Teorema de Hurwitz (álgebras de composición)

Álgebras no asociativas con forma cuadrática positiva definida

En matemáticas , el teorema de Hurwitz es un teorema de Adolf Hurwitz (1859-1919), publicado póstumamente en 1923, que resuelve el problema de Hurwitz para álgebras reales unitarias no asociativas de dimensión finita dotadas de una forma cuadrática positiva definida no degenerada . El teorema establece que si la forma cuadrática define un homomorfismo en los números reales positivos en la parte distinta de cero del álgebra, entonces el álgebra debe ser isomorfa a los números reales , los números complejos , los cuaterniones o los octoniones , y que no hay otras posibilidades. Tales álgebras, a veces llamadas álgebras de Hurwitz , son ejemplos de álgebras de composición .

La teoría de las álgebras de composición se ha generalizado posteriormente a formas cuadráticas arbitrarias y cuerpos arbitrarios . ^[1] El teorema de Hurwitz implica que las fórmulas multiplicativas para sumas de cuadrados solo pueden ocurrir en 1, 2, 4 y 8 dimensiones, un resultado probado originalmente por Hurwitz en 1898. Es un caso especial del problema de Hurwitz , resuelto también en Radon (1922). Pruebas posteriores de las restricciones en la dimensión han sido dadas por Eckmann (1943) usando la teoría de representación de grupos finitos y por Lee (1948) y Chevalley (1954) usando álgebras de Clifford . El teorema de Hurwitz se ha aplicado en topología algebraica a problemas sobre campos vectoriales en esferas y los grupos de homotopía de los grupos clásicos ^[2] y en mecánica cuántica a la clasificación de álgebras de Jordan simples . ^[3]

Álgebras euclidianas de Hurwitz

Definición

Un álgebra de Hurwitz o álgebra de composición es un álgebra A de dimensión finita no necesariamente asociativa con identidad dotada de una forma cuadrática no degenerada q tal que q ( a b ) = q ( a )  q ( b ) . Si el cuerpo de coeficientes subyacente son los reales y q es definido positivo, de modo que ( a ,  b ) = ⁠1/2⁠ [ q ( a + b ) − q ( a ) − q ( b )] es un producto interno , entonces A se llama álgebra euclidiana de Hurwitz o álgebra de división normada (de dimensión finita). ^[4]

Si A es un álgebra euclidiana de Hurwitz y a está en A , defina los operadores de involución y multiplicación por derecha e izquierda mediante

${\displaystyle a^{*}=-a+2(a,1)1,\quad L(a)b=ab,\quad R(a)b=ba.}$

Evidentemente la involución tiene periodo dos y conserva el producto interno y la norma. Estos operadores tienen las siguientes propiedades:

• La involución es un antiautomorfismo , es decir ( ab )* = b * a *
• aa * = ‖ a‖ ² 1  = a * a
• L ( a *) = L ( a )* , R ( a *) = R ( a )* , de modo que la involución en el álgebra corresponde a tomar adjuntos
• Re ( ab ) = Re ( ba ) si Re  x = ( x + x *)/2 = ( x , 1)1
• Re( ab ) c =  Rea ( bc )
• L ( a ² ) = L ( a ) ² , R ( a ² ) = R ( a ) ² , por lo que A es un álgebra alternativa .

Estas propiedades se demuestran a partir de la versión polarizada de la identidad ( ab ,  ab ) = ( a ,  a )( b ,  b ) :

${\displaystyle \displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}}$

Si se establece b = 1 o d = 1 , se obtiene L ( a *) = L ( a )* y R ( c *) = R ( c )* .

Por lo tanto, Re( ab ) = ( ab , 1)1 = ( a ,  b *)1 = ( ba , 1)1 = Re( ba ) .

De manera similar, Re ( ab ) c = (( ab ) c ,1)1 = ( ab ,  c *)1 = ( b ,  a *  c *)1 = ( bc , a *)1 = ( a ( bc ),1)1 = Re a ( bc ) .

