Problema de las moscas Schoen

Amplía el teorema de la curva de Jordan para caracterizar las regiones interior y exterior.

En matemáticas , el problema de Schoenflies o teorema de Schoenflies , de topología geométrica, es una agudización del teorema de la curva de Jordan de Arthur Schoenflies . Para las curvas de Jordan en el plano, a menudo se lo denomina teorema de Jordan-Schoenflies.

Formulación original

La formulación original del problema de Schoenflies establece que no sólo cada curva cerrada simple en el plano separa el plano en dos regiones, una (el "interior") limitada y la otra (el "exterior") ilimitada; pero también que estas dos regiones son homeomorfas con respecto al interior y al exterior de un círculo estándar en el plano.

Una afirmación alternativa es que si es una curva cerrada simple, entonces existe un homeomorfismo tal que es el círculo unitario en el plano. Se pueden encontrar pruebas elementales en Newman (1939), Cairns (1951), Moise (1977) y Thomassen (1992). El resultado puede demostrarse primero para polígonos cuando se puede considerar que el homeomorfismo es lineal por partes y que el mapa de identidad proviene de algún conjunto compacto; el caso de una curva continua se deduce luego aproximando por polígonos. El teorema es también una consecuencia inmediata del teorema de extensión de Carathéodory para asignaciones conformes , como se analiza en Pommerenke (1992, p. 25). ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f(C)}$

Si la curva es suave, entonces se puede elegir que el homeomorfismo sea un difeomorfismo . Las pruebas en este caso se basan en técnicas de topología diferencial . Aunque son posibles pruebas directas (a partir, por ejemplo, del caso poligonal), la existencia del difeomorfismo también se puede deducir utilizando el teorema de mapeo suave de Riemann para el interior y el exterior de la curva en combinación con el truco de Alexander para los difeomorfismos del círculo y un resultado en isotopía suave de topología diferencial. ^[1]

Un teorema de este tipo sólo es válido en dos dimensiones. En tres dimensiones existen contraejemplos como la esfera cornuda de Alejandro . Aunque separan el espacio en dos regiones, esas regiones están tan retorcidas y anudadas que no son homeomórficas con respecto al interior y al exterior de una esfera normal.

Pruebas del teorema de Jordan-Schoenflies

Para curvas suaves o poligonales, el teorema de la curva de Jordan se puede demostrar de forma sencilla. De hecho, la curva tiene una vecindad tubular , definida en el caso suave por el campo de vectores unitarios normales a la curva o en el caso poligonal por puntos a una distancia menor que ε de la curva. En la vecindad de un punto diferenciable de la curva, hay un cambio de coordenadas en el que la curva se convierte en el diámetro de un disco abierto. Tomando un punto que no está en la curva, una línea recta dirigida a la curva que comienza en el punto eventualmente encontrará la vecindad tubular; El camino puede continuar junto a la curva hasta encontrarse con el disco. Lo encontrará de un lado o del otro. Esto demuestra que el complemento de la curva tiene como máximo dos componentes conectados. Por otro lado, utilizando la fórmula integral de Cauchy para el número de devanado , se puede ver que el número de devanado es constante en los componentes conectados del complemento de la curva, es cero cerca del infinito y aumenta en 1 al cruzar la curva. Por tanto, la curva separa el plano exactamente en dos componentes, su "interior" y su "exterior", siendo este último ilimitado. El mismo argumento funciona para una curva de Jordan diferenciable por partes. ^[2]

curva poligonal

Dada una curva poligonal cerrada simple en el plano, el teorema de Jordan-Schoenflies lineal por tramos establece que existe un homeomorfismo lineal por tramos del plano, con soporte compacto, que lleva el polígono a un triángulo y lleva el interior y el exterior de uno al interior. y exterior del otro. ^[3]

