Teorema de Wedderburn-Artin

Clasificación de anillos semisimples y álgebras

En álgebra , el teorema de Wedderburn-Artin es un teorema de clasificación para anillos semisimples y álgebras semisimples . El teorema establece que un anillo semisimple (artiniano) ^[a] R es isomorfo a un producto de un número finito de anillos matriciales n _i por _{n i} sobre anillos de división D _i , para algunos números enteros n _i , ambos determinados de forma única hasta la permutación del índice i . En particular, cualquier anillo artiniano simple izquierdo o derecho es isomorfo a un anillo matricial n por n sobre un anillo de división D , donde tanto n como D están determinados de forma única. ^[1]

Teorema

Sea R un anillo semisimple (artiniano) . Entonces, el teorema de Wedderburn-Artin establece que R es isomorfo a un producto de un número finito de anillos matriciales n _i por _n i sobre anillos de división D _i , para algunos números enteros n _i , ambos determinados de forma única hasta la permutación del índice i . ${\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})}$

También existe una versión del teorema de Wedderburn-Artin para álgebras sobre un cuerpo k . Si R es una k -álgebra semisimple de dimensión finita, entonces cada D _i en el enunciado anterior es un álgebra de división de dimensión finita sobre k . El centro de cada D _i no necesita ser k ; podría ser una extensión finita de k .

Nótese que si R es un álgebra simple de dimensión finita sobre un anillo de división E , D no necesita estar contenido en E . Por ejemplo, los anillos de matrices sobre los números complejos son álgebras simples de dimensión finita sobre los números reales .

Prueba

Existen varias pruebas del teorema de Wedderburn-Artin. ^{[2] [3]} Una prueba moderna común ^[4] adopta el siguiente enfoque.

Supóngase que el anillo es semisimple. Entonces el módulo derecho es isomorfo a una suma directa finita de módulos simples (que son los mismos que los ideales derechos mínimos de ). Escribe esta suma directa como ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{R}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R_{R}\;\cong \;\bigoplus _{i=1}^{m}I_{i}^{\oplus n_{i}}}$

donde los son módulos rectos simples no isomorfos entre sí , el i -ésimo aparece con multiplicidad . Esto da un isomorfismo de anillos de endomorfismo ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n_{i}}$

${\displaystyle \mathrm {End} (R_{R})\;\cong \;\bigoplus _{i=1}^{m}\mathrm {End} {\big (}I_{i}^{\oplus n_{i}}{\big )}}$

y podemos identificarnos con un anillo de matrices ${\displaystyle \mathrm {End} {\big (}I_{i}^{\oplus n_{i}}{\big )}}$

${\displaystyle \mathrm {End} {\big (}I_{i}^{\oplus n_{i}}{\big )}\;\cong \;M_{n_{i}}{\big (}\mathrm {End} (I_{i}){\big )}}$

donde el anillo de endomorfismo de es un anillo de división por el lema de Schur , porque es simple. Ya que concluimos ${\displaystyle \mathrm {End} (I_{i})}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle R\cong \mathrm {End} (R_{R})}$

${\displaystyle R\;\cong \;\bigoplus _{i=1}^{m}M_{n_{i}}{\big (}\mathrm {End} (I_{i}){\big )}\,.}$

Aquí usamos módulos derechos porque ; si usáramos módulos izquierdos sería isomorfo al álgebra opuesta de , pero la prueba seguiría adelante. Para ver esta prueba en un contexto más amplio, vea Descomposición de un módulo . Para la prueba de un caso especial importante, vea Anillo artiniano simple . ${\displaystyle R\cong \mathrm {End} (R_{R})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {End} ({}_{R}R)}$

Consecuencias

Dado que un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo es artiniana, el teorema de Wedderburn-Artin implica que toda álgebra simple de dimensión finita sobre un cuerpo es isomorfa a un anillo de matrices n por n sobre algún álgebra de división de dimensión finita D sobre , donde tanto n como D están determinados de forma única. ^[1] Esto fue demostrado por Joseph Wedderburn . Emil Artin luego generalizó este resultado al caso de anillos artinianos simples izquierdos o derechos . ${\displaystyle k}$

Dado que la única álgebra de división de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es el cuerpo mismo, el teorema de Wedderburn-Artin tiene fuertes consecuencias en este caso. Sea R un anillo semisimple que es un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado . Entonces R es un producto finito donde son números enteros positivos y es el álgebra de matrices sobre . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle M_{n_{i}}(k)}$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$ ${\displaystyle k}$

Además, el teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar álgebras simples centrales de dimensión finita sobre un cuerpo al problema de clasificar álgebras de división centrales de dimensión finita sobre : es decir, álgebras de división sobre cuyo centro es . Implica que cualquier álgebra simple central de dimensión finita sobre es isomorfa a un álgebra matricial donde es un álgebra de división central de dimensión finita sobre . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \textstyle M_{n}(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$

Véase también

• Teorema de Maschke
• Grupo Brauer
• Teorema de densidad de Jacobson
• Número hipercomplejo
• Emil Artin
• José Wedderburn

Notas

1. Según la definición utilizada aquí, los anillos semisimples son automáticamente anillos artinianos . Sin embargo, algunos autores usan "semisimple" de forma diferente, para significar que el anillo tiene un radical de Jacobson trivial . Para los anillos artinianos, las dos nociones son equivalentes, por lo que se incluye "artiniano" aquí para eliminar esa ambigüedad.

Citas

1. Beachy 1999
2. Henderson 1965
3. Nicholson 1993
4. Cohn 2003

Referencias

• Beachy, John A. (1999). Lecciones introductorias sobre anillos y módulos . Cambridge University Press. pág. 156. ISBN 978-0-521-64407-5.
• Cohn, PM (2003). Álgebra básica: grupos, anillos y cuerpos . Págs. 137-139.
• Henderson, DW (1965). "Una breve demostración del teorema de Wedderburn". The American Mathematical Monthly . 72 (4): 385–386. doi :10.2307/2313499. JSTOR  2313499.
• Nicholson, William K. (1993). "Una breve demostración del teorema de Wedderburn-Artin" (PDF) . New Zealand J. Math . 22 : 83–86.
• Wedderburn, JHM (1908). "Sobre números hipercomplejos". Actas de la London Mathematical Society . 6 : 77–118. doi :10.1112/plms/s2-6.1.77.
• Artín, E. (1927). "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 5 : 251–260. doi :10.1007/BF02952526. JFM  53.0114.03.