Clase Stiefel-Whitney

Conjunto de invariantes topológicas

En matemáticas , en particular en topología algebraica y geometría diferencial , las clases de Stiefel-Whitney son un conjunto de invariantes topológicos de un paquete de vectores real que describen las obstrucciones para construir en todas partes conjuntos independientes de secciones del paquete de vectores. Las clases de Stiefel-Whitney están indexadas de 0 a n , donde n es el rango del paquete de vectores. Si la clase de índice i de Stiefel-Whitney es distinta de cero, entonces no pueden existir en todas partes secciones linealmente independientes del paquete de vectores. Una clase de Stiefel-Whitney distinta de cero indica que cada sección del paquete debe desaparecer en algún momento. Una primera clase de Stiefel-Whitney distinta de cero indica que el paquete de vectores no es orientable . Por ejemplo, la primera clase de Stiefel-Whitney de la franja de Möbius , como un paquete de líneas sobre el círculo, no es cero, mientras que la primera clase de Stiefel-Whitney del paquete de líneas trivial sobre el círculo, es cero. ${\displaystyle (n-i+1)}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

La clase Stiefel-Whitney recibió su nombre de Eduard Stiefel y Hassler Whitney y es un ejemplo de una clase característica asociada a paquetes de vectores reales. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

En geometría algebraica también se pueden definir clases análogas de Stiefel-Whitney para paquetes de vectores con una forma cuadrática no degenerada, tomando valores en grupos de cohomología etale o en la teoría K de Milnor . Como caso especial, se pueden definir clases de Stiefel-Whitney para formas cuadráticas sobre campos, siendo los dos primeros casos el discriminante y el invariante de Hasse-Witt (Milnor 1970).

Introducción

Presentación general

Para un paquete de vectores real E , la clase Stiefel-Whitney de E se denota por w ( E ) . Es un elemento del anillo de cohomología.

${\displaystyle H^{\ast }(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

donde X es el espacio base del paquete E , y ( a menudo denotado alternativamente por ) es el anillo conmutativo cuyos únicos elementos son 0 y 1. El componente de in se denota por y se denomina i -ésima clase Stiefel-Whitney de E. De este modo, ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle w(E)}$ ${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle w_{i}(E)}$

${\displaystyle w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\cdots }$,

donde cada uno es un elemento de . ${\displaystyle w_{i}(E)}$ ${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

La clase Stiefel-Whitney es una invariante del paquete de vectores reales E ; es decir, cuando F es otro paquete de vectores reales que tiene el mismo espacio base X que E , y si F es isomorfo a E , entonces las clases de Stiefel-Whitney y son iguales. (Aquí isomorfo significa que existe un isomorfismo de paquete de vectores que cubre la identidad ). Si bien en general es difícil decidir si dos paquetes de vectores reales E y F son isomorfos, las clases de Stiefel-Whitney y a menudo se pueden calcular fácilmente. Si son diferentes, se sabe que E y F no son isomorfos. ${\displaystyle w(E)}$ ${\displaystyle w(E)}$ ${\displaystyle w(F)}$ ${\displaystyle E\to F}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}\colon X\to X}$ ${\displaystyle w(E)}$ ${\displaystyle w(F)}$

Como ejemplo, sobre el círculo , hay un paquete de líneas (es decir, un paquete de vectores real de rango 1) que no es isomorfo a un paquete trivial . Este haz de líneas L es la tira de Möbius (que es un haz de fibras cuyas fibras pueden equiparse con estructuras de espacio vectorial de tal manera que se convierta en un haz de vectores). El grupo de cohomología tiene solo un elemento distinto de 0. Este elemento es la primera clase Stiefel- Whitney de L. Dado que el paquete de líneas trivial tiene una primera clase 0 de Stiefel-Whitney, no es isomorfo a L. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle w_{1}(L)}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Dos paquetes de vectores reales E y F que tienen la misma clase Stiefel-Whitney no son necesariamente isomorfos. Esto sucede, por ejemplo , cuando E y F son paquetes de vectores reales triviales de diferentes rangos en el mismo espacio base X. También puede suceder cuando E y F tienen el mismo rango: el paquete tangente de las 2 esferas y el paquete de vectores reales triviales de rango 2 tienen la misma clase Stiefel-Whitney, pero no son isomorfos. Pero si dos paquetes de líneas reales sobre X tienen la misma clase de Stiefel-Whitney, entonces son isomórficos. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Orígenes