El interior del polígono se puede triangular mediante pequeños triángulos, de modo que los bordes del polígono formen bordes de algunos de los pequeños triángulos. Los homeomorfismos lineales por partes se pueden formar a partir de homeomorfismos especiales obtenidos quitando un diamante del plano y tomando un mapa afín por partes, fijando los bordes del diamante, pero moviendo una diagonal en forma de V. Las composiciones de homeomorfismos de este tipo dan lugar a homeomorfismos lineales por partes de soporte compacto; fijan el exterior de un polígono y actúan de forma afín sobre una triangulación del interior. Un argumento inductivo simple muestra que siempre es posible eliminar un triángulo libre (uno cuya intersección con el límite es un conjunto conexo formado por una o dos aristas) dejando un polígono de Jordan cerrado simple. Los homeomorfismos especiales descritos anteriormente o sus inversos proporcionan homeomorfismos lineales por partes que llevan el interior del polígono más grande al polígono sin el triángulo libre. Al iterar este proceso se deduce que existe un homeomorfismo lineal por partes de soporte compacto que lleva el polígono original a un triángulo. ^[4]

Debido a que el homeomorfismo se obtiene componiendo muchos homeomorfismos finitos del plano de soporte compacto, se deduce que el homeomorfismo lineal por partes en el enunciado del teorema de Jordan-Schoenflies lineal por partes tiene soporte compacto.

Como corolario, se deduce que cualquier homeomorfismo entre curvas poligonales cerradas simples se extiende a un homeomorfismo entre sus interiores. ^[5] Para cada polígono hay un homeomorfismo de un triángulo dado en el cierre de su interior. Los tres homeomorfismos producen un único homeomorfismo del límite del triángulo. Mediante el truco de Alexander, este homeomorfismo se puede extender a un homeomorfismo de cierre del interior del triángulo. Al invertir este proceso, este homeomorfismo produce un homeomorfismo entre los cierres de los interiores de las curvas poligonales.

Curva continua

El teorema de Jordan-Schoenflies para curvas continuas se puede demostrar utilizando el teorema de Carathéodory sobre mapeo conforme . Afirma que el mapeo de Riemann entre el interior de una curva de Jordan simple y el disco unitario abierto se extiende continuamente hasta un homeomorfismo entre sus cierres, mapeando la curva de Jordan homeomórficamente en el círculo unitario. ^[6] Para demostrar el teorema, el teorema de Carathéodory se puede aplicar a las dos regiones de la esfera de Riemann definidas por la curva de Jordan. Esto dará como resultado homeomorfismos entre sus cierres y los discos cerrados. z | ≤ 1 y | z | ≥ 1. Los homeomorfismos de la curva de Jordan al círculo se diferenciarán por un homeomorfismo del círculo que puede extenderse al disco unitario (o su complemento) mediante el truco de Alexander . La composición con este homeomorfismo producirá un par de homeomorfismos que coinciden en la curva de Jordan y, por lo tanto, definen un homeomorfismo de la esfera de Riemann que lleva la curva de Jordan al círculo unitario.

El caso continuo también se puede deducir del caso poligonal aproximando la curva continua por un polígono. ^[7] El teorema de la curva de Jordan se deduce primero mediante este método. La curva de Jordan viene dada por una función continua en el círculo unitario. Éste y la función inversa desde su imagen hasta el círculo unitario son uniformemente continuos . Entonces, al dividir el círculo en intervalos suficientemente pequeños, hay puntos en la curva tales que los segmentos de línea que unen puntos adyacentes se encuentran cerca de la curva, digamos por ε. Juntos, estos segmentos de línea forman una curva poligonal. Si tiene autointersecciones, estas también deben crear bucles poligonales. Al borrar estos bucles, se obtiene una curva poligonal sin autointersecciones que aún se encuentra cerca de la curva; Es posible que algunos de sus vértices no se encuentren en la curva, pero todos se encuentran dentro de una vecindad de la curva. La curva poligonal divide el plano en dos regiones, una región acotada U y una región ilimitada V. Tanto U como V ∪ ∞ son imágenes continuas del disco unitario cerrado. Dado que la curva original está contenida dentro de una pequeña vecindad de la curva poligonal, la unión de las imágenes de discos abiertos concéntricos ligeramente más pequeños omite por completo la curva original y su unión excluye una pequeña vecindad de la curva. Una de las imágenes es un conjunto abierto acotado que consta de puntos alrededor de los cuales la curva tiene el sinuoso número uno; el otro es un conjunto abierto ilimitado que consta de puntos de número cero. Repetir para una secuencia de valores de ε que tienden a 0 conduce a una unión de conjuntos acotados de puntos del devanado número uno conectados por un camino abierto y una unión de conjuntos ilimitados del devanado número cero conectados por un camino abierto. Por construcción, estos dos conjuntos separados y conectados por caminos abiertos completan el complemento de la curva en el plano. ^[8]

