt" ^[24] ), utilizado en C , C++ y lenguajes derivados como JavaScript , PHP y Python .

Raíces cuadradas de números negativos y complejos.

El cuadrado de cualquier número positivo o negativo es positivo y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada real . Sin embargo, es posible trabajar con un conjunto de números más inclusivo, llamado números complejos , que contiene soluciones a la raíz cuadrada de un número negativo. Esto se hace introduciendo un nuevo número, denotado por $i$ (a veces por $j$ , especialmente en el contexto de la electricidad donde i tradicionalmente representa la corriente eléctrica) y llamado unidad imaginaria , que se define de manera que $i 2 = -1$ . Usando esta notación, podemos pensar en $i$ como la raíz cuadrada de −1, pero también tenemos $(- i) 2 = i 2 = -1$ y, por lo tanto $, - i$ también es una raíz cuadrada de −1. Por convención, la raíz cuadrada principal de −1 es $i$ , o más generalmente, si $x$ es cualquier número no negativo, entonces la raíz cuadrada principal de $- x$ es

{\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.

El lado derecho (así como su negativo) es de hecho una raíz cuadrada de $- x$ , ya que

(i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.

$Para cada número complejo z$ distinto de cero existen precisamente dos números $w$ tales que $w 2 = z$ : la raíz cuadrada principal de $z$ (definida a continuación) y su negativo.

Raíz cuadrada principal de un número complejo

Para encontrar una definición de raíz cuadrada que nos permita elegir consistentemente un solo valor, llamado valor principal , comenzamos observando que cualquier número complejo puede verse como un punto en el plano, expresado mediante coordenadas cartesianas . El mismo punto se puede reinterpretar usando coordenadas polares como el par donde es la distancia del punto al origen, y es el ángulo que forma la recta del origen al punto con el eje real positivo ( ). En análisis complejos, la ubicación de este punto se escribe convencionalmente si $x+iy$ $(x,y),$ $(r,\varphi ),$ $r\geq 0$ $\varphi$ $x$ $re^{i\varphi }.$

z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,

La raíz cuadrada principal

z

{\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.

corte de rama

z

\varphi =0

z

{\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};

-\pi <\varphi \leq \pi

z=-2i

\varphi =-\pi /2

{\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i

{\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2

{\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.

La función de raíz cuadrada principal es holomorfa en todas partes excepto en el conjunto de números reales no positivos (en reales estrictamente negativos ni siquiera es continua ). La serie de Taylor anterior sigue siendo válida para números complejos con ${\sqrt {1+x}}$ $x$ $|x|<1.$

Lo anterior también se puede expresar en términos de funciones trigonométricas :

{\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).

fórmula algebraica

Cuando el número se expresa usando sus partes real e imaginaria, se puede utilizar la siguiente fórmula para la raíz cuadrada principal: ^[25]^[26]

{\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},

donde $sgn(y) = 1$ si $y \geq 0$ y $sgn(y) = -1$ en caso contrario. ^[27] En particular, las partes imaginarias del número original y el valor principal de su raíz cuadrada tienen el mismo signo. La parte real del valor principal de la raíz cuadrada siempre es no negativa.

Por ejemplo, las raíces cuadradas principales de $\pm i$ vienen dadas por:

{\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.

Notas

A continuación, los complejos $z$ y $w$ se pueden expresar como:

$z=|z|e^{i\theta _{z}}$
$w=|w|e^{i\theta _{w}}$

dónde y . $-\pi <\theta _{z}\leq \pi$ $-\pi <\theta _{w}\leq \pi$

Debido a la naturaleza discontinua de la función raíz cuadrada en el plano complejo, las siguientes leyes no son ciertas en general.

${\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}$
Contraejemplo para la raíz cuadrada principal: $z = -1$ y $w = -1$
Esta igualdad es válida sólo cuando $-\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi$
${\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}$
Contraejemplo para la raíz cuadrada principal: $w = 1$ y $z = -1$
Esta igualdad es válida sólo cuando $-\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi$
${\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}$
Contraejemplo para la raíz cuadrada principal: $z = -1$ )
Esta igualdad es válida sólo cuando $\theta _{z}\neq \pi$

Un problema similar aparece con otras funciones complejas con cortes de ramas, por ejemplo, el logaritmo complejo y las relaciones $log z + log w = log(zw)$ o $log(z *) = log(z) *$ que no son ciertas en general.

