En matemáticas , el grupo lineal general de grado n es el conjunto de matrices invertibles n × n , junto con la operación de multiplicación de matrices ordinarias . Esto forma un grupo , porque el producto de dos matrices invertibles es a su vez invertible, y la inversa de una matriz invertible es invertible, con la matriz identidad como elemento identidad del grupo. El grupo se llama así porque las columnas (y también las filas) de una matriz invertible son linealmente independientes , por lo tanto, los vectores/puntos que definen están en posición lineal general , y las matrices en el grupo lineal general toman puntos en posición lineal general a puntos en posición lineal general.
Para ser más precisos, es necesario especificar qué tipo de objetos pueden aparecer en las entradas de la matriz. Por ejemplo, el grupo lineal general sobre R (el conjunto de los números reales ) es el grupo de matrices invertibles de números reales n × n , y se denota por GL n ( R ) o GL( n , R ) .
De manera más general, el grupo lineal general de grado n sobre cualquier cuerpo F (como los números complejos ), o un anillo R (como el anillo de los números enteros ), es el conjunto de matrices invertibles n × n con entradas de F (o R ), nuevamente con la multiplicación de matrices como operación de grupo. [1] La notación típica es GL n ( F ) o GL( n , F ) , o simplemente GL( n ) si se entiende el cuerpo.
De manera más general aún, el grupo lineal general de un espacio vectorial GL( V ) es el grupo de automorfismos , no necesariamente escrito como matrices.
El grupo lineal especial , escrito SL( n , F ) o SL n ( F ), es el subgrupo de GL( n , F ) que consiste en matrices con un determinante de 1.
El grupo GL( n , F ) y sus subgrupos se denominan a menudo grupos lineales o grupos matriciales (el grupo de automorfismos GL( V ) es un grupo lineal pero no un grupo matricial). Estos grupos son importantes en la teoría de representaciones de grupos , y también surgen en el estudio de simetrías espaciales y simetrías de espacios vectoriales en general, así como en el estudio de polinomios . El grupo modular puede realizarse como un cociente del grupo lineal especial SL(2, Z ) .
Si n ≥ 2 , entonces el grupo GL( n , F ) no es abeliano .
Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo F , el grupo lineal general de V , escrito GL( V ) o Aut( V ), es el grupo de todos los automorfismos de V , es decir, el conjunto de todas las transformaciones lineales biyectivas V → V , junto con la composición funcional como operación de grupo. Si V tiene dimensión finita n , entonces GL( V ) y GL( n , F ) son isomorfos . El isomorfismo no es canónico; depende de una elección de base en V . Dada una base ( e 1 , ..., e n ) de V y un automorfismo T en GL( V ), tenemos entonces para cada vector base e i que
para algunas constantes a ij en F ; la matriz correspondiente a T es entonces simplemente la matriz con entradas dadas por a ji .
De manera similar, para un anillo conmutativo R el grupo GL( n , R ) puede interpretarse como el grupo de automorfismos de un R -módulo libre M de rango n . También se puede definir GL( M ) para cualquier R -módulo, pero en general esto no es isomorfo a GL( n , R ) (para cualquier n ).
Sobre un cuerpo F , una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Por lo tanto, una definición alternativa de GL( n , F ) es como el grupo de matrices con determinante distinto de cero.
Sobre un anillo conmutativo R , se requiere más cuidado: una matriz sobre R es invertible si y sólo si su determinante es una unidad en R , es decir, si su determinante es invertible en R . Por lo tanto, GL( n , R ) puede definirse como el grupo de matrices cuyos determinantes son unidades.
En un anillo no conmutativo R , los determinantes no se comportan bien. En este caso, GL( n , R ) puede definirse como el grupo unidad del anillo de matrices M( n , R ) .
El grupo lineal general GL( n , R ) sobre el cuerpo de números reales es un grupo de Lie real de dimensión n 2 . Para ver esto, note que el conjunto de todas las matrices reales n × n , M n ( R ), forma un espacio vectorial real de dimensión n 2 . El subconjunto GL( n , R ) consiste en aquellas matrices cuyo determinante no es cero. El determinante es una función polinómica y, por lo tanto, GL( n , R ) es una subvariedad afín abierta de M n ( R ) (un subconjunto abierto no vacío de M n ( R ) en la topología de Zariski ), y por lo tanto [2] una variedad suave de la misma dimensión.
El álgebra de Lie de GL( n , R ) , denotada como consiste en todas las matrices reales n × n con el conmutador sirviendo como corchete de Lie.
Como variedad, GL( n , R ) no es conexa sino que tiene dos componentes conexos : las matrices con determinante positivo y las que tienen determinante negativo. El componente identidad , denotado por GL + ( n , R ) , consiste en las matrices reales n × n con determinante positivo. Este también es un grupo de Lie de dimensión n 2 ; tiene la misma álgebra de Lie que GL( n , R ) .