Mosaico hexagonal del plano: si 2 hexágonos se encuentran deben tener una arista común

Un revestimiento de ladrillo estándar del avión.

Dado el teorema de la curva de Jordan, el teorema de Jordan-Schoenflies se puede demostrar de la siguiente manera. ^[9]

• El primer paso es mostrar que un conjunto denso de puntos de la curva son accesibles desde el interior de la curva, es decir, que están al final de un segmento de línea que se encuentra completamente en el interior de la curva. De hecho, un punto dado de la curva está arbitrariamente cerca de algún punto en el interior y hay un disco cerrado más pequeño alrededor de ese punto que cruza la curva sólo en su límite; esos puntos límite están cerca del punto original de la curva y, por construcción, son accesibles.
• El segundo paso es demostrar que dados un número finito de puntos accesibles Ai _en la curva conectada a segmentos de recta A _i B _i en su interior, hay curvas poligonales disjuntas en el interior con vértices en cada uno de los segmentos de recta tales que su distancia a la curva original es arbitrariamente pequeña. Esto requiere teselados del plano mediante mosaicos uniformemente pequeños de modo que si dos mosaicos se encuentran tienen un lado o un segmento de un lado en común: ejemplos son el mosaico hexagonal estándar ; o el alicatado estándar de albañilería mediante rectángulos o cuadrados con uniones comunes o tensadas. Basta construir una trayectoria poligonal de modo que su distancia a la curva de Jordan sea arbitrariamente pequeña. Oriente el mosaico de modo que ningún lado de las baldosas sea paralelo a ningún A _i B _i . El tamaño de las baldosas se puede tomar arbitrariamente pequeño. Tome la unión de todas las fichas cerradas que contengan al menos un punto de la curva de Jordan. Su límite está formado por curvas poligonales disjuntas. Si el tamaño de las losas es suficientemente pequeño, los puntos finales B _i estarán en el interior de exactamente una de las curvas límite poligonales. Su distancia a la curva de Jordan es menos del doble del diámetro de las baldosas, por lo que es arbitrariamente pequeña.
• El tercer paso es demostrar que cualquier homeomorfismo f entre la curva y un triángulo dado puede extenderse a un homeomorfismo entre los cierres de sus interiores. De hecho, tome una secuencia ε ₁ , ε ₂ , ε ₃ , ... decreciente a cero. Elija un número finito de puntos _Ai en la curva de Jordan Γ con puntos sucesivos separados por menos de ε ₁ . Realice la construcción del segundo paso con baldosas de diámetro menor que ε ₁ y tome C _i como los puntos de la curva poligonal Γ ₁ que corta a A _i B _i . Toma los puntos f ( A _i ) en el triángulo. Fije un origen en el triángulo Δ y escale el triángulo para obtener uno más pequeño Δ ₁ a una distancia menor que ε ₁ del triángulo original. Sean D _i los puntos en la intersección del radio que pasa por f ( A _i ) y el triángulo más pequeño. Hay un homeomorfismo lineal por partes F ₁ de la curva poligonal en el triángulo más pequeño que lleva C _i a D _i . Por el teorema de Jordan-Schoenflies se extiende a un homeomorfismo F ₁ entre el cierre de sus interiores. Ahora realice el mismo proceso para ε ₂ con un nuevo conjunto de puntos en la curva de Jordan. Esto producirá un segundo camino poligonal Γ ₂ entre Γ ₁ y Γ. Existe igualmente un segundo triángulo Δ ₂ entre Δ ₁ y Δ. Los segmentos de línea para los puntos accesibles en Γ dividen la región poligonal entre Γ ₂ y Γ ₁ en una unión de regiones poligonales; de manera similar, para los radios de los puntos correspondientes en Δ, divide la región entre Δ ₂ y Δ ₁ en una unión de regiones poligonales. El homeomorfismo F ₁ puede extenderse a