Asumir erróneamente una de estas leyes subyace a varias "pruebas" defectuosas, por ejemplo la siguiente que muestra que $-1 = 1$ :

{\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1.\end{aligned}}

La tercera igualdad no puede justificarse (ver prueba no válida ). ^[28]^{: Capítulo VI, Sección I, Subsección 2 La falacia de que +1 = -1} Se puede hacer que se cumpla cambiando el significado de √ para que ya no represente la raíz cuadrada principal (ver arriba) sino que seleccione una rama para la raíz cuadrada que contiene El lado izquierdo se convierte en ${\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.$

{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1

+ i

{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1

- i

{\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,

\sqrt

{\sqrt {1}}=-1,

N -ésimas raíces y raíces polinómicas

La definición de raíz cuadrada de como un número tal se ha generalizado de la siguiente manera. $x$ $y$ $y^{2}=x$

Una raíz cúbica de es un número tal que ; se denota $x$ $y$ $y^{3}=x$ ${\sqrt[{3}]{x}}.$

Si $n$ es un número entero mayor que dos, una raíz enésima de es un número tal que ; se denota $x$ $y$ $y^{n}=x$ ${\sqrt[{n}]{x}}.$

Dado cualquier polinomio $p$ , una raíz de $p$ es un número $y$ tal que $p (y) = 0$ . Por ejemplo, las raíces $enésimas$ de $x$ son las raíces del polinomio (en $y$ ) $y^{n}-x.$

El teorema de Abel-Ruffini establece que, en general, las raíces de un polinomio de grado cinco o superior no se pueden expresar en términos de $n$ -ésimas raíces.

Raíces cuadradas de matrices y operadores.

Si A es una matriz u operador definido positivo , entonces existe precisamente una matriz u operador definido positivo B con $B 2 = A$ ; luego definimos $A 1/2 = B$ . En general, las matrices pueden tener múltiples raíces cuadradas o incluso una infinidad de ellas. Por ejemplo, la matriz identidad 2 × 2 tiene una infinidad de raíces cuadradas, ^[29] aunque sólo una de ellas es definida positiva.

En dominios integrales, incluidos los campos.

Cada elemento de un dominio integral no tiene más de 2 raíces cuadradas. La diferencia de dos cuadrados de identidad $u 2 - v 2 = (u - v)(u + v)$ se demuestra usando la conmutatividad de la multiplicación . Si $u$ y $v$ son raíces cuadradas del mismo elemento, entonces $u 2 - v 2 = 0$ . Como no hay divisores de cero , esto implica $u = v$ o $u + v = 0$ , donde este último significa que dos raíces son inversas aditivas entre sí. En otras palabras, si un elemento tiene una raíz cuadrada $u$ de un elemento $a$ , entonces las únicas raíces cuadradas de $a$ son $u$ y $-u$ . La única raíz cuadrada de 0 en un dominio integral es el propio 0.

En un campo de característica 2, un elemento tiene una raíz cuadrada o no tiene ninguna, porque cada elemento es su propio inverso aditivo, de modo que $- u = u$ . Si el campo es finito de característica 2, entonces cada elemento tiene una raíz cuadrada única. En un campo de cualquier otra característica, cualquier elemento distinto de cero tiene dos raíces cuadradas, como se explicó anteriormente, o no tiene ninguna.

Dado un número primo impar $p$ , sea $q = p e$ para algún entero positivo $e$ . Un elemento distinto de cero del campo $F q$ con $q$ elementos es un residuo cuadrático si tiene una raíz cuadrada en $F q$ . De lo contrario, es un no residuo cuadrático. Hay $(q - 1)/2$ residuos cuadráticos y $(q - 1)/2$ no residuos cuadráticos; el cero no se cuenta en ninguna de las clases. Los residuos cuadráticos forman un grupo bajo la multiplicación. Las propiedades de los residuos cuadráticos se utilizan ampliamente en teoría de números .

