Orientación de un paquete de vectores

Generalización de una orientación de un espacio vectorial.

En matemáticas, una orientación de un paquete de vectores real es una generalización de una orientación de un espacio vectorial ; así, dado un paquete de vectores real π: _{E → B , una orientación de E significa: para cada fibra Ex , hay una orientación del espacio vectorial Ex} y se exige que cada mapa de _{trivialización} ( que es un mapa de paquetes)

${\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {R} ^{n}}$

preserva la orientación de la fibra, donde a R ⁿ se le da la orientación estándar . En términos más concisos, esto dice que el grupo estructural del conjunto de marcos de E , que es el grupo lineal general real GL _n ( R ), se puede reducir al subgrupo que consta de aquellos con determinante positivo.

Si E es un paquete de vectores real de rango n , entonces una elección de métrica en E equivale a una reducción del grupo de estructuras al grupo ortogonal O ( n ). En esa situación, una orientación de E equivale a una reducción de O ( n ) al grupo ortogonal especial SO ( n ).

Un paquete de vectores junto con una orientación se llama paquete orientado . Un paquete de vectores al que se le puede dar una orientación se llama paquete de vectores orientable .

El invariante básico de un paquete orientado es la clase de Euler . La multiplicación (es decir, producto de taza) por la clase de Euler de un paquete orientado da lugar a una secuencia de Gysin .

Ejemplos

Un paquete de vectores complejo está orientado de forma canónica.

La noción de orientación de un conjunto de vectores generaliza una orientación de una variedad diferenciable : una orientación de una variedad diferenciable es una orientación de su conjunto tangente. En particular, una variedad diferenciable es orientable si y sólo si su paquete tangente es orientable como un paquete vectorial. (nota: como variedad, un paquete tangente siempre es orientable).

Operaciones

Dar una orientación a un paquete de vectores real E de rango n es dar una orientación al paquete determinante ( real ) de E. De manera similar, dar una orientación a E es dar una orientación al paquete de esferas unitarias de E. ${\displaystyle \operatorname {det} E=\wedge ^{n}E}$

Así como un paquete de vectores reales se clasifica según el Grassmanniano infinito real , los paquetes orientados se clasifican según el Grassmanniano infinito de espacios vectoriales reales orientados.

espacio de Thom

Desde el punto de vista cohomológico, para cualquier anillo Λ, una orientación Λ de un paquete de vectores real E de rango n significa una elección (y existencia) de una clase

${\displaystyle u\in H^{n}(T(E);\Lambda )}$

en el anillo de cohomología del espacio de Thom T ( E ) tal que u genera como un módulo libre global y localmente: es decir, ${\displaystyle {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda )}$ ${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$

${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )\to {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda ),x\mapsto x\smile u}$

es un isomorfismo (llamado isomorfismo de Thom ), donde "tilde" significa cohomología reducida , que se restringe a cada isomorfismo

${\displaystyle H^{*}(\pi ^{-1}(U);\Lambda )\to {\tilde {H}}^{*}(T(E|_{U});\Lambda )}$

inducida por la trivialización . Se puede demostrar, con algo de trabajo, ^{[ cita necesaria ]} que la noción habitual de orientación coincide con una orientación Z. ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\simeq U\times \mathbf {R} ^{n}}$

Ver también

• La integración a lo largo de la fibra.
• Haz de orientación (o haz de orientación ): se utiliza para formular el isomorfismo de Thom para haces no orientados.

Referencias

• Bott, Raúl ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90613-4
• JP May, Un curso conciso en topología algebraica. Prensa de la Universidad de Chicago, 1999.
• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Annals of Mathematics Studies, vol. 76, Prensa de la Universidad de Princeton; Prensa de la Universidad de Tokio, ISBN 978-0-691-08122-9