Por lo tanto, (( ab )*, c) = ( ab , c *) = ( b , a * c *) = (1, b *( a * c *)) = (1, ( b * a *) c *) = ( b * a *, c ) , de modo que ( ab )* = b * a * .

Por la identidad polarizada ‖ a ‖ ²  ( c ,  d ) = ( ac ,  ad ) = ( a * ( ac ),  d ) entonces L ( a * )  L ( a ) = L ( ‖ a ‖ ² ) . Aplicado a 1 esto da a * a = ‖ a ‖ ² 1 . Reemplazando a por a * da la otra identidad.

Sustituyendo la fórmula para a * en L ( a *)  L ( a ) = L ( a * a ) se obtiene L ( a ) ² = L ( a ² ) . La fórmula R ( a ² ) = R ( a ) ² se demuestra de forma análoga.

Clasificación

Es habitual comprobar que los números reales R , los números complejos C y los cuaterniones H son ejemplos de álgebras euclidianas de Hurwitz asociativas con sus normas e involuciones estándar. Además, existen inclusiones naturales R ⊂ C ⊂ H .

El análisis de dicha inclusión conduce a la construcción de Cayley-Dickson , formalizada por AA Albert . Sea A un álgebra euclidiana de Hurwitz y B una subálgebra unital propia, por lo que es un álgebra euclidiana de Hurwitz por derecho propio. Elija un vector unitario j en A ortogonal a B. Como ( j , 1) = 0 , se deduce que j * = − j y, por lo tanto, j ² = −1 . Sea C una subálgebra generada por B y j . Es unital y es nuevamente un álgebra euclidiana de Hurwitz. Satisface las siguientes leyes de multiplicación de Cayley-Dickson :

${\displaystyle \displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}}$

B y Bj son ortogonales, ya que j es ortogonal a B . Si a está en B , entonces j a = a *  j , ya que por ortogonalidad 0 = 2( j ,  a *) = ja − a * j . La fórmula para la involución es la siguiente. Para demostrar que B ⊕ B j es cerrado bajo la multiplicación Bj = jB . Como Bj es ortogonal a 1, ( bj )* = − bj .

• b ( cj ) = ( cb )  j ya que ( b ,  j ) = 0 de modo que, para x en A , ( b ( cj ),  x ) = ( b (  jx ),  j ( cj )) = −( b (  jx ),  c ​​*) = −( cb , (  jx )*) = −(( cb )  j ,  x *) = (( cb )  j ,  x ) .
• (  jc ) b = j ( bc ) tomando los adjuntos anteriores.
• ( bj )( cj ) = − c * b ya que ( b ,  cj ) = 0, de modo que, para x en A , (( bj )( cj ),  x ) = −(( cj ) x *,  bj ) = ( bx *, ( cj )  j ) = −( c * b ,  x ) .

Imponiendo la multiplicidad de la norma en C para a + bj y c + dj se obtiene:

${\displaystyle \displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}}$

Lo que conduce a

${\displaystyle \displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}}$

Por lo tanto, d ( ac ) = ( da ) c , por lo que B debe ser asociativo .

Este análisis se aplica a la inclusión de R en C y C en H . Tomando O = H ⊕ H con el producto y el producto interno anteriores se obtiene un álgebra no asociativa no conmutativa generada por J = (0, 1) . Esto recupera la definición habitual de los octoniones o números de Cayley . Si A es un álgebra euclidiana, debe contener a R . Si es estrictamente mayor que R , el argumento anterior muestra que contiene a C . Si es mayor que C , contiene a H . Si es aún mayor, debe contener a O . Pero allí el proceso debe detenerse, porque O no es asociativo. De hecho, H no es conmutativo y a ( bj ) = ( ba )  j ≠ ( ab )  j en O . ^[5]

Teorema. Las únicas álgebras euclidianas de Hurwitz son los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones.

