Suma de matrices

Ilustración de la suma de dos matrices.

Nociones de sumas de matrices en álgebra lineal

En matemáticas , la suma de matrices es la operación de sumar dos matrices sumando las entradas correspondientes.

Para un vector , , sumar dos matrices tendría el efecto geométrico de aplicar cada transformación matricial por separado sobre , y luego sumar los vectores transformados. ${\displaystyle {\vec {v}}\!}$ ${\displaystyle {\vec {v}}\!}$

${\displaystyle \mathbf {A} {\vec {v}}+\mathbf {B} {\vec {v}}=(\mathbf {A} +\mathbf {B} ){\vec {v}}\!}$

Sin embargo, existen otras operaciones que también podrían considerarse adición de matrices, como la suma directa y la suma de Kronecker .

Suma por entrada

Para que se puedan sumar dos matrices, es necesario que tengan el mismo número de filas y columnas. ^[1] En este caso, la suma de dos matrices A y B será una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas que A y B. La suma de A y B , denotada como A + B , se calcula sumando los elementos correspondientes de A y B : ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}$

O más concisamente (suponiendo que A + B = C ): ^{[4] [5]}

${\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

De manera similar, también es posible restar una matriz de otra, siempre que tengan las mismas dimensiones. La diferencia de A y B , denotada A − B , se calcula restando elementos de B de los elementos correspondientes de A , y tiene las mismas dimensiones que A y B . Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}$

Suma directa

Otra operación que se utiliza con menos frecuencia es la suma directa (denotada por ⊕). La suma de Kronecker también se denota por ⊕; el contexto debería aclarar su uso. La suma directa de cualquier par de matrices A de tamaño m × n y B de tamaño p × q es una matriz de tamaño ( m + p ) × ( n + q ) definida como: ^{[6] [2]}

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}$

Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

La suma directa de matrices es un tipo especial de matriz de bloques . En particular, la suma directa de matrices cuadradas es una matriz diagonal de bloques .

La matriz de adyacencia de la unión de grafos disjuntos (o multigrafos ) es la suma directa de sus matrices de adyacencia. Cualquier elemento de la suma directa de dos espacios vectoriales de matrices puede representarse como una suma directa de dos matrices.

En general, la suma directa de n matrices es: ^[2]

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\mathbf {A} _{3},\ldots ,\mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!}$

donde los ceros son en realidad bloques de ceros (es decir, matrices cero).

Suma de Kronecker

La suma de Kronecker es diferente de la suma directa, pero también se denota por ⊕. Se define utilizando el producto de Kronecker ⊗ y la suma de matrices normal. Si A es n por n , B es m por m y denota la matriz identidad k por k , entonces la suma de Kronecker se define por: ${\displaystyle \mathbf {I} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}$

Véase también

• Multiplicación de matrices
• Adición de vectores

Notas

1. Álgebra lineal elemental de Rorres Anton 10e p53
2. Lipschutz y Lipson 2017.
3. Riley, Hobson y Bence 2006.
4. Weisstein, Eric W. "Suma de matrices". mathworld.wolfram.com . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
5. "Cómo hallar la suma y la diferencia de dos matrices | Álgebra universitaria". courses.lumenlearning.com . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
6. Weisstein, Eric W. "Suma directa de matrices". MathWorld .

Referencias

• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2017). Esquema de álgebra lineal de Schaum (6.ª ed.). McGraw-Hill Education. ISBN 9781260011449.
• Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ (2006). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería (3.ª edición). Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511810763. ISBN 978-0-521-86153-3.

Enlaces externos

• Suma directa de matrices en PlanetMath .
• Absurdo abstracto: suma directa de transformaciones lineales y suma directa de matrices
• Biblioteca de fuentes de matemáticas: Operaciones aritméticas con matrices
• Álgebra matricial y R