Grupo p potente

En matemáticas , en el campo de la teoría de grupos , especialmente en el estudio de p -grupos y pro- p -grupos , el concepto de p -grupos potentes juega un papel importante. Fueron introducidos en (Lubotzky & Mann 1987), donde se dan varias aplicaciones, incluyendo resultados sobre multiplicadores de Schur . Los p -grupos potentes se utilizan en el estudio de automorfismos de p -grupos (Khukhro 1998), la solución del problema restringido de Burnside (Vaughan-Lee 1993), la clasificación de p -grupos finitos a través de las conjeturas de coclase (Leedham-Green & McKay 2002), y proporcionaron un excelente método para comprender los pro- p -grupos analíticos (Dixon et al. 1991).

Definición formal

Un grupo p finito se denomina potente si el subgrupo conmutador está contenido en el subgrupo para impar , o si está contenido en el subgrupo para . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G,G]}$ ${\displaystyle G^{p}=\langle g^{p}|g\in G\rangle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [G,G]}$ ${\displaystyle G^{4}}$ ${\displaystyle p=2}$

Propiedades de los poderosospag-grupos

Los p -grupos potentes tienen muchas propiedades similares a los grupos abelianos y , por lo tanto, proporcionan una buena base para estudiarlos . Cada p -grupo finito puede expresarse como una sección de un p -grupo potente.

Los grupos p potentes también son útiles en el estudio de grupos pro -p , ya que proporcionan un medio simple para caracterizar grupos analíticos p -ádicos (grupos que son variedades sobre los números p -ádicos): un grupo pro -p finitamente generado es analítico p -ádico si y solo si contiene un subgrupo normal abierto que es poderoso: este es un caso especial de un resultado profundo de Michel Lazard (1965).

Algunas propiedades similares a los p -grupos abelianos son: si es un p -grupo potente entonces: ${\displaystyle G}$

• El subgrupo Frattini tiene la propiedad ${\displaystyle \Phi (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}.}$
• ${\displaystyle G^{p^{k}}=\{g^{p^{k}}|g\in G\}}$para todo Es decir, el grupo generado por las potencias es precisamente el conjunto de las potencias. ${\displaystyle k\geq 1.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$
• Si entonces para todos ${\displaystyle G=\langle g_{1},\ldots ,g_{d}\rangle }$ ${\displaystyle G^{p^{k}}=\langle g_{1}^{p^{k}},\ldots ,g_{d}^{p^{k}}\rangle }$ ${\displaystyle k\geq 1.}$
• La entrada th de la serie central inferior tiene la propiedad para todos ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \gamma _{k}(G)\leq G^{p^{k-1}}}$ ${\displaystyle k\geq 1.}$
• Todo grupo cociente de un grupo p potente es potente.
• El rango de Prüfer de es igual al número mínimo de generadores de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

Algunas propiedades menos abelianas son: si es un p -grupo poderoso entonces: ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle G^{p^{k}}}$Es poderoso.
• Los subgrupos no son necesariamente poderosos. ${\displaystyle G}$

Referencias

• Lazard, Michel (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ. Matemáticas. IHÉS 26 (1965), 389–603.
• Dixon, JD; du Sautoy, MPF ; Mann, A.; Segal, D. (1991), Pro-p-grupos analíticos , Cambridge University Press , ISBN 0-521-39580-1, Sr.  1152800
• Khukhro, EI (1998), p-automorfismos de p-grupos finitos , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511526008, ISBN 0-521-59717-X, Sr.  1615819
• Leedham-Green, CR ; McKay, Susan (2002), La estructura de los grupos de orden de potencia primo , Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie, vol. 27, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853548-5, Sr.  1918951
• Lubotzky, Alexander ; Mann, Avinoam (1987), "Grupos p poderosos. I. Grupos finitos", J. Algebra , 105 (2): 484–505, doi :10.1016/0021-8693(87)90211-0, MR  0873681
• Vaughan-Lee, Michael (1993), El problema restringido de Burnside (2.ª ed.), Oxford University Press , ISBN 0-19-853786-7, Sr.  1364414