Las clases Stiefel-Whitney reciben su nombre porque Eduard Stiefel y Hassler Whitney las descubrieron como reducciones mod-2 de las clases de obstrucción para construir en todas partes secciones linealmente independientes del paquete de vectores E restringido al i -esqueleto de X. Aquí n denota la dimensión de la fibra del haz de vectores . ${\displaystyle w_{i}(E)}$ ${\displaystyle n-i+1}$ ${\displaystyle F\to E\to X}$

Para ser precisos, siempre que X sea un complejo CW , Whitney definió clases en el i -ésimo grupo de cohomología celular de X con coeficientes retorcidos. El sistema de coeficientes es el grupo de homotopía -st de la variedad Stiefel de vectores linealmente independientes en las fibras de E. Whitney demostró que si y sólo si E , cuando se restringe al i -esqueleto de X , tiene secciones linealmente independientes. ${\displaystyle W_{i}(E)}$ ${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle V_{n-i+1}(F)}$ ${\displaystyle n-i+1}$ ${\displaystyle W_{i}(E)=0}$ ${\displaystyle n-i+1}$

Dado que es infinito- cíclico o isomorfo a , existe una reducción canónica de las clases a clases que son las clases de Stiefel-Whitney. Además, siempre que , las dos clases son idénticas. Por tanto, si y sólo si el paquete es orientable . ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle W_{i}(E)}$ ${\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle w_{1}(E)=0}$ ${\displaystyle E\to X}$

La clase no contiene información porque es igual a 1 por definición. Su creación por parte de Whitney fue un acto de notación creativa, que permitió que la fórmula de la suma de Whitney fuera cierta. ${\displaystyle w_{0}(E)}$ ${\displaystyle w(E_{1}\oplus E_{2})=w(E_{1})w(E_{2})}$

Definiciones

En todo momento, denota cohomología singular de un espacio X con coeficientes en el grupo G. La palabra mapa significa siempre una función continua entre espacios topológicos . ${\displaystyle H^{i}(X;G)}$

Definición axiomática

La clase característica de Stiefel-Whitney de un paquete de vectores reales de rango finito E en un espacio base paracompacto X se define como la clase única tal que se cumplen los siguientes axiomas: ${\displaystyle w(E)\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

1. Normalización: la clase de Whitney del paquete de líneas tautológicas sobre el espacio proyectivo real no es trivial, es decir ,. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[a]/(a^{2})}$
2. Rango: y para i por encima del rango de E , es decir, ${\displaystyle w_{0}(E)=1\in H^{0}(X),}$ ${\displaystyle w_{i}=0\in H^{i}(X)}$ ${\displaystyle w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).}$
3. Fórmula del producto de Whitney: , es decir, la clase de Whitney de una suma directa es el producto de taza de las clases de sumandos. ${\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smile w(F)}$
4. Naturalidad: para cualquier paquete y mapa de vectores reales , donde denota el paquete de vectores de retroceso . ${\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle f\colon X'\to X}$ ${\displaystyle f^{*}E}$

La unicidad de estas clases se demuestra, por ejemplo, en los artículos 17.2 – 17.6 de Husemoller o en el artículo 8 de Milnor y Stasheff. Hay varias pruebas de la existencia, provenientes de diversas construcciones, con varios sabores diferentes, su coherencia está asegurada por la afirmación de unicidad.

Definición a través de infinitos Grassmannianos

Los infinitos Grassmannianos y los haces vectoriales

Esta sección describe una construcción utilizando la noción de clasificación del espacio .

Para cualquier espacio vectorial V , denotemos el Grassmanniano , el espacio de subespacios lineales n -dimensionales de V , y denotemos el Grassmanniano infinito ${\displaystyle Gr_{n}(V)}$

${\displaystyle Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$.