La descomposición polar , que es única para matrices invertibles, muestra que hay un homeomorfismo entre GL( n , R ) y el producto cartesiano de O( n ) con el conjunto de matrices simétricas definidas positivas. De manera similar, muestra que hay un homeomorfismo entre GL + ( n , R ) y el producto cartesiano de SO( n ) con el conjunto de matrices simétricas definidas positivas. Debido a que este último es contráctil, el grupo fundamental de GL + ( n , R ) es isomorfo al de SO( n ).
El homeomorfismo también muestra que el grupo GL( n , R ) no es compacto . “El” [3] subgrupo compacto maximal de GL( n , R ) es el grupo ortogonal O( n ), mientras que “el” subgrupo compacto maximal de GL + ( n , R ) es el grupo ortogonal especial SO( n ). En cuanto a SO( n ), el grupo GL + ( n , R ) no está simplemente conexo (excepto cuando n = 1) , sino que tiene un grupo fundamental isomorfo a Z para n = 2 o Z 2 para n > 2 .
El grupo lineal general sobre el cuerpo de números complejos , GL( n , C ) , es un grupo de Lie complejo de dimensión compleja n2 . Como grupo de Lie real (por realización) tiene dimensión 2n2 . El conjunto de todas las matrices reales forma un subgrupo de Lie real. Estos corresponden a las inclusiones
que tienen dimensiones reales n 2 , 2 n 2 y 4 n 2 = (2 n ) 2 . Las matrices n -dimensionales complejas se pueden caracterizar como matrices 2n-dimensionales reales que conservan una estructura compleja lineal —concretamente, que conmutan con una matriz J tal que J 2 = − I , donde J corresponde a multiplicar por la unidad imaginaria i .
El álgebra de Lie correspondiente a GL( n , C ) consta de todas las matrices complejas n × n con el conmutador sirviendo como corchete de Lie.
A diferencia del caso real, GL( n , C ) es conexo . Esto se deduce, en parte, de que el grupo multiplicativo de números complejos C ∗ es conexo. La variedad de grupos GL( n , C ) no es compacta; más bien, su subgrupo compacto máximo es el grupo unitario U( n ). En cuanto a U( n ), la variedad de grupos GL( n , C ) no es simplemente conexa sino que tiene un grupo fundamental isomorfo a Z .
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Si F es un cuerpo finito con q elementos, entonces a veces escribimos GL( n , q ) en lugar de GL( n , F ) . Cuando p es primo , GL( n , p ) es el grupo de automorfismos externo del grupo Zpn , y también el grupo de automorfismos , porque Zpn es abeliano, por lo que el grupo de automorfismos interno es trivial.
El orden de GL( n , q ) es:
Esto se puede demostrar contando las posibles columnas de la matriz: la primera columna puede ser cualquier cosa excepto el vector cero; la segunda columna puede ser cualquier cosa excepto los múltiplos de la primera columna; y en general, la k -ésima columna puede ser cualquier vector que no esté en el espacio lineal de las primeras k − 1 columnas. En notación q -análoga , esto es .
Por ejemplo, GL(3, 2) tiene orden (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168 . Es el grupo de automorfismos del plano de Fano y del grupo Z 2 3 . Este grupo también es isomorfo a PSL(2, 7) .
En términos más generales, se pueden contar los puntos de Grassmann sobre F : en otras palabras, el número de subespacios de una dimensión dada k . Esto requiere solamente encontrar el orden del subgrupo estabilizador de uno de esos subespacios y dividirlo en la fórmula que acabamos de dar, por el teorema del estabilizador de la órbita .
Estas fórmulas están relacionadas con la descomposición de Schubert del Grassmanniano y son análogos q de los números de Betti de los Grassmannianos complejos. Esta fue una de las pistas que condujeron a las conjeturas de Weil .
Nótese que en el límite q ↦ 1 el orden de GL( n , q ) tiende a 0! – pero bajo el procedimiento correcto (dividiendo por ( q − 1) n ) vemos que es el orden del grupo simétrico (Ver el artículo de Lorscheid) – en la filosofía del campo con un elemento , uno interpreta entonces el grupo simétrico como el grupo lineal general sobre el campo con un elemento: S n ≅ GL( n , 1) .
El grupo lineal general sobre un cuerpo primo, GL( ν , p ) , fue construido y su orden calculado por Évariste Galois en 1832, en su última carta (a Chevalier) y segundo (de tres) manuscritos adjuntos, que utilizó en el contexto del estudio del grupo de Galois de la ecuación general de orden p ν . [4]
El grupo lineal especial, SL( n , F ) , es el grupo de todas las matrices con determinante 1. Son especiales porque se encuentran en una subvariedad : satisfacen una ecuación polinómica (ya que el determinante es un polinomio en las entradas). Las matrices de este tipo forman un grupo ya que el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes de cada matriz. SL( n , F ) es un subgrupo normal de GL( n , F ) .
