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Centro (teoría de grupos)

En álgebra abstracta , el centro de un grupo G es el conjunto de elementos que conmutan con cada elemento de G. Se denota Z( G ) , del alemán Zentrum, que significa centro . En la notación de constructor de conjuntos ,

Z( G ) = { zG | ∀ gG , zg = gz } .

El centro es un subgrupo normal , Z( G ) ⊲ G , y también un subgrupo característico , pero no es necesariamente completamente característico . El grupo cociente , G / Z( G ) , es isomorfo al grupo de automorfismo interno , Inn( G ) .

Un grupo G es abeliano si y solo si Z( G ) = G . En el otro extremo, se dice que un grupo no tiene centro si Z( G ) es trivial ; es decir, consta solo del elemento identidad .

Los elementos del centro son elementos centrales .

Como subgrupo

El centro de G es siempre un subgrupo de G . En particular:

  1. Z( G ) contiene el elemento identidad de G , porque conmuta con cada elemento de g , por definición: eg = g = ge , donde e es la identidad;
  2. Si x e y están en Z( G ) , entonces también lo está xy , por asociatividad: ( xy ) g = x ( yg ) = x ( gy ) = ( xg ) y = ( gx ) y = g ( xy ) para cada gG ; es decir, Z( G ) es cerrado;
  3. Si x está en Z( G ) , entonces también lo está x −1 ya que, para todo g en G , x −1 conmuta con g : ( gx = xg ) ⇒ ( x −1 gxx −1 = x −1 xgx −1 ) ⇒ ​​( x −1 g = gx −1 ) .

Además, el centro de G es siempre un subgrupo abeliano y normal de G . Dado que todos los elementos de Z( G ) conmutan, es cerrado bajo conjugación .

Un homomorfismo de grupo f  : GH podría no restringirse a un homomorfismo entre sus centros. Los elementos de imagen f ( g ) conmutan con la imagen f ( G ) , pero no necesitan conmutar con todo H a menos que f sea sobreyectiva. Por lo tanto, la función de centro no es un funtor entre las categorías Grp y Ab, ya que no induce una función de flechas.

Clases de conjugación y centralizadores

Por definición, un elemento es central siempre que su clase de conjugación contenga sólo el elemento mismo; es decir, Cl( g ) = { g } .

El centro es la intersección de todos los centralizadores de elementos de G :

Como los centralizadores son subgrupos, esto demuestra nuevamente que el centro es un subgrupo.

Conjugación

Considérese la función f  : G → Aut( G ) , desde G hasta el grupo de automorfismos de G definido por f ( g ) = ϕ g , donde ϕ g es el automorfismo de G definido por

f ( g )( h ) = ϕ g ( h ) = ghg ​​−1 .

La función f es un homomorfismo de grupo y su núcleo es precisamente el centro de G y su imagen se llama grupo de automorfismo interno de G , denotado Inn( G ) . Por el primer teorema de isomorfismo obtenemos:

G /Z( G ) ≃ Inn( G ) .

El co-núcleo de este mapa es el grupo Out( G ) de automorfismos externos , y estos forman la secuencia exacta

1 ⟶ Z( G ) ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Salida( G ) ⟶ 1 .

Ejemplos

Centros superiores

Al cocientear por el centro de un grupo se obtiene una secuencia de grupos llamada serie central superior :

( G 0 = G ) ⟶ ( G 1 = G 0 /Z( G 0 )) ⟶ ( G 2 = G 1 /Z( G 1 )) ⟶ ⋯

El núcleo de la función GG i es el i ésimo centro [1] de G ( segundo centro , tercer centro , etc.), denotado Z i ( G ) . [2] Concretamente, el ( i +1 )-ésimo centro comprende los elementos que conmutan con todos los elementos hasta un elemento del i ésimo centro. Siguiendo esta definición, se puede definir el 0º centro de un grupo como el subgrupo identidad. Esto se puede continuar hasta los ordinales transfinitos por inducción transfinita ; la unión de todos los centros superiores se llama hipercentro . [nota 1]

La cadena ascendente de subgrupos

1 ≤ Z( G ) ≤ Z 2 ( G ) ≤ ⋯

se estabiliza en i (equivalentemente, Z i ( G ) = Z i+1 ( G ) ) si y sólo si G i no tiene centro.

Ejemplos

Véase también

Notas

  1. ^ Esta unión incluirá términos transfinitos si el UCS no se estabiliza en una etapa finita.

Referencias

Enlaces externos

  1. ^ Ellis, Graham (1 de febrero de 1998). "Sobre grupos con un cociente central superior nilpotente finito". Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi :10.1007/s000130050169. ISSN  1420-8938.
  2. ^ Ellis, Graham (1 de febrero de 1998). "Sobre grupos con un cociente central superior nilpotente finito". Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi :10.1007/s000130050169. ISSN  1420-8938.