homeomorfismos entre los diferentes polígonos, coincidiendo en aristas comunes (intervalos cerrados sobre segmentos de recta o radios). Según el teorema poligonal de Jordan-Schoenflies, cada uno de estos homeomorfismos se extiende al interior del polígono. Juntos producen un homeomorfismo F ₂ del cierre del interior de Γ ₂ sobre el cierre del interior de Δ ₂ ; F ₂ extiende F ₁. Continuando de esta manera se obtienen curvas poligonales Γ _n y triángulos Δ _n con un homomeomorfismo F _n entre los cierres de sus interiores; F _n extiende F _{n – 1} . Las regiones dentro de Γ _n aumentan hasta la región dentro de Γ; y los triángulos Δ _n aumentan a Δ. Los homeomorfismos F _n se unen para dar un homeomorfismo F desde el interior de Γ hacia el interior de Δ. Por construcción tiene límite f en las curvas límite Γ y Δ. Por tanto, F es el homeomorfismo requerido.
• El cuarto paso es demostrar que cualquier homeomorfismo entre curvas de Jordan puede extenderse a un homeomorfismo entre los cierres de sus interiores. Por el resultado del tercer paso, es suficiente mostrar que cualquier homeomorfismo del límite de un triángulo se extiende a un homeomorfismo de la clausura de su interior. Ésta es una consecuencia del truco de Alexander. (El truco de Alexander también establece un homeomorfismo entre el triángulo sólido y el disco cerrado: el homeomorfismo es simplemente la extensión radial natural de la proyección del triángulo sobre su circuncírculo con respecto a su circuncentro.)
• El paso final es demostrar que dadas dos curvas de Jordan existe un homeomorfismo del plano de soporte compacto que lleva una curva sobre la otra. De hecho, cada curva de Jordan se encuentra dentro del mismo círculo grande y en el interior de cada círculo grande hay radios que unen dos puntos diagonalmente opuestos a la curva. Cada configuración divide el plano en el exterior del círculo grande, el interior de la curva de Jordan y la región entre los dos en dos regiones delimitadas por curvas de Jordan (formadas por dos radios, un semicírculo y una de las mitades de la curva de Jordan). curva). Tomemos el homeomorfismo de identidad del círculo grande; homeomorfismos lineales por partes entre los dos pares de radios; y un homeomorfismo entre los dos pares de mitades de las curvas de Jordan dado por una reparametrización lineal. Los 4 homeomorfismos se unen en los arcos límite para producir un homeomorfismo del plano dado por la identidad del círculo grande y que lleva una curva de Jordan a la otra.

Curva suave

Las pruebas en el caso suave dependen de encontrar un difeomorfismo entre el interior/exterior de la curva y el disco unitario cerrado (o su complemento en el plano extendido). Esto se puede resolver, por ejemplo, utilizando el teorema de mapeo suave de Riemann , para el cual hay varios métodos directos disponibles, por ejemplo a través del problema de Dirichlet en la curva o los núcleos de Bergman . ^[10] (Tales difeomorfismos serán holomorfos en el interior y exterior de la curva; se pueden construir más fácilmente difeomorfismos más generales utilizando campos y flujos vectoriales). Considerando que la curva suave se encuentra dentro del plano extendido o de 2 esferas, estos difeomorfismos son holomorfos en el interior y exterior de la curva. Los métodos producen mapas suaves hasta el límite entre el cierre del interior/exterior de la curva suave y los del círculo unitario. Las dos identificaciones de la curva suave y el círculo unitario diferirán por un difeomorfismo del círculo unitario. Por otro lado, un difeomorfismo f del círculo unitario se puede extender a un difeomorfismo F del disco unitario mediante la extensión de Alexander :

