Automorfismo interno

Automorfismo de un grupo, anillo o álgebra dado por la acción de conjugación de uno de sus elementos

En álgebra abstracta, un automorfismo interno es un automorfismo de un grupo , anillo o álgebra dado por la acción de conjugación de un elemento fijo, llamado elemento conjugante . Pueden realizarse mediante operaciones desde dentro del propio grupo, de ahí el adjetivo "interno". Estos automorfismos internos forman un subgrupo del grupo de automorfismos, y el cociente del grupo de automorfismos por este subgrupo se define como el grupo de automorfismos externos .

Definición

Si G es un grupo y g es un elemento de G (alternativamente, si G es un anillo y g es una unidad ), entonces la función

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aligned}}}$

se llama conjugación (derecha) por g (ver también clase de conjugación ). Esta función es un endomorfismo de G : para todo ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in G,}$

${\displaystyle \varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}\left(gg^{-1}\right)x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),}$

donde la segunda igualdad se da por la inserción de la identidad entre y Además, tiene una inversa izquierda y derecha , es decir Por lo tanto, es a la vez un monomorfismo y un epimorfismo , y por lo tanto un isomorfismo de G consigo mismo, es decir, un automorfismo. Un automorfismo interno es cualquier automorfismo que surge de la conjugación. ^[1] ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}.}$ ${\displaystyle \varphi _{g^{-1}}.}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$

Relación general entre varios homomorfismos.

Cuando se analiza la conjugación correcta, la expresión a menudo se denota exponencialmente por Esta notación se utiliza porque la composición de conjugaciones satisface la identidad: para todo Esto demuestra que la conjugación correcta da una acción correcta de G sobre sí misma. ${\displaystyle g^{-1}xg}$ ${\displaystyle x^{g}.}$ ${\displaystyle \left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G.}$

Un ejemplo común es el siguiente: ^{[2] [3]}

Relación de morfismos y elementos

Describe un homomorfismo para el cual la imagen, , es un subgrupo normal de automorfismos internos de un grupo ; alternativamente, describe un homomorfismo natural de cuyo núcleo de es el centro de (todos para los cuales conjugando por ellos se obtiene el automorfismo trivial), en otras palabras, . Siempre hay un homomorfismo natural , que asocia a cada automorfismo (interno) en . Dicho de manera idéntica, . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\text{Im}}(\Phi )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle {\text{Ker}}(\Phi )={\text{Z}}(G)}$ ${\displaystyle \Phi :G\to {\text{Aut}}(G)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$ ${\displaystyle \Phi :g\mapsto \varphi _{g}}$

Sea como se definió anteriormente. Esto requiere demostrar que (1) es un homomorfismo, (2) es también una biyección, (3) es un homomorfismo. ${\displaystyle \varphi _{g}(x):=gxg^{-1}}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$ ${\displaystyle \Phi }$

1. ${\displaystyle \varphi _{g}(xx')=gxx'g^{-1}=gx(g^{-1}g)x'g^{-1}=(gxg^{-1})(gx'g^{-1})=\varphi _{g}(x)\varphi _{g}(x')}$
2. La condición de biyectividad puede verificarse simplemente presentando una inversa tal que podamos regresar a desde . En este caso es la conjugación por denotada como . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle gxg^{-1}}$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle \varphi _{g^{-1}}}$
3. ${\displaystyle \Phi (gg')(x)=(gg')x(gg')^{-1}}$y ${\displaystyle \Phi (g)\circ \Phi (g')(x)=\Phi (g)\circ (g'hg'^{-1})=gg'hg'^{-1}g^{-1}=(gg')h(gg')^{-1}}$

Grupos de automorfismos internos y externos

La composición de dos automorfismos internos es nuevamente un automorfismo interno, y con esta operación, la colección de todos los automorfismos internos de G es un grupo, el grupo de automorfismos internos de G denotado Inn( G ) .

Inn( G ) es un subgrupo normal del grupo de automorfismo completo Aut( G ) de G . El grupo de automorfismo externo , Out( G ), es el grupo cociente

${\displaystyle \operatorname {Out} (G)=\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G).}$

El grupo de automorfismos externos mide, en cierto sentido, cuántos automorfismos de G no son internos. Todo automorfismo no interno produce un elemento no trivial de Out( G ) , pero diferentes automorfismos no internos pueden producir el mismo elemento de Out( G ) .

Decir que la conjugación de x por a deja x sin cambios es equivalente a decir que a y x conmutan:

${\displaystyle a^{-1}xa=x\iff xa=ax.}$

Por lo tanto, la existencia y el número de automorfismos internos que no son la aplicación identidad es una especie de medida del fallo de la ley conmutativa en el grupo (o anillo).