Recordemos que está dotado del haz tautológico de un haz vectorial de rango n que puede definirse como el subhaz del haz trivial de fibras V cuya fibra en un punto es el subespacio representado por W. ${\displaystyle \gamma ^{n}\to Gr_{n},}$ ${\displaystyle W\in Gr_{n}(V)}$

Sea , una función continua del infinito Grassmanniano. Entonces, hasta el isomorfismo, el paquete inducido por el mapa f en X ${\displaystyle f\colon X\to Gr_{n}}$

${\displaystyle f^{*}\gamma ^{n}\in \mathrm {Vect} _{n}(X)}$

Depende sólo de la clase de homotopía del mapa [ f ]. La operación de retroceso da así un morfismo del conjunto

${\displaystyle [X;Gr_{n}]}$

de equivalencia de homotopía de módulo de mapas , al conjunto ${\displaystyle X\to Gr_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Vect} _{n}(X)}$

de clases de isomorfismo de paquetes de vectores de rango n sobre X .

(El hecho importante en esta construcción es que si X es un espacio paracompacto , este mapa es una biyección . Esta es la razón por la que llamamos Grassmannianos infinitos a los espacios de clasificación de haces vectoriales).

Ahora, según el axioma de naturalidad (4) anterior ,. Por tanto, en principio basta con conocer los valores de para todo j . Sin embargo, el anillo de cohomología está libre en generadores específicos que surgen de una descomposición celular estándar, y luego resulta que estos generadores, de hecho, están dados por . Por lo tanto, para cualquier paquete de rango n, donde f es el mapa de clasificación apropiado. Esto en particular proporciona una prueba de la existencia de las clases Stiefel-Whitney. ${\displaystyle w_{j}(f^{*}\gamma ^{n})=f^{*}w_{j}(\gamma ^{n})}$ ${\displaystyle w_{j}(\gamma ^{n})}$ ${\displaystyle H^{*}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle x_{j}\in H^{j}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle x_{j}=w_{j}(\gamma ^{n})}$ ${\displaystyle w_{j}=f^{*}x_{j}}$

El caso de los paquetes de líneas

Ahora restringimos la construcción anterior a haces de líneas, es decir, consideramos el espacio de haces de líneas sobre X. El Grassmanniano de líneas es simplemente el espacio proyectivo infinito ${\displaystyle \mathrm {Vect} _{1}(X)}$ ${\displaystyle Gr_{1}}$

${\displaystyle \mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},}$

que está doblemente cubierta por la esfera infinita por puntos antípodas . Esta esfera es contráctil , por lo que tenemos ${\displaystyle S^{\infty }}$ ${\displaystyle S^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}}$

Por tanto P ^∞ ( R ) es el espacio de Eilenberg-Maclane . ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,1)}$

Es una propiedad de los espacios de Eilenberg-Maclane, que

${\displaystyle \left[X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )\right]=H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

para cualquier X , con el isomorfismo dado por f → f* η, donde η es el generador

${\displaystyle H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Aplicando la observación anterior de que α : [ X , Gr ₁ ] → Vect ₁ ( X ) también es una biyección, obtenemos una biyección

${\displaystyle w_{1}\colon {\text{Vect}}_{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$

esto define la clase Stiefel-Whitney w ₁ para paquetes de líneas.

El grupo de paquetes de líneas.

Si Vect ₁ ( X ) se considera como un grupo bajo la operación del producto tensor, entonces la clase Stiefel-Whitney, w ₁  : Vect ₁ ( X ) → H ¹ ( X ; Z /2 Z ), es un isomorfismo. Es decir, w ₁ (λ ⊗ μ) = w ₁ (λ) + w ₁ (μ) para todos los paquetes de líneas λ, μ → X.

Por ejemplo, dado que H ¹ ( S ¹ ; Z /2 Z ) = Z /2 Z , sólo hay dos haces de líneas sobre el círculo hasta el isomorfismo del haz: el trivial y la franja de Möbius abierta (es decir, la franja de Möbius con su límite eliminado).

La misma construcción para haces de vectores complejos muestra que la clase Chern define una biyección entre haces de líneas complejas sobre X y H ² ( X ; Z ), porque el espacio de clasificación correspondiente es P ^∞ ( C ), a K ( Z , 2). Este isomorfismo es cierto para los haces de líneas topológicas; la obstrucción a la inyectividad de la clase Chern para los haces de vectores algebraicos es la variedad jacobiana .