${\displaystyle \displaystyle {F(re^{i\theta })=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}}$

donde ψ es una función suave con valores en [0,1], igual a 0 cerca de 0 y 1 cerca de 1, y f ( e ^{i θ} ) = e ^{ig (θ)} , con g (θ + 2π) = g (θ ) + 2π . Componer uno de los difeomorfismos con la extensión de Alexander permite unir los dos difeomorfismos para dar un homeomorfismo de la 2 esfera que se restringe a un difeomorfismo en el disco unitario cerrado y los cierres de su complemento que lleva al interior y al exterior. de la curva suave original. Según el teorema de isotopía en topología diferencial, ^[11] el homeomorfismo se puede ajustar a un difeomorfismo en toda la 2 esfera sin cambiarlo en el círculo unitario. Este difeomorfismo proporciona una solución sencilla al problema de Schoenflies.

El teorema de Jordan-Schoenflies se puede deducir utilizando topología diferencial . De hecho, es una consecuencia inmediata de la clasificación hasta el difeomorfismo de 2 variedades orientadas suaves con límite, como se describe en Hirsch (1994). De hecho, la curva suave divide las 2 esferas en dos partes. Según la clasificación, cada uno es difeomorfismo con respecto al disco unitario y, teniendo en cuenta el teorema de la isotopía, están unidos por un difeomorfismo del límite. Mediante el truco de Alexander, dicho difeomorfismo se extiende al propio disco. Por tanto, existe un difeomorfismo de las 2 esferas que llevan la curva suave al círculo unitario.

Por otro lado, el difeomorfismo también se puede construir directamente utilizando el teorema de Jordan-Schoenflies para polígonos y métodos elementales de topología diferencial, es decir, flujos definidos por campos vectoriales. ^[12] Cuando la curva de Jordan es suave (parametrizada por la longitud del arco), los vectores normales unitarios dan un campo vectorial que no desaparece X ₀ en una vecindad tubular U ₀ de la curva. Tome una curva poligonal en el interior de la curva cerca del límite y transversal a la curva (en los vértices el campo vectorial debe estar estrictamente dentro del ángulo formado por los bordes). Según el teorema de Jordan-Schoenflies lineal por partes, existe un homeomorfismo lineal por partes, afín a una triangulación apropiada del interior del polígono, que lleva el polígono a un triángulo. Tome un punto interior P en uno de los pequeños triángulos de la triangulación. Corresponde a un punto Q en el triángulo de la imagen. Hay un campo vectorial radial en el triángulo de la imagen, formado por líneas rectas que apuntan hacia Q. Esto da una serie de líneas en los pequeños triángulos que forman el polígono. Cada uno define un campo vectorial X _i en una vecindad U _i del cierre del triángulo. Cada campo vectorial es transversal a los lados, siempre que Q se elija en "posición general" de modo que no sea colineal con ninguna de las finitas aristas de la triangulación. Traduciendo si es necesario, se puede suponer que P y Q están en el origen 0. En el triángulo que contiene a P, el campo vectorial puede considerarse como el campo vectorial radial estándar. De manera similar, se puede aplicar el mismo procedimiento al exterior de la curva suave, después de aplicar la transformación de Möbius para mapearla en la parte finita del plano y ∞ a 0. En este caso las vecindades U _i de los triángulos tienen índices negativos. Tome los campos vectoriales X _i con signo negativo, apuntando en dirección opuesta al punto del infinito. Juntos U ₀ y U _i con i ≠ 0 forman una cubierta abierta de la 2-esfera. Tome una partición suave de la unidad ψ _i subordinada a la cubierta U _i y establezca

