Álgebra central simple

Álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo cuyos elementos centrales son ese cuerpo

En la teoría de anillos y áreas relacionadas de las matemáticas, un álgebra central simple ( CSA ) sobre un cuerpo K es un K -álgebra asociativa de dimensión finita A que es simple , y para la cual el centro es exactamente K. (Nótese que no toda álgebra simple es un álgebra central simple sobre su centro: por ejemplo, si K es un cuerpo de característica 0, entonces el álgebra de Weyl es un álgebra simple con centro K , pero no es un álgebra central simple sobre K ya que tiene dimensión infinita como un K -módulo). ${\displaystyle K[X,\partial _{X}]}$

Por ejemplo, los números complejos C forman un CSA sobre sí mismos, pero no sobre los números reales R (el centro de C es todo C , no solo R ). Los cuaterniones H forman un CSA de 4 dimensiones sobre R y, de hecho, representan el único elemento no trivial del grupo de Brauer de los reales (ver más abajo).

Dadas dos álgebras centrales simples A ~ M ( n , S ) y B ~ M ( m , T ) sobre el mismo cuerpo F , A y B se denominan similares (o equivalentes de Brauer ) si sus anillos de división S y T son isomorfos. El conjunto de todas las clases de equivalencia de álgebras centrales simples sobre un cuerpo dado F , bajo esta relación de equivalencia, puede equiparse con una operación de grupo dada por el producto tensorial de álgebras . El grupo resultante se denomina grupo de Brauer Br( F ) del cuerpo F . ^[1] Siempre es un grupo de torsión . ^[2]

Propiedades

• Según el teorema de Artin-Wedderburn, un álgebra simple de dimensión finita A es isomorfa al álgebra matricial M ( n , S ) para algún anillo de división S . Por lo tanto, existe un álgebra de división única en cada clase de equivalencia de Brauer. ^[3]
• Todo automorfismo de un álgebra central simple es un automorfismo interno (esto se desprende del teorema de Skolem-Noether ).
• La dimensión de un álgebra central simple como un espacio vectorial sobre su centro es siempre un cuadrado: el grado es la raíz cuadrada de esta dimensión. ^[4] El índice de Schur de un álgebra central simple es el grado del álgebra de división equivalente: ^[5] depende únicamente de la clase Brauer del álgebra. ^[6]
• El periodo o exponente de un álgebra simple central es el orden de su clase de Brauer como elemento del grupo de Brauer. Es un divisor del índice, ^[7] y los dos números están compuestos por los mismos factores primos. ^{[8] [9] [10]}
• Si S es una subálgebra simple de un álgebra simple central A, entonces dim _F  S divide a dim _F  A.
• Toda álgebra central simple de 4 dimensiones sobre un cuerpo F es isomorfa a un álgebra de cuaterniones ; de hecho, es un álgebra matricial de dos por dos o un álgebra de división .
• Si D es un álgebra de división central sobre K para la cual el índice tiene factorización prima

${\displaystyle \mathrm {ind} (D)=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}\ }$

entonces D tiene una descomposición del producto tensorial

${\displaystyle D=\bigotimes _{i=1}^{r}D_{i}\ }$

donde cada componente D _i es un álgebra de división central de índice , y los componentes están determinados de forma única hasta el isomorfismo. ^[11] ${\displaystyle p_{i}^{m_{i}}}$

División de campo

Llamamos a un cuerpo E un cuerpo de desdoblamiento para A sobre K si A ⊗ E es isomorfo a un anillo de matrices sobre E . Todo CSA de dimensión finita tiene un cuerpo de desdoblamiento: de hecho, en el caso en que A es un álgebra de división, entonces un subcuerpo maximal de A es un cuerpo de desdoblamiento. En general, por los teoremas de Wedderburn y Koethe, hay un cuerpo de desdoblamiento que es una extensión separable de K de grado igual al índice de A , y este cuerpo de desdoblamiento es isomorfo a un subcuerpo de A . ^{[12] [13]} Como ejemplo, el cuerpo C desdobla el álgebra de cuaterniones H sobre R con

${\displaystyle t+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \leftrightarrow \left({\begin{array}{*{20}c}t+xi&y+zi\\-y+zi&t-xi\end{array}}\right).}$

Podemos usar la existencia del campo de desdoblamiento para definir la norma reducida y la traza reducida para un CSA A . ^[14] Mapeemos A a un anillo de matrices sobre un campo de desdoblamiento y definamos la norma reducida y la traza como el compuesto de este mapa con determinante y traza respectivamente. Por ejemplo, en el álgebra de cuaterniones H , el desdoblamiento anterior muestra que el elemento t + x i + y j + z k tiene norma reducida t ² + x ² + y ² + z ² y traza reducida 2 t .

La norma reducida es multiplicativa y la traza reducida es aditiva. Un elemento a de A es invertible si y solo si su norma reducida no es cero: por lo tanto, un CSA es un álgebra de división si y solo si la norma reducida no es cero en los elementos no cero. ^[15]

Generalización

Los CSA sobre un cuerpo K son un análogo no conmutativo de los cuerpos de extensión sobre K – en ambos casos, no tienen ideales bilaterales no triviales, y tienen un cuerpo distinguido en su centro, aunque un CSA puede ser no conmutativo y no necesita tener inversos (no necesita ser un álgebra de división ). Esto es de particular interés en la teoría de números no conmutativos como generalizaciones de cuerpos numéricos (extensiones de los racionales Q ); ver cuerpo numérico no conmutativo .

Véase también

• Álgebra de Azumaya , generalización de los CSA donde el cuerpo base se reemplaza por un anillo local conmutativo
• Variedad Severi-Brauer
• Teorema de Posner

Referencias

1. Lorenz (2008) pág. 159
2. Lorenz (2008) pág. 194
3. Lorenz (2008) pág. 160
4. Gille y Szamuely (2006) p.21
5. Lorenz (2008) pág. 163
6. Gille y Szamuely (2006) p.100
7. Jacobson (1996) pág.60
8. Jacobson (1996) pág. 61
9. Gille y Szamuely (2006) p.104
10. Cohn, Paul M. (2003). Álgebra adicional y aplicaciones. Springer-Verlag . pág. 208. ISBN 1852336676.
11. Gille y Szamuely (2006) p.105
12. Jacobson (1996) págs. 27-28
13. Gille y Szamuely (2006) p.101
14. Gille y Szamuely (2006) págs. 37-38
15. Gille y Szamuely (2006) p.38

• Cohn, PM (2003). Álgebra adicional y aplicaciones (2.ª ed.). Springer. ISBN 1852336676.Zbl1006.00001  .​
• Jacobson, Nathan (1996). Álgebras de división de dimensión finita sobre cuerpos. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2.Zbl 0874.16002  .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN. 0-8218-1095-2.MR  2104929.Zbl 1068.11023  .​
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con estructura, álgebras y temas avanzados. Springer. ISBN 978-0-387-72487-4.Zbl 1130.12001  .

Lectura adicional

• Albert, AA (1939). Estructura de las álgebras . Colloquium Publications. Vol. 24 (séptima edición revisada y reimpresa). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1024-3.Zbl 0023.19901  .
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras centrales simples y cohomología de Galois . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-86103-9.Zbl 1137.12001  .