Otras pruebas

Las pruebas de Lee (1948) y Chevalley (1954) utilizan álgebras de Clifford para mostrar que la dimensión N de A debe ser 1, 2, 4 u 8. De hecho, los operadores L ( a ) con ( a , 1) = 0 satisfacen L ( a ) ² = −‖ a ‖ ² y por lo tanto forman un álgebra de Clifford real. Si a es un vector unitario, entonces L ( a ) es antiadjunto con cuadrado − I . Por lo tanto, N debe ser par o 1 (en cuyo caso A no contiene vectores unitarios ortogonales a 1). El álgebra de Clifford real y su complejización actúan sobre la complejización de A , un espacio complejo N -dimensional. Si N es par, N − 1 es impar , por lo que el álgebra de Clifford tiene exactamente dos representaciones irreducibles complejas de dimensión 2 ^{N /2 − 1} . Por lo tanto, esta potencia de 2 debe dividir a N. Es fácil ver que esto implica que N solo puede ser 1, 2, 4 u 8.

La demostración de Eckmann (1943) utiliza la teoría de representación de grupos finitos , o la teoría de representación proyectiva de 2-grupos abelianos elementales , que se sabe que son equivalentes a la teoría de representación de álgebras reales de Clifford. De hecho, tomando una base ortonormal e _i del complemento ortogonal de 1 se obtienen operadores U _i = L ( e _i ) que satisfacen

${\displaystyle U_{i}^{2}=-I,\quad U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).}$

Esta es una representación proyectiva de un producto directo de N − 1 grupos de orden 2. ( Se supone que N es mayor que 1). Los operadores U _i por construcción son antisimétricos y ortogonales. De hecho, Eckmann construyó operadores de este tipo de una manera ligeramente diferente pero equivalente. De hecho, es el método seguido originalmente en Hurwitz (1923). ^[6] Supongamos que existe una ley de composición para dos formas

${\displaystyle \displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}}$

donde z _i es bilineal en x e y . Por lo tanto

${\displaystyle \displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}}$

donde la matriz T ( x ) = ( a _ij ) es lineal en x . Las relaciones anteriores son equivalentes a

${\displaystyle \displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}}$

Escribiendo

${\displaystyle \displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}}$

Las relaciones se vuelven

${\displaystyle \displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}}$

Ahora establezcamos V _i = ( T _N ) ^t T _i . Por lo tanto, V _N = I y V ₁ , ... ,  V _{N − 1} son antiadjuntos, ortogonales y satisfacen exactamente las mismas relaciones que U _i :

${\displaystyle \displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\quad V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}}$

Como V _i es una matriz ortogonal con cuadrado − I en un espacio vectorial real , N es par.

Sea G el grupo finito generado por elementos v _i tales que

${\displaystyle \displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\quad v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}}$

donde ε es central de orden 2. El subgrupo conmutador [ G ,  G ] está formado simplemente por 1 y ε . Si N es impar, esto coincide con el centro, mientras que si N es par, el centro tiene orden 4 con elementos extra γ = v ₁ ... v _{N − 1} y ε γ . Si g en G no está en el centro, su clase de conjugación es exactamente g y εg . Por lo tanto, hay 2 ^{N − 1} + 1 clases de conjugación para N impar y 2 ^{N − 1} + 2 para N par. G tiene |  G / [ G ,  G ] | = 2 ^{N − 1} representaciones complejas unidimensionales. El número total de representaciones complejas irreducibles es el número de clases de conjugación. Entonces, como N es par, hay dos representaciones complejas irreducibles más. Como la suma de los cuadrados de las dimensiones es igual a | G | y las dimensiones dividen a | G | , los dos irreducibles deben tener dimensión 2 ^{( N − 2)/2} . Cuando N es par, hay dos y su dimensión debe dividir el orden del grupo, por lo que es una potencia de dos, por lo que ambos deben tener dimensión 2 ^{( N − 2)/2} . El espacio en el que actúan los V _i puede ser complejizado. Tendrá dimensión compleja N . Se descompone en algunas representaciones irreducibles complejas de G , todas con dimensión 2 ^{( N − 2)/2} . En particular, esta dimensión es ≤ N , por lo que N es menor o igual a 8. Si N = 6 , la dimensión es 4, que no divide a 6. Por lo tanto, N solo puede ser 1, 2, 4 u 8.