${\displaystyle \displaystyle {X=\sum \psi _{i}\cdot X_{i}.}}$

X es un campo vectorial suave en las dos esferas que desaparece solo en 0 y ∞. Tiene índice 1 en 0 y -1 en ∞. Cerca de 0, el campo vectorial es igual al campo vectorial radial que apunta hacia 0. Si α _t es el flujo suave definido por X , el punto 0 es un punto de atracción y ∞ un punto repelente. Cuando t tiende a +∞, el envío de flujo apunta a 0; mientras que cuando t tiende a –∞ los puntos se envían a ∞. Reemplazar X por f ⋅ X con f una función positiva suave, cambia la parametrización de las curvas integrales de X , pero no las curvas integrales mismas. Para una elección apropiada de f igual a 1 fuera de un anillo pequeño cerca de 0, las curvas integrales que comienzan en puntos de la curva suave alcanzarán un círculo más pequeño que limita el anillo al mismo tiempo s . Por lo tanto, el difeomorfismo α _s lleva la curva suave a este pequeño círculo. Una transformación de escala, fijando 0 y ∞, luego lleva el círculo pequeño al círculo unitario. Al componer estos difeomorfismos se obtiene un difeomorfismo que lleva la curva suave al círculo unitario.

Generalizaciones

Existe una generalización de dimensiones superiores debida a Morton Brown  (1960) e independientemente a Barry Mazur  (1959) con Morse (1960), que también se denomina teorema de Schoenflies generalizado . Afirma que, si una esfera S ( n  − 1) dimensional está incrustada en la esfera n -dimensional S ⁿ de una manera localmente plana (es decir, la incrustación se extiende a la de una esfera engrosada), entonces el par ( S ⁿ ,  S ) es homeomorfo al par ( S ⁿ , S ^{n −1} ), donde S ^{n −1} es el ecuador de la n -esfera. Brown y Mazur recibieron el Premio Veblen por sus contribuciones. Tanto la prueba de Brown como la de Mazur se consideran "elementales" y utilizan argumentos inductivos.

 El problema de Schoenflies se puede plantear en categorías distintas a la categoría topológicamente localmente plana, es decir, ¿una esfera ( n − 1 ) incrustada suavemente (linealmente por partes) en la n -esfera une una n -bola suave (lineal por partes) ? Para n  = 4, el problema sigue abierto para ambas categorías. Véase colector Mazur . Para n  ≥ 5, la pregunta en la categoría suave tiene una respuesta afirmativa y se deriva del teorema del h-cobordismo .

Notas

1. Ver:
   • Hirsch 1994
   • Shastri 2011
   • Napier y Ramachandran 2011
   • Taylor 2011
   • Kerzman 1977
   • Bell y Krantz 1987
   • Campana 1992
2. Katok y Climanhaga 2008
3. Ver:
   • Moisés 1977
   • Bing 1983
4. Moise 1977, págs. 26-29
5. Bing 1983, pag. 29
6. Ver:
   • Carathéodory 1913
   • Goluzin 1969, pág. 44
   • Pommerenke 1975
7. Ver:
   • Moisés 1977
   • Bing 1983
8. Ver:
   • Bing 1983
   • Katok y Climenhaga 2008, Conferencia 36
9. Bing y 1983, págs. 29-32
10. Ver:
    • Napier y Ramachandran 2011
    • Taylor 2011
    • Kerzman 1977
    • Bell y Krantz 1987
    • Campana 1992
11. Ver:
    • Hirsch 1994, pág. 182, Teorema 1.9
    • Shastri 2011, pág. 173, Teorema 6.4.3
12. Ver:
    • Mujer 1961
    • milnor 1965
    • Hirsch 1994
    • Shastri 2011
    • Matsumoto 2002
    • Nicolascu 2011

Referencias

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