Orientación de un haz vectorial

Generalización de una orientación de un espacio vectorial

En matemáticas, una orientación de un fibrado vectorial real es una generalización de una orientación de un espacio vectorial ; por lo tanto, dado un fibrado vectorial real π: E → B , una orientación de E significa: para cada fibra E _x , hay una orientación del espacio vectorial E _x y se exige que cada mapa de trivialización (que es un mapa de fibrado)

${\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {R} ^{n}}$

preserva la orientación de las fibras, donde R ⁿ tiene la orientación estándar . En términos más concisos, esto dice que el grupo estructural del fibrado de E , que es el grupo lineal general real GL _n ( R ), se puede reducir al subgrupo que consiste en aquellos con determinante positivo.

Si E es un fibrado vectorial real de rango n , entonces la elección de una métrica en E equivale a una reducción del grupo estructural al grupo ortogonal O ( n ). En esa situación, una orientación de E equivale a una reducción de O ( n ) al grupo ortogonal especial SO ( n ).

Un fibrado vectorial junto con una orientación se denomina fibrado orientado . Un fibrado vectorial al que se le puede dar una orientación se denomina fibrado vectorial orientable .

El invariante básico de un fibrado orientado es la clase de Euler . La multiplicación (es decir, el producto de copa) por la clase de Euler de un fibrado orientado da lugar a una sucesión de Gysin .

Ejemplos

Un haz vectorial complejo está orientado de manera canónica.

La noción de orientación de un fibrado vectorial generaliza la orientación de una variedad diferenciable : una orientación de una variedad diferenciable es una orientación de su fibrado tangente. En particular, una variedad diferenciable es orientable si y solo si su fibrado tangente es orientable como fibrado vectorial. (Nota: como variedad, un fibrado tangente siempre es orientable.)

Operaciones

Dar una orientación a un fibrado vectorial real E de rango n es dar una orientación al fibrado determinante (real) de E . De manera similar, dar una orientación a E es dar una orientación al fibrado esférico unitario de E . ${\displaystyle \operatorname {det} E=\wedge ^{n}E}$

Así como un fibrado vectorial real se clasifica por el Grassmanniano infinito real , los fibrados orientados se clasifican por el Grassmanniano infinito de los espacios vectoriales reales orientados.

Espacio Thom

Desde el punto de vista cohomológico, para cualquier anillo Λ, una Λ-orientación de un fibrado vectorial real E de rango n significa una elección (y existencia) de una clase

${\displaystyle u\in H^{n}(T(E);\Lambda )}$

en el anillo de cohomología del espacio de Thom T ( E ) tal que u se genera como un módulo libre global y localmente: es decir, ${\displaystyle {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda )}$ ${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$

${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )\to {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda ),x\mapsto x\smile u}$

es un isomorfismo (llamado isomorfismo de Thom ), donde "tilde" significa cohomología reducida , que se restringe a cada isomorfismo

${\displaystyle H^{*}(\pi ^{-1}(U);\Lambda )\to {\tilde {H}}^{*}(T(E|_{U});\Lambda )}$

inducida por la trivialización . Se puede demostrar, con algo de trabajo, ^{[ cita requerida ]} que la noción usual de orientación coincide con una orientación Z. ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\simeq U\times \mathbf {R} ^{n}}$

Véase también

• La integración a lo largo de la fibra
• Fibrado de orientación (o haz de orientación ): se utiliza para formular el isomorfismo de Thom para fibrados no orientados.

Referencias

• Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90613-4
• JP May, Un curso conciso de topología algebraica. University of Chicago Press, 1999.
• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Anales de estudios matemáticos, vol. 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9