Aplicaciones a las álgebras de Jordan

Sea A un álgebra euclidiana de Hurwitz y sea M _n ( A ) el álgebra de matrices n por n sobre A . Es un álgebra unital no asociativa con una involución dada por

${\displaystyle \displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}}$

La traza Tr( X  ) se define como la suma de los elementos diagonales de X y la traza de valor real por Tr _R ( X  ) = Re Tr( X  ) . La traza de valor real satisface:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).}$

Éstas son consecuencias inmediatas de las identidades conocidas para n = 1 .

En A defina el asociador por

${\displaystyle \displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}}$

Es trilineal y se anula de forma idéntica si A es asociativa. Puesto que A es un álgebra alternativa [ a ,  a ,  b ] = 0 y [ b ,  a ,  a ] = 0 . Polarizando se deduce que el asociador es antisimétrico en sus tres entradas. Además, si a , b o c se encuentran en R entonces [ a ,  b ,  c ] = 0 . Estos hechos implican que M ₃ ( A ) tiene ciertas propiedades de conmutación. De hecho, si X es una matriz en M ₃ ( A ) con entradas reales en la diagonal entonces

${\displaystyle \displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}}$

con a en A . De hecho, si Y = [ X ,   X ² ] , entonces

${\displaystyle \displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}].}}$

Como las entradas diagonales de X son reales, las entradas fuera de la diagonal de Y se anulan. Cada entrada diagonal de Y es una suma de dos asociadores que involucran solo términos fuera de la diagonal de X. Como los asociadores son invariantes bajo permutaciones cíclicas , las entradas diagonales de Y son todas iguales.

Sea H _n ( A ) el espacio de elementos autoadjuntos en M _n ( A ) con producto X  ∘ Y = ⁠1/2⁠ ( X Y + Y X ) y producto interno ( X ,  Y  ) = Tr _R ( X Y  ) .

Teorema. H _n ( A ) es un álgebra de Jordan euclidiana si A es asociativo (los números reales, números complejos o cuaterniones) y n ≥ 3 o si A es no asociativo (los octoniones) y n = 3 .

El álgebra de Jordan _excepcional H3 ( O ) se llama álgebra de Albert en honor a AA Albert .

Para comprobar que H _n ( A ) satisface los axiomas para un álgebra euclidiana de Jordan, la traza real define una forma bilineal simétrica con ( X ,  X ) = Σ ‖ x _ij ‖ ² . Por lo tanto, es un producto interno. Satisface la propiedad de asociatividad ( Z ∘ X ,  Y  ) = ( X ,  Z ∘ Y  ) debido a las propiedades de la traza real. El axioma principal a comprobar es la condición de Jordan para los operadores L ( X ) definidos por L ( X ) Y = X  ∘ Y :

${\displaystyle \displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}}$

Esto es fácil de comprobar cuando A es asociativa, ya que M _n ( A ) es un álgebra asociativa, por lo que es un álgebra de Jordan con X  ∘ Y = ⁠1/2⁠ ( X Y + Y X ) . Cuando A = O y n = 3 se requiere un argumento especial, uno de los más cortos se debe a Freudenthal (1951). ^[7]

De hecho, si T está en H ₃ ( O ) con Tr  T = 0 , entonces

${\displaystyle \displaystyle {D(X)=TX-XT}}$

define una derivación sesgada-adjunta de H ₃ ( O ) . De hecho,

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,}$

de modo que

${\displaystyle (D(X),X^{2})=0.}$

Los rendimientos polarizadores:

${\displaystyle (D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.}$

Si se establece Z = 1, se observa que D es antiadjunto. La propiedad de derivación D ( X  ∘ Y ) = D ( X )∘ Y + X ∘ D ( Y ) se deduce de esto y de la propiedad de asociatividad del producto interno en la identidad anterior.

