Anillo de matriz

Anillo matemático cuyos elementos son matrices

En álgebra abstracta , un anillo de matrices es un conjunto de matrices con entradas en un anillo R que forman un anillo bajo la adición de matrices y la multiplicación de matrices . ^[1] El conjunto de todas las matrices n × n con entradas en R es un anillo de matrices denotado M _n ( R ) ^{[2] [3] [4] [5]} (notaciones alternativas: Mat _n ( R ) ^[3] y R ^{n × n [6]} ). Algunos conjuntos de matrices infinitas forman anillos de matrices infinitos . Un subanillo de un anillo de matrices es nuevamente un anillo de matrices. Sobre un rng , se pueden formar rngs de matrices.

Cuando R es un anillo conmutativo, el anillo de matrices M _n ( R ) es un álgebra asociativa sobre R , y puede llamarse álgebra matricial . En este contexto, si M es una matriz y r está en R , entonces la matriz rM es la matriz M con cada una de sus entradas multiplicada por r .

Ejemplos

• El conjunto de todas las matrices cuadradas n × n sobre R , denotado M _n ( R ). A veces se lo denomina "anillo completo de matrices n por n ".
• El conjunto de todas las matrices triangulares superiores sobre R .
• El conjunto de todas las matrices triangulares inferiores sobre R .
• El conjunto de todas las matrices diagonales sobre R . Esta subálgebra de M _n ( R ) es isomorfa al producto directo de n copias de R .
• Para cualquier conjunto de índices I , el anillo de endomorfismos del módulo R derecho es isomorfo al anillo ^{[ cita requerida ]} de matrices finitas de columna cuyas entradas están indexadas por I × I y cuyas columnas contienen cada una sólo un número finito de entradas distintas de cero. El anillo de endomorfismos de M considerado como un módulo R izquierdo es isomorfo al anillo de matrices finitas de fila . ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$ ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}$
• Si R es un álgebra de Banach , entonces la condición de finitud de filas o columnas en el punto anterior se puede relajar. Con la norma en su lugar, se pueden usar series absolutamente convergentes en lugar de sumas finitas. Por ejemplo, las matrices cuyas sumas de columnas son secuencias absolutamente convergentes forman un anillo. ^{[ dudoso – discutir ]} Análogamente, por supuesto, las matrices cuyas sumas de filas son series absolutamente convergentes también forman un anillo. ^{[ dudoso – discutir ]} Esta idea se puede usar para representar operadores en espacios de Hilbert , por ejemplo.
• La intersección de los anillos matriciales finitos en filas y finitos en columnas forma un anillo . ${\displaystyle \mathbb {RCFM} _{I}(R)}$
• Si R es conmutativa , entonces M _n ( R ) tiene una estructura de *-álgebra sobre R , donde la involución * en M _n ( R ) es la transposición de matrices .
• Si A es una C*-álgebra , entonces M _n ( A ) es otra C*-álgebra. Si A no es unitaria, entonces M _n ( A ) también es unitaria. Por el teorema de Gelfand-Naimark , existe un espacio de Hilbert H y un *-isomorfismo isométrico de A a una subálgebra de norma cerrada del álgebra B ( H ) de operadores continuos; esto identifica a M _n ( A ) con una subálgebra de B ( H ^{⊕ n} ). Para simplificar, si suponemos además que H es separable y A B ( H ) es una C*-álgebra unitaria, podemos descomponer A en un anillo de matrices sobre una C*-álgebra más pequeña. Se puede hacer fijando una proyección p y, por tanto, su proyección ortogonal 1 −  p ; se puede identificar A con , donde la multiplicación de matrices funciona como se pretende debido a la ortogonalidad de las proyecciones. Para identificar A con un anillo de matrices sobre un álgebra C*, requerimos que p y 1 −  p tengan el mismo "rango"; más precisamente, necesitamos que p y 1 −  p sean equivalentes de Murray–von Neumann, es decir, que exista una isometría parcial u tal que p = uu * y 1 − p = u * u . Esto se puede generalizar fácilmente a matrices de tamaños mayores. ${\displaystyle \subseteq }$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$
• Las álgebras matriciales complejas M _n ( C ) son, salvo isomorfismo, las únicas álgebras asociativas simples de dimensión finita sobre el cuerpo C de números complejos . Antes de la invención de las álgebras matriciales, Hamilton introdujo en 1853 un anillo, cuyos elementos llamó bicuaterniones ^[7] y los autores modernos llamarían tensores en C ⊗ _R H , que más tarde se demostró que era isomorfo a M ₂ ( C ). Una base de M ₂ ( C ) consiste en las cuatro unidades matriciales (matrices con una 1 y todas las demás entradas 0); otra base está dada por la matriz identidad y las tres matrices de Pauli .
• Un anillo de matrices sobre un cuerpo es un álgebra de Frobenius , con forma de Frobenius dada por la traza del producto: σ ( A , B ) = tr( AB ) .