Si escribimos F × para el grupo multiplicativo de F (excluyendo 0), entonces el determinante es un homomorfismo de grupo.
que es sobreyectiva y su núcleo es el grupo lineal especial. Por lo tanto, por el primer teorema de isomorfismo , GL( n , F )/SL( n , F ) es isomorfo a F × . De hecho, GL( n , F ) se puede escribir como un producto semidirecto :
El grupo lineal especial es también el grupo derivado (también conocido como subgrupo conmutador) del GL( n , F ) (para un campo o un anillo de división F ) siempre que o k no sea el campo con dos elementos . [5]
Cuando F es R o C , SL( n , F ) es un subgrupo de Lie de GL( n , F ) de dimensión n 2 − 1 . El álgebra de Lie de SL( n , F ) consiste en todas las matrices n × n sobre F con traza nula . El corchete de Lie viene dado por el conmutador .
El grupo lineal especial SL( n , R ) puede caracterizarse como el grupo de transformaciones lineales que preservan el volumen y la orientación de R n .
El grupo SL( n , C ) es simplemente conexo, mientras que SL( n , R ) no lo es. SL( n , R ) tiene el mismo grupo fundamental que GL + ( n , R ) , es decir, Z para n = 2 y Z 2 para n > 2 .
El conjunto de todas las matrices diagonales invertibles forma un subgrupo de GL( n , F ) isomorfo a ( F × ) n . En cuerpos como R y C , estas corresponden a reescalamientos del espacio; las llamadas dilataciones y contracciones.
Una matriz escalar es una matriz diagonal que es una constante multiplicada por la matriz identidad . El conjunto de todas las matrices escalares distintas de cero forma un subgrupo de GL( n , F ) isomorfo a F × . Este grupo es el centro de GL( n , F ) . En particular, es un subgrupo abeliano normal.
El centro de SL( n , F ) es simplemente el conjunto de todas las matrices escalares con determinante unitario, y es isomorfo al grupo de raíces n ésimas de la unidad en el campo F .
Los llamados grupos clásicos son subgrupos de GL( V ) que conservan algún tipo de forma bilineal en un espacio vectorial V . Estos incluyen los
Estos grupos proporcionan ejemplos importantes de grupos de Lie.
El grupo lineal proyectivo PGL( n , F ) y el grupo lineal proyectivo especial PSL( n , F ) son los cocientes de GL( n , F ) y SL( n , F ) por sus centros (que consisten en los múltiplos de la matriz identidad en ellos); son la acción inducida sobre el espacio proyectivo asociado .
El grupo afín Aff( n , F ) es una extensión de GL( n , F ) por el grupo de traslaciones en F n . Puede escribirse como un producto semidirecto :
donde GL( n , F ) actúa sobre F n de manera natural. El grupo afín puede considerarse como el grupo de todas las transformaciones afines del espacio afín subyacente al espacio vectorial F n .
Se tienen construcciones análogas para otros subgrupos del grupo lineal general: por ejemplo, el grupo afín especial es el subgrupo definido por el producto semidirecto, SL( n , F ) ⋉ F n , y el grupo de Poincaré es el grupo afín asociado al grupo de Lorentz , O(1, 3, F ) ⋉ F n .
El grupo semilineal general ΓL( n , F ) es el grupo de todas las transformaciones semilineales invertibles y contiene GL. Una transformación semilineal es una transformación que es lineal “hasta un giro”, es decir, “hasta un automorfismo de cuerpo bajo multiplicación escalar”. Puede escribirse como un producto semidirecto:
donde Gal( F ) es el grupo de Galois de F (sobre su cuerpo primo ), que actúa sobre GL( n , F ) por la acción de Galois sobre las entradas.
El principal interés de ΓL( n , F ) es que el grupo semilineal proyectivo asociado PΓL( n , F ) (que contiene PGL( n , F )) es el grupo de colineación del espacio proyectivo , para n > 2 , y por lo tanto las aplicaciones semilineales son de interés en la geometría proyectiva .
El monoide lineal completo, que se obtiene al eliminar la restricción no nula del determinante, forma una estructura algebraica similar a un monoide, a menudo denominado monoide lineal completo o, en ocasiones, semigrupo lineal completo o monoide lineal general. Cabe destacar que constituye un semigrupo regular.
Si se elimina la restricción de que el determinante no sea cero, la estructura algebraica resultante es un monoide , usualmente llamado monoide lineal completo , [6] [7] [8] pero ocasionalmente también semigrupo lineal completo , [9] monoide lineal general [10] [11] etc. En realidad es un semigrupo regular . [7]
El grupo lineal general infinito o grupo lineal general estable es el límite directo de las inclusiones GL( n , F ) → GL( n + 1, F ) como la matriz de bloques superior izquierda . Se denota por GL( F ) o GL(∞, F ) , y también se puede interpretar como matrices infinitas invertibles que difieren de la matriz identidad solo en un número finito de lugares. [12]
Se utiliza en la K-teoría algebraica para definir K 1 , y sobre los números reales tiene una topología bien entendida, gracias a la periodicidad de Bott .
No debe confundirse con el espacio de operadores invertibles (acotados) en un espacio de Hilbert , que es un grupo más grande y topológicamente mucho más simple, es decir, contráctil – véase el teorema de Kuiper .
![{\displaystyle [n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d410356b7a8dbdf1d9ddf6ced60f2a4d4a9d980e)
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