Con A y n como en el enunciado del teorema, sea K el grupo de automorfismos de E = H _n ( A ) dejando invariante el producto interno. Es un subgrupo cerrado de O ( E ) por lo que es un grupo de Lie compacto . Su álgebra de Lie consiste en derivaciones antiadjuntas. Freudenthal (1951) demostró que dado X en E hay un automorfismo k en K tal que k ( X ) es una matriz diagonal . (Por autoadjuntividad las entradas diagonales serán reales.) El teorema de diagonalización de Freudenthal implica inmediatamente la condición de Jordan, ya que los productos de Jordan por matrices diagonales reales conmutan en M _n ( A ) para cualquier álgebra no asociativa A .

Para demostrar el teorema de diagonalización, tomemos X en E . Por compacidad, k puede elegirse en K minimizando las sumas de los cuadrados de las normas de los términos fuera de la diagonal de k ( X  ) . Dado que K preserva las sumas de todos los cuadrados, esto es equivalente a maximizar las sumas de los cuadrados de las normas de los términos diagonales de k ( X  ) . Reemplazando X por k X , puede suponerse que el máximo se alcanza en X . Dado que el grupo simétrico S _n , actuando permutando las coordenadas, se encuentra en K , si X no es diagonal, puede suponerse que x ₁₂ y su adjunto x ₂₁ son distintos de cero. Sea T la matriz antiadjunta con (2, 1) entrada a , (1, 2) entrada − a * y 0 en el resto y sea D la derivación ad T de E . Sea k _t = exp  tD en K . Entonces solo las dos primeras entradas diagonales en X ( t ) = k _t X difieren de las de X . Las entradas diagonales son reales. La derivada de x ₁₁ ( t ) en t = 0 es la coordenada (1, 1) de [ T ,  X ] , es decir a *  x ₂₁ + x ₁₂  a = 2( x ₂₁ ,  a ) . Esta derivada no es cero si a = x ₂₁ . Por otro lado, el grupo k _t conserva la traza de valor real. Dado que solo puede cambiar x ₁₁ y x ₂₂ , conserva su suma. Sin embargo, en la línea x + y = constante, x ² + y ² no tiene un máximo local (solo un mínimo global), una contradicción. Por lo tanto, X debe ser diagonal.

Véase también

• Forma cuadrática multiplicativa
• Número de radón-Hurwitz
• Teorema de Frobenius

Notas

1. Ver:
   • Lam 2005
   • Rajwade 1993
   • Shapiro 2000
2. Ver:
   • Eckman 1989
   • Eckman 1999
3. Jordania, von Neumann y Wigner 1934
4. Faraut y Koranyi 1994, pág. 82
5. Faraut y Koranyi 1994, págs. 81–86
6. Ver:
   • Hurwitz 1923, pág. 11
   • Herstein 1968, págs. 141–144
7. Ver:
   • Faraut y Koranyi 1994, págs. 88–91
   • Póstnikov 1986

Referencias

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Lectura adicional

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• Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003), Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría , AK Peters, ISBN 978-1568811345
• Kantor, IL; Solodovnikov, AS (1989), "Álgebras normalizadas con una identidad. Teorema de Hurwitz", Números hipercomplejos. Una introducción elemental a las álgebras , Trans. A. Shenitzer (2.ª ed.), Springer-Verlag , pág. 121, ISBN 978-0-387-96980-0, Zbl0669.17001 ​
• Max Koecher y Reinhold Remmert (1990) "Álgebras de composición. Teorema de Hurwitz - Álgebras de productos vectoriales", capítulo 10 de Números de Heinz-Dieter Ebbinghaus et al., Springer, ISBN 0-387-97202-1 
• Springer, TA ; FD Veldkamp (2000), Octonions, álgebras de Jordan y grupos excepcionales , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9