Anillo de matriz genérico

En álgebra , un anillo matricial genérico es una especie de anillo matricial universal .

Definición

Denotamos por un anillo matricial genérico de tamaño n con variables . Se caracteriza por la propiedad universal: dado un anillo conmutativo R y matrices n por n sobre R , cualquier aplicación se extiende al homomorfismo del anillo (llamado evaluación) . ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\dots X_{m}}$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{m}}$ ${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$ ${\displaystyle F_{n}\to M_{n}(R)}$

Explícitamente, dado un cuerpo k , es la subálgebra del anillo de matrices generado por matrices n por n , donde son entradas de matriz y conmutan por definición. Por ejemplo, si m  = 1 entonces es un anillo polinomial en una variable. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}(k[(X_{l})_{ij}\mid 1\leq l\leq m,\ 1\leq i,j\leq n])}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$ ${\displaystyle (X_{l})_{ij}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Por ejemplo, un polinomio central es un elemento del anillo que se asignará a un elemento central bajo una evaluación. (De hecho, está en el anillo invariante ya que es central e invariante. ^[1] ) ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle k[(X_{l})_{ij}]^{\operatorname {GL} _{n}(k)}}$

Por definición, es un cociente del anillo libre con por el ideal que consiste en todos los p que se desvanecen idénticamente en todas las matrices n por n sobre k . ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle }$ ${\displaystyle t_{i}\mapsto X_{i}}$

Perspectiva geométrica

La propiedad universal significa que cualquier homomorfismo de anillo de a un anillo de matrices se factoriza a través de . Esto tiene el siguiente significado geométrico. En geometría algebraica , el anillo polinómico es el anillo de coordenadas del espacio afín , y dar un punto de es dar un homomorfismo de anillo (evaluación) (ya sea por Nullstellensatz de Hilbert o por la teoría de esquemas ). El anillo libre desempeña el papel del anillo de coordenadas del espacio afín en la geometría algebraica no conmutativa (es decir, no exigimos que las variables libres conmuten) y, por lo tanto, un anillo de matrices genérico de tamaño n es el anillo de coordenadas de una variedad afín no conmutativa cuyos puntos son las Spec de anillos de matrices de tamaño n (ver a continuación para una discusión más concreta). ${\displaystyle k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle }$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle k[t,\dots ,t_{m}]}$ ${\displaystyle k^{m}}$ ${\displaystyle k^{m}}$ ${\displaystyle k[t,\dots ,t_{m}]\to k}$ ${\displaystyle k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle }$

El espectro máximo de un anillo de matriz genérico

Para simplificar, supongamos que k es algebraicamente cerrado . Sea A un álgebra sobre k y sea el conjunto de todos los ideales máximos en A tales que . Si A es conmutativo, entonces es el espectro máximo de A y está vacío para cualquier . ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{n}(A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}\approx M_{n}(k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{1}(A)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{n}(A)}$ ${\displaystyle n>1}$

Referencias

1. Artin 1999, Proposición V.15.2.

• Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) .
• Cohn, Paul M. (2003). Álgebra adicional y aplicaciones (edición revisada de Álgebra, 2.ª ed.). Londres: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6.Zbl1006.00001  .​