En anillos en general

A diferencia de un dominio integral, una raíz cuadrada en un anillo arbitrario (unital) no necesita ser única hasta el signo. Por ejemplo, en el anillo de números enteros módulo 8 (que es conmutativo, pero tiene divisores cero), el elemento 1 tiene cuatro raíces cuadradas distintas: ±1 y ±3. $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$

Otro ejemplo lo proporciona el anillo de cuaterniones que no tiene divisores de cero, pero no es conmutativo. Aquí, el elemento −1 tiene infinitas raíces cuadradas , incluidas $\pm$ $i$ , $\pm$ $j$ y $\pm$ $k$ . De hecho, el conjunto de raíces cuadradas de $-1$ es exactamente $\mathbb {H} ,$

\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.

Una raíz cuadrada de 0 es 0 o un divisor de cero. Por lo tanto, en los anillos donde no existen divisores de cero, es únicamente 0. Sin embargo, los anillos con divisores de cero pueden tener múltiples raíces cuadradas de 0. Por ejemplo, en cualquier múltiplo de $n$ hay una raíz cuadrada de 0. $\mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,$

Construcción geométrica de la raíz cuadrada.

Construyendo la longitud , dada la y la longitud unitaria $x={\sqrt {a}}$ $a$

La raíz cuadrada de un número positivo generalmente se define como la longitud del lado de un cuadrado con un área igual al número dado. Pero la forma cuadrada no es necesaria para ello: si uno de dos objetos euclidianos planos similares tiene un área varias veces mayor que el otro, entonces la relación entre sus tamaños lineales es . ${\sqrt {a}}$

Se puede construir una raíz cuadrada con un compás y una regla. En sus Elementos , Euclides ( fl. 300 a. C.) dio la construcción de la media geométrica de dos cantidades en dos lugares diferentes: la Proposición II.14 y la Proposición VI.13. Dado que la media geométrica de a y b es , se puede construir simplemente tomando $b$ $= 1$ . ${\sqrt {ab}}$ ${\sqrt {a}}$

La construcción también la da Descartes en su La Géométrie , véase la figura 2 en la página 2. Sin embargo, Descartes no pretendió ser original y su audiencia habría estado bastante familiarizada con Euclides.

La segunda prueba de Euclides en el Libro VI depende de la teoría de los triángulos semejantes . Sea AHB un segmento de recta de longitud $a + b$ con $AH = a$ y $HB = b$ . Construya el círculo con AB como diámetro y sea C una de las dos intersecciones de la cuerda perpendicular en H con el círculo y denote la longitud CH como h . Luego, usando el teorema de Tales y, como en la demostración del teorema de Pitágoras mediante triángulos semejantes , el triángulo AHC es similar al triángulo CHB (como de hecho ambos lo son al triángulo ACB, aunque no lo necesitamos, pero es la esencia de la prueba del teorema de Pitágoras) de modo que AH:CH es como HC:HB, es decir $a / h = h / b$ , de lo cual concluimos por multiplicación cruzada que $h 2 = ab$ , y finalmente que . Al marcar el punto medio O del segmento AB y trazar el radio OC de longitud $($ $a$ $+$ $b$ $)/2$ , entonces claramente OC > CH, es decir (con igualdad si y sólo si $a$ $=$ $b$ ), que es la ecuación aritmético-geométrica significa desigualdad para dos variables y, como se señaló anteriormente, es la base de la comprensión griega antigua del "método de Heron". $h={\sqrt {ab}}$ ${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$

Otro método de construcción geométrica utiliza triángulos rectángulos e inducción : se puede construir, y una vez construido , el triángulo rectángulo con catetos 1 y hipotenusa de . Al construir raíces cuadradas sucesivas de esta manera se obtiene la espiral de Teodoro que se muestra arriba. ${\sqrt {1}}$ ${\sqrt {x}}$ ${\sqrt {x}}$ ${\sqrt {x+1}}$

Ver también

Notas

^ Gel'fand, pag. 120 Archivado el 2 de septiembre de 2016 en la Wayback Machine.
^ "Cuadrados y raíces cuadradas". www.mathsisfun.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
^ Zill, Dennis G.; Shanahan, Patricio (2008). Un primer curso de análisis complejo con aplicaciones (2ª ed.). Aprendizaje de Jones y Bartlett. pag. 78.ISBN _ 978-0-7637-5772-4. Archivado desde el original el 1 de septiembre de 2016.Extracto de la página 78 Archivado el 1 de septiembre de 2016 en Wayback Machine.
^ Weisstein, Eric W. "Raíz cuadrada". mathworld.wolfram.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
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Referencias

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