Un automorfismo de un grupo G es interno si y sólo si se extiende a todo grupo que contenga a G. ^[4 ]

Asociando el elemento a ∈ G con el automorfismo interno f ( x ) = x ^a en Inn( G ) como se indicó anteriormente, se obtiene un isomorfismo entre el grupo cociente G / Z( G ) (donde Z( G ) es el centro de G ) y el grupo de automorfismo interno:

${\displaystyle G\,/\,\mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G).}$

Esto es una consecuencia del primer teorema de isomorfismo , porque Z( G ) es precisamente el conjunto de aquellos elementos de G que dan la función identidad como automorfismo interno correspondiente (la conjugación no cambia nada).

Automorfismos no internos de finitospag-grupos

Un resultado de Wolfgang Gaschütz dice que si G es un p -grupo no abeliano finito , entonces G tiene un automorfismo de orden de potencia p que no es interno.

Es un problema abierto si todo p -grupo no abeliano G tiene un automorfismo de orden p . La última pregunta tiene una respuesta positiva siempre que G tenga una de las siguientes condiciones:

1. G es nilpotente de clase 2
2. G es un grupo p regular
3. G /Z( G ) es un grupo p poderoso
4. El centralizador en G , C _G , del centro, Z , del subgrupo de Frattini , Φ , de G , C _G ∘ Z ∘ Φ( G ) , no es igual a Φ( G )

Tipos de grupos

El grupo de automorfismo interno de un grupo G , Inn( G ) , es trivial (es decir, consiste solo en el elemento identidad ) si y solo si G es abeliano .

El grupo Inn( G ) es cíclico sólo cuando es trivial.

En el extremo opuesto del espectro, los automorfismos internos pueden agotar todo el grupo de automorfismos; un grupo cuyos automorfismos son todos internos y cuyo centro es trivial se llama completo . Este es el caso para todos los grupos simétricos en n elementos cuando n no es 2 o 6. Cuando n = 6 , el grupo simétrico tiene una clase no trivial única de automorfismos no internos, y cuando n = 2 , el grupo simétrico, a pesar de no tener automorfismos no internos, es abeliano, dando un centro no trivial, descalificándolo de ser completo.

Si el grupo de automorfismos internos de un grupo perfecto G es simple, entonces G se llama cuasisimple .

Caso de álgebra de Lie

Un automorfismo de un álgebra de Lie 𝔊 se denomina automorfismo interno si tiene la forma Ad _g , donde Ad es la función adjunta y g es un elemento de un grupo de Lie cuya álgebra de Lie es 𝔊 . La noción de automorfismo interno para álgebras de Lie es compatible con la noción de grupos en el sentido de que un automorfismo interno de un grupo de Lie induce un automorfismo interno único del álgebra de Lie correspondiente.

Extensión

Si G es el grupo de unidades de un anillo , A , entonces un automorfismo interno sobre G puede extenderse a una aplicación sobre la línea proyectiva sobre A por el grupo de unidades del anillo de matrices , M ₂ ( A ) . En particular, los automorfismos internos de los grupos clásicos pueden extenderse de esa manera.

Referencias

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. pág. 45. ISBN 978-0-4714-5234-8.OCLC 248917264  .
2. Parrilla, Pierre (2010). Álgebra abstracta (2ª ed.). Nueva York: Springer. pag. 56.ISBN​ 978-1-4419-2450-6.
3. Lang, Serge (2002). Álgebra (3ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 26.ISBN​ 978-0-387-95385-4.
4. Schupp, Paul E. (1987), "Una caracterización de los automorfismos internos" (PDF) , Actas de la American Mathematical Society , 101 (2), American Mathematical Society: 226–228, doi : 10.2307/2045986 , JSTOR  2045986, MR  0902532

Lectura adicional

• Abdollahi, A. (2010), " Los p -grupos potentes tienen automorfismos no internos de orden p y cierta cohomología", J. Algebra , 323 (3): 779–789, arXiv : 0901.3182 , doi :10.1016/j.jalgebra.2009.10.013, MR  2574864
• Abdollahi, A. (2007), " Los p -grupos finitos de clase 2 tienen automorfismos no internos de orden p ", J. Algebra , 312 (2): 876–879, arXiv : math/0608581 , doi :10.1016/j.jalgebra.2006.08.036, MR  2333188
• Deaconescu, M.; Silberberg, G. (2002), "Automorfismos no internos de orden p de p -grupos finitos", J. Algebra , 250 : 283–287, doi : 10.1006/jabr.2001.9093 , MR  1898386
• Gaschütz, W. (1966), "Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorphismen", J. Algebra , 4 : 1–2, doi : 10.1016/0021-8693(66)90045-7 , SEÑOR  0193144
• Liebeck, H. (1965), "Automorfismos externos en grupos p nilpotentes de clase 2 ", J. London Math. Soc. , 40 : 268–275, doi :10.1112/jlms/s1-40.1.268, MR  0173708
• Remeslennikov, VN (2001) [1994], "Automorfismo interno", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Automorfismo interior". MundoMatemático .