Clase característica

Asociación de clases de cohomología a paquetes principales.

En matemáticas , una clase característica es una forma de asociar a cada paquete principal de X una clase de cohomología de X. La clase de cohomología mide en qué medida el paquete está "torcido" y si posee secciones . Las clases de características son invariantes globales que miden la desviación de una estructura de producto local de una estructura de producto global. Son uno de los conceptos geométricos unificadores en topología algebraica , geometría diferencial y geometría algebraica .

La noción de clase característica surgió en 1935 en el trabajo de Eduard Stiefel y Hassler Whitney sobre campos vectoriales en variedades.

Definición

Sea G un grupo topológico y, para un espacio topológico , escriba para el conjunto de clases de isomorfismo de los paquetes G principales . Este es un functor contravariante de Top (la categoría de espacios topológicos y funciones continuas ) a Set (la categoría de conjuntos y funciones ), que envía un mapa a la operación de retroceso . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{G}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{G}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}\colon b_{G}(Y)\to b_{G}(X)}$

Una clase característica c de paquetes G principales es entonces una transformación natural de un functor de cohomología , considerado también como un funtor de Set . ${\displaystyle b_{G}}$ ${\displaystyle H^{*}}$

En otras palabras, una clase característica se asocia a cada paquete G principal en un elemento c ( P ) en H *( X ) tal que, si f  : Y → X es un mapa continuo, entonces c ( f * P ) = f * c ( P ). A la izquierda está la clase del retroceso de P a Y ; a la derecha está la imagen de la clase de P bajo el mapa inducido en cohomología. ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle b_{G}(X)}$

Números característicos

Las clases características son elementos de grupos de cohomología; ^[1] se pueden obtener números enteros de clases características, llamados números característicos . Algunos ejemplos importantes de números característicos son los números de Stiefel-Whitney , los números de Chern , los números de Pontryagin y la característica de Euler .

Dada una variedad orientada M de dimensión n con clase fundamental y un paquete G con clases características , se puede emparejar un producto de clases características de grado total n con la clase fundamental. El número de números característicos distintos es el número de monomios de grado n en las clases de características, o de manera equivalente, las particiones de n en . ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$ ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle {\mbox{deg}}\,c_{i}}$

Formalmente, dado que , el número de característica correspondiente es: ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{l}}$ ${\displaystyle \sum {\mbox{deg}}\,c_{i_{j}}=n}$

${\displaystyle c_{i_{1}}\smile c_{i_{2}}\smile \dots \smile c_{i_{l}}([M])}$

donde denota el producto de taza de las clases de cohomología. Estos se anotan de diversas formas como producto de clases de características, como , o mediante alguna notación alternativa, como para el número de Pontryagin correspondiente a , o para la característica de Euler. ${\displaystyle \smile }$ ${\displaystyle c_{1}^{2}}$ ${\displaystyle P_{1,1}}$ ${\displaystyle p_{1}^{2}}$ ${\displaystyle \chi }$

Desde el punto de vista de la cohomología de De Rham , se pueden tomar formas diferenciales que representen las clases características, ^[2] tomar un producto de cuña para obtener una forma dimensional superior y luego integrar sobre la variedad; esto es análogo a tomar el producto en cohomología y emparejarlo con la clase fundamental.

Esto también funciona para variedades no orientables, que tienen una orientación, en cuyo caso se obtienen números característicos con valores, como los números de Stiefel-Whitney. ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Los números característicos resuelven las cuestiones del bordismo orientado y no orientado : dos variedades son (respectivamente orientadas o no orientadas) cobordantes si y sólo si sus números característicos son iguales.

Motivación

Las clases características son fenómenos de la teoría de la cohomología de manera esencial: son construcciones contravariantes , del mismo modo que una sección es una especie de función en un espacio, y para llevar a una contradicción a partir de la existencia de una sección necesitamos esa varianza. De hecho, la teoría de la cohomología surgió después de la teoría de la homología y la homotopía , ambas teorías covariantes basadas en el mapeo en un espacio; y la teoría de clases característica en su infancia en la década de 1930 (como parte de la teoría de la obstrucción ) fue una de las principales razones por las que se buscó una teoría "dual" de la homología. El enfoque de clase característico de las invariantes de curvatura fue una razón particular para hacer una teoría, para demostrar un teorema general de Gauss-Bonnet .