Propiedades

Interpretación topológica de la desaparición.

1. w _i ( E ) = 0 siempre que i > rango ( E ).
2. Si E ^k tiene secciones que son linealmente independientes en todas partes , entonces las clases de Whitney de grado superior desaparecen: . ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0}$
3. La primera clase de Stiefel-Whitney es cero si y sólo si el paquete es orientable . En particular, una variedad M es orientable si y sólo si w ₁ ( TM ) = 0.
4. El paquete admite una estructura de espín si y sólo si tanto la primera como la segunda clase de Stiefel-Whitney son cero.
5. Para un paquete orientable, la segunda clase de Stiefel-Whitney está en la imagen del mapa natural H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (de manera equivalente, la llamada tercera clase integral de Stiefel-Whitney es cero) si y sólo si el paquete admite una estructura de espín ^c .
6. Todos los números de Stiefel-Whitney (ver más abajo) de una variedad compacta suave X desaparecen si y solo si la variedad es el límite de alguna variedad compacta suave (no orientada) (Advertencia: algunas clases de Stiefel-Whitney aún podrían ser distintas de cero, incluso ¡Si todos los números de Stiefel Whitney desaparecieran!)

Singularidad de las clases Stiefel-Whitney

La biyección anterior para paquetes de líneas implica que cualquier funtor θ que satisfaga los cuatro axiomas anteriores es igual a w , según el siguiente argumento. El segundo axioma produce θ(γ ¹ ) = 1 + θ ₁ (γ ¹ ). Para el mapa de inclusión i  : P ¹ ( R ) → P ^∞ ( R ), el paquete de retroceso es igual a . Así, el primer y tercer axioma implican ${\displaystyle i^{*}\gamma ^{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}^{1}}$

${\displaystyle i^{*}\theta _{1}\left(\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=i^{*}w_{1}\left(\gamma ^{1}\right).}$

Desde el mapa

${\displaystyle i^{*}:H^{1}\left(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} \right);\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \right)}$

es un isomorfismo, y θ(γ ¹ ) = w (γ ¹ ) sigue. Sea E un paquete de vectores reales de rango n en un espacio X. Entonces E admite una función de división , es decir, una aplicación f  : X′ → X para algún espacio X′ tal que sea inyectivo y para algunos paquetes de líneas . Cualquier paquete de líneas sobre X tiene la forma de algún mapa g , y ${\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})}$ ${\displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}\to X'}$ ${\displaystyle g^{*}\gamma ^{1}}$

${\displaystyle \theta \left(g^{*}\gamma ^{1}\right)=g^{*}\theta \left(\gamma ^{1}\right)=g^{*}w\left(\gamma ^{1}\right)=w\left(g^{*}\gamma ^{1}\right),}$

por naturalidad. Por tanto θ = w en . Del cuarto axioma anterior se deduce que ${\displaystyle {\text{Vect}}_{1}(X)}$

${\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E).}$

Como es inyectivo, θ = w . Por tanto, la clase de Stiefel-Whitney es el funtor único que satisface los cuatro axiomas anteriores. ${\displaystyle f^{*}}$

Paquetes no isomorfos con las mismas clases de Stiefel-Whitney

Aunque el mapa es una biyección, el mapa correspondiente no es necesariamente inyectivo en dimensiones superiores. Por ejemplo, considere el paquete tangente para n par. Con la incorporación canónica de in , el paquete normal es un paquete de líneas. Como es orientable, es trivial. La suma es sólo la restricción de to , que es trivial ya que es contráctil. Por lo tanto w ( TS ⁿ ) = w ( TS ⁿ ) w (ν) = w( TS ⁿ ⊕ ν) = 1. Pero, siempre que n sea par, TS ⁿ → S ⁿ no es trivial; su clase de Euler , donde [ S ⁿ ] denota una clase fundamental de S ⁿ y χ la característica de Euler . ${\displaystyle w_{1}\colon \mathrm {Vect} _{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle TS^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle TS^{n}\oplus \nu }$ ${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S^{n}]=2[S^{n}]\not =0}$