Estructura

• El anillo de matrices M _n ( R ) se puede identificar con el anillo de endomorfismos del módulo R libre derecho de rango n ; es decir, M _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ ) . La multiplicación de matrices corresponde a la composición de endomorfismos.
• El anillo M _n ( D ) sobre un anillo de división D es un anillo simple artiniano , un tipo especial de anillo semisimple . Los anillos y no son simples ni artinianos si el conjunto I es infinito, pero siguen siendo anillos lineales completos . ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(D)}$ ${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)}$
• El teorema de Artin-Wedderburn establece que todo anillo semisimple es isomorfo a un producto directo finito , para algún entero no negativo r , enteros positivos n _i y anillos de división D _i . ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$
• Cuando consideramos a M _n ( C ) como el anillo de endomorfismos lineales de C ⁿ , aquellas matrices que se anulan en un subespacio dado V forman un ideal izquierdo . Por el contrario, para un ideal izquierdo dado I de M _n ( C ) la intersección de espacios nulos de todas las matrices en I da un subespacio de C ⁿ . Bajo esta construcción, los ideales izquierdos de M _n ( C ) están en biyección con los subespacios de C ⁿ .
• Existe una biyección entre los ideales bilaterales de M _n ( R ) y los ideales bilaterales de R . Es decir, para cada ideal I de R , el conjunto de todas las matrices n × n con entradas en I es un ideal de M _n ( R ), y cada ideal de M _n ( R ) surge de esta manera. Esto implica que M _n ( R ) es simple si y solo si R es simple. Para n ≥ 2 , no todo ideal izquierdo o ideal derecho de M _n ( R ) surge por la construcción previa a partir de un ideal izquierdo o un ideal derecho en R . Por ejemplo, el conjunto de matrices cuyas columnas con índices 2 a n son todas cero forma un ideal izquierdo en M _n ( R ).
• La correspondencia ideal anterior surge en realidad del hecho de que los anillos R y M _n ( R ) son equivalentes de Morita . En términos generales, esto significa que la categoría de módulos R izquierdos y la categoría de módulos M _n ( R ) izquierdos son muy similares. Debido a esto, existe una correspondencia biyectiva natural entre las clases de isomorfismo de módulos R izquierdos y módulos M _n ( R ) izquierdos, y entre las clases de isomorfismo de ideales izquierdos de R e ideales izquierdos de M _n ( R ). Enunciados idénticos son válidos para módulos derechos e ideales derechos. A través de la equivalencia de Morita, M _n ( R ) hereda cualquier propiedad invariante de Morita de R , como ser simple , artiniano , noetheriano , primo .

Propiedades

• Si S es un subanillo de R , entonces M _n ( S ) es un subanillo de M _n ( R ). Por ejemplo, M _n ( Z ) es un subanillo de M _n ( Q ).
• El anillo de matrices M _n ( R ) es conmutativo si y solo si n = 0 , R = 0 o R es conmutativo y n = 1 . De hecho, esto también es cierto para el subanillo de matrices triangulares superiores. Aquí hay un ejemplo que muestra dos matrices triangulares superiores 2 × 2 que no conmutan, suponiendo que 1 ≠ 0 en R :

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

  y

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• Para n ≥ 2 , el anillo de matrices M _n ( R ) sobre un anillo distinto de cero tiene divisores de cero y elementos nilpotentes ; lo mismo se aplica al anillo de matrices triangulares superiores. Un ejemplo en matrices 2 × 2 sería

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• El centro de M _n ( R ) consiste en los múltiplos escalares de la matriz identidad , I _n , en la que el escalar pertenece al centro de R .
• El grupo unitario de M _n ( R ), que consiste en las matrices invertibles bajo multiplicación, se denota GL _n ( R ).
• Si F es un cuerpo, entonces para dos matrices cualesquiera A y B en M _n ( F ), la igualdad AB = I _n implica BA = I _n . Sin embargo, esto no es cierto para cada anillo R. Un anillo R cuyos anillos de matriz tienen todos la propiedad mencionada se conoce como un anillo finito estable (Lam 1999, p. 5).

Semianillo de matriz

De hecho, R solo necesita ser un semianillo para que M _n ( R ) esté definido. En este caso, M _n ( R ) es un semianillo, llamado semianillo matricial . De manera similar, si R es un semianillo conmutativo, entonces M _n ( R ) es unsemiálgebra matricial

Por ejemplo, si R es el semianillo booleano (el álgebra booleana de dos elementos R = {0, 1} con 1 + 1 = 1 ), ^[8] entonces M _n ( R ) es el semianillo de relaciones binarias en un conjunto de n elementos con unión como adición, composición de relaciones como multiplicación, la relación vacía ( matriz cero ) como el cero y la relación identidad ( matriz identidad ) como la unidad . ^[9]

Véase también

• Álgebra central simple
• Álgebra de Clifford
• Teorema de Hurwitz (álgebras de división normadas)
• Anillo de matriz genérico
• Ley de inercia de Sylvester

Citas

1. Lam (1999), Teorema 3.1
2. Lam (2001).
3. Lang (2005), V.§3
4. Serre (2006), pág. 3
5. Serre (1979), pág. 158
6. Artin (2018), Ejemplo 3.3.6(a)
7. Conferencia VII de Sir William Rowan Hamilton (1853) Conferencias sobre cuaterniones , Hodges y Smith
8. Droste y Kuich (2009), pág. 7
9. Droste y Kuich (2009), pág. 8

Referencias

• Artin (2018), Álgebra , Pearson
• Droste, M.; Kuich, W (2009), "Semirings and Formal Power Series", Handbook of Weighted Automata , Monografías en Ciencias Informáticas Teóricas. Una serie EATCS, págs. 3–28, doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1, ISBN 978-3-642-01491-8
• Lam, TY (1999), Lecciones sobre módulos y anillos, Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5
• Lam (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2.ª ed.), Springer
• Lang (2005), Álgebra de pregrado , Springer
• Serre (1979), Campos locales , Springer
• Serre (2006), Álgebras de Lie y grupos de Lie (2.ª ed.), Springer, corregido 5ª impresión