Cuando la teoría se organizó sobre una base alrededor de 1950 (con las definiciones reducidas a la teoría de la homotopía), quedó claro que las clases características más fundamentales conocidas en ese momento (la clase Stiefel-Whitney , la clase Chern y las clases Pontryagin ) eran Reflexiones de los grupos lineales clásicos y su estructura de toro máximo . Es más, la clase de Chern en sí no era tan nueva, ya que se reflejó en el cálculo de Schubert sobre los Grassmannianos y en el trabajo de la escuela italiana de geometría algebraica . Por otro lado, ahora existía un marco que producía familias de clases, siempre que había un paquete de vectores involucrado.

El mecanismo principal entonces parecía ser este: dado un espacio X que lleva un paquete de vectores, eso implicaba en la categoría de homotopía un mapeo de X a un espacio de clasificación BG , para el grupo lineal relevante G. Para la teoría de la homotopía , la información relevante la transportan subgrupos compactos como los grupos ortogonales y los grupos unitarios de G. Una vez calculada la cohomología , de una vez por todas, la propiedad de contravarianza de la cohomología significaba que las clases características del paquete se definirían en las mismas dimensiones. Por ejemplo, la clase Chern es en realidad una clase con componentes graduados en cada dimensión par. ${\displaystyle H^{*}(BG)}$ ${\displaystyle H^{*}(X)}$

Ésta sigue siendo la explicación clásica, aunque en una teoría geométrica determinada es rentable tener en cuenta una estructura adicional. Cuando la cohomología se volvió "extraordinaria" con la llegada de la teoría K y la teoría del cobordismo a partir de 1955, en realidad sólo fue necesario cambiar la letra H en todas partes para decir cuáles eran las clases características.

Posteriormente se encontraron clases características para foliaciones de variedades ; tienen (en un sentido modificado, para foliaciones con algunas singularidades permitidas) una teoría espacial clasificatoria en la teoría de la homotopía .

En trabajos posteriores, tras el acercamiento de las matemáticas y la física , Simon Donaldson y Dieter Kotschick encontraron nuevas clases características en la teoría de Instanton . El trabajo y el punto de vista de Chern también han resultado importantes: véase la teoría de Chern-Simons .

Estabilidad

En el lenguaje de la teoría de la homotopía estable , la clase de Chern , la clase de Stiefel-Whitney y la clase de Pontryagin son estables , mientras que la clase de Euler es inestable .

Concretamente, una clase estable es aquella que no cambia cuando se agrega un paquete trivial: . De manera más abstracta, significa que la clase de cohomología en el espacio de clasificación se retira de la clase de cohomología bajo la inclusión (que corresponde a la inclusión y similares). De manera equivalente, todas las clases de características finitas se retiran de una clase estable en . ${\displaystyle c(V\oplus 1)=c(V)}$ ${\displaystyle BG(n)}$ ${\displaystyle BG(n+1)}$ ${\displaystyle BG(n)\to BG(n+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle BG}$

Este no es el caso de la clase de Euler, como se detalla allí, sobre todo porque la clase de Euler de un paquete de k dimensiones vive en (por lo tanto se retira de , por lo que no puede retirarse de una clase en , ya que las dimensiones difieren . ${\displaystyle H^{k}(X)}$ ${\displaystyle H^{k}(BO(k))}$ ${\displaystyle H^{k+1}}$

Ver también

• clase segre
• característica de euler
• clase negra

Notas

1. Informalmente, las clases características "viven" en la cohomología.
2. Según la teoría de Chern-Weil , estos son polinomios en la curvatura; Según la teoría de Hodge , se puede tomar forma armónica.

Referencias

• Chern, Shiing-Shen (1995). Variedades complejas sin teoría potencial . Prensa Springer-Verlag. ISBN 0-387-90422-0. ISBN  3-540-90422-0 .

  El apéndice de este libro: "Geometría de clases características" es una introducción muy clara y profunda al desarrollo de las ideas de clases características.

• Hatcher, Allen , paquetes vectoriales y teoría K
• Husemoller, Dale (1966). Haces de fibras (3.ª edición, Springer 1993 ed.). McGraw-Hill. ISBN 0387940871.
• Milnor, John W .; Stasheff, Jim (1974). Clases características . Anales de estudios de matemáticas. vol. 76. Princeton University Press , Princeton, Nueva Jersey; Prensa de la Universidad de Tokio , Tokio. ISBN 0-691-08122-0.