Invariantes relacionados

Números de Stiefel-Whitney

Si trabajamos en una variedad de dimensión n , entonces cualquier producto de clases Stiefel-Whitney de grado total  n se puede emparejar con la clase fundamental Z /2 Z de la variedad para dar un elemento de Z /2 Z , una variedad Stiefel- Número de Whitney del paquete de vectores. Por ejemplo, si la variedad tiene dimensión 3, hay tres números de Stiefel-Whitney linealmente independientes, dados por . En general, si la variedad tiene dimensión n , el número de posibles números de Stiefel-Whitney independientes es el número de particiones de  n . ${\displaystyle w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}}$

Los números de Stiefel-Whitney del haz tangente de una variedad suave se denominan números de Stiefel-Whitney de la variedad. Se sabe que son invariantes de cobordismo . Lev Pontryagin demostró que si B es una variedad compacta suave ( n +1) –dimensional con límite igual a M , entonces los números de Stiefel-Whitney de M son todos cero. ^{[1] Además,} René Thom demostró que si todos los números de Stiefel-Whitney de M son cero, entonces M puede considerarse como el límite de alguna variedad compacta y suave. ^[2]

Un número de Stiefel-Whitney de importancia en la teoría de la cirugía es el invariante de De Rham de una variedad dimensional (4 k +1), ${\displaystyle w_{2}w_{4k-1}.}$

clases de wu

Las clases Stiefel-Whitney son los cuadrados de Steenrod de las clases Wu , definidas por Wu Wenjun en (Wu 1955) . De manera más simple, la clase Stiefel-Whitney total es el cuadrado de Steenrod total de la clase Wu total: . Las clases de Wu suelen definirse implícitamente en términos de cuadrados de Steenrod, como la clase de cohomología que representa los cuadrados de Steenrod. Sea la variedad X de dimensión n . Entonces, para cualquier clase de cohomología x de grado , ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle v_{k}}$ harv error: no target: CITEREFWu1955 (help) ${\displaystyle \operatorname {Sq} (v)=w}$ ${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle v_{k}\cup x=\operatorname {Sq} ^{k}(x)}$.

O más concretamente, podemos exigir , nuevamente para las clases de cohomología x de grado . ^[3] ${\displaystyle \langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle \operatorname {Sq} ^{k}(x),\mu \rangle }$ ${\displaystyle n-k}$

Clases integrales Stiefel-Whitney

El elemento se llama clase integral de Stiefel-Whitney i + 1 , donde β es el homomorfismo de Bockstein , correspondiente a la reducción módulo 2, Z → Z /2 Z : ${\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle \beta \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z} ).}$

Por ejemplo, la tercera clase integral de Stiefel-Whitney es la obstrucción de una estructura de Spin ^c .

Relaciones sobre el álgebra de Steenrod

Sobre el álgebra de Steenrod , las clases de Stiefel-Whitney de una variedad suave (definidas como las clases de Stiefel-Whitney del paquete tangente) son generadas por aquellas de la forma . En particular, las clases Stiefel-Whitney satisfacen los ${\displaystyle w_{2^{i}}}$Fórmula Wu , llamada así porWu Wenjun:^[4]

${\displaystyle Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.}$

Ver también

• Clase característica para un estudio general, en particular la clase Chern , el análogo directo para haces de vectores complejos
• Espacio proyectivo real

Referencias

1. Pontryagin, Lev S. (1947). "Ciclos característicos en variedades diferenciables". Estera. Sbornik . Nueva Serie (en ruso). 21 (63): 233–284.
2. Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases características . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 50–53. ISBN 0-691-08122-0.
3. Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases características . Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 131-133. ISBN 0-691-08122-0.
4. (mayo de 1999, pág.197)

• Dale Husemoller , Haces de fibras , Springer-Verlag, 1994.
• May, J. Peter (1999), Un curso conciso en topología algebraica (PDF) , Chicago: University of Chicago Press , consultado el 7 de agosto de 2009.
• Milnor, John Willard (1970), con un apéndice de J. Tate, "Teoría algebraica K y formas cuadráticas", Inventiones Mathematicae , 9 : 318–344, doi :10.1007/BF01425486, ISSN  0020-9910, MR  0260844, Zbl  0199.55501

enlaces externos

• Clase de Wu en el Manifold Atlas