Esfera exótica

Colector suave que es homeomorfo pero no difeomorfo a una esfera.

En un área de las matemáticas llamada topología diferencial , una esfera exótica es una variedad diferenciable M que es homeomorfa pero no difeomorfa con respecto a la n -esfera euclidiana estándar . Es decir, M es una esfera desde el punto de vista de todas sus propiedades topológicas, pero tiene una estructura suave que no es la familiar (de ahí el nombre de "exótica").

Las primeras esferas exóticas fueron construidas por John Milnor  (1956) en dimensiones como - haces sobre . Demostró que hay al menos 7 estructuras diferenciables en las 7 esferas. En cualquier dimensión, Milnor (1959) demostró que las clases de difeomorfismo de esferas exóticas orientadas forman los elementos no triviales de un monoide abeliano bajo suma conectada, que es un grupo abeliano finito si la dimensión no es 4. La clasificación de esferas exóticas de Michel Kervaire y Milnor (1963) demostraron que las 7 esferas exóticas orientadas son los elementos no triviales de un grupo cíclico de orden 28 bajo la operación de suma conexa . ${\displaystyle n=7}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{4}}$

De manera más general, en cualquier dimensión n ≠ 4 , hay un grupo abeliano finito cuyos elementos son las clases de equivalencia de estructuras suaves en S ⁿ , donde dos estructuras se consideran equivalentes si hay una orientación que preserva el difeomorfismo que lleva una estructura a la otra. La operación de grupo se define por [x] + [y] = [x + y], donde x e y son representantes arbitrarios de sus clases de equivalencia, y x + y denota la estructura suave en el S ⁿ suave que es la suma conectada de x e y. Es necesario demostrar que tal definición no depende de las elecciones realizadas; de hecho, esto se puede demostrar.

Introducción

La unidad n -esfera, , es el conjunto de todas las ( n +1 ) -tuplas de números reales, tales que la suma . Por ejemplo, es un círculo, mientras que es la superficie de una bola ordinaria de radio uno en 3 dimensiones. Los topólogos consideran que un espacio X es una n -esfera si hay un homeomorfismo entre ellos, es decir, cada punto en X puede asignarse exactamente a un punto en la unidad n -esfera mediante una biyección continua con inversa continua. Por ejemplo, un punto x en una n -esfera de radio r se puede hacer coincidir homeomórficamente con un punto en la unidad n -esfera multiplicando su distancia desde el origen por . De manera similar, un n -cubo de cualquier radio es homeomorfo a un n -esfera. ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle 1/r}$

En topología diferencial , dos variedades suaves se consideran suavemente equivalentes si existe un difeomorfismo entre una y otra, que es un homeomorfismo entre ellas, con la condición adicional de que sea suave , es decir, debe tener derivadas de todos los órdenes. sus puntos, y su homeomorfismo inverso también deben ser suaves. Para calcular derivadas, es necesario tener sistemas de coordenadas locales definidos de forma consistente en X. Los matemáticos (incluido el propio Milnor) se sorprendieron en 1956 cuando Milnor demostró que se podían establecer sistemas de coordenadas locales consistentes en la séptima esfera de dos maneras diferentes que eran equivalentes en el sentido continuo, pero no en el sentido diferenciable. Milnor y otros se propusieron intentar descubrir cuántas esferas exóticas de este tipo podrían existir en cada dimensión y comprender cómo se relacionan entre sí. No son posibles estructuras exóticas en las esferas 1, 2, 3, 5, 6, 12, 56 o 61. ^[1] Algunas esferas de dimensiones superiores tienen sólo dos estructuras diferenciables posibles, otras tienen miles. Si existen 4 esferas exóticas y, en caso afirmativo, cuántas, es un problema sin resolver .

Clasificación

El monoide de estructuras suaves en n -esferas es la colección de n -colectores suaves orientados que son homeomorfos a la n -esfera, llevados al difeomorfismo que preserva la orientación. La operación monoide es la suma conexa . Siempre que , este monoide sea un grupo y sea isomorfo al grupo de h -clases de cobordismo de homotopía orientada n -esferas , que es finito y abeliano. En la dimensión 4 casi no se sabe nada sobre el monoide de esferas lisas, más allá de que es finito o contablemente infinito, y abeliano, aunque se sospecha que es infinito; consulte la sección sobre giros de Gluck. Todas las n -esferas de homotopía son homeomorfas a la n -esfera según la conjetura generalizada de Poincaré , demostrada por Stephen Smale en dimensiones mayores que 4, Michael Freedman en la dimensión 4 y Grigori Perelman en la dimensión 3. En la dimensión 3, Edwin E. Moise demostró que cada variedad topológica tiene una estructura suave esencialmente única (ver teorema de Moise ), por lo que el monoide de estructuras suaves en las 3 esferas es trivial. ${\displaystyle n\neq 4}$ ${\displaystyle \Theta _{n}}$

Colectores paralelizables

El grupo tiene un subgrupo cíclico. ${\displaystyle \Theta _{n}}$

${\displaystyle bP_{n+1}}$

representado por n -esferas que unen variedades paralelizables . Las estructuras de y el cociente. ${\displaystyle bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

se describen por separado en el artículo ( Kervaire y Milnor  1963), que influyó en el desarrollo de la teoría de la cirugía . De hecho, estos cálculos se pueden formular en un lenguaje moderno en términos de la secuencia exacta de la cirugía como se indica aquí .

El grupo es un grupo cíclico y es trivial o de orden 2 excepto en el caso , en cuyo caso puede ser grande, con su orden relacionado con los números de Bernoulli . Es trivial si n es par. Si n es 1 mod 4 tiene orden 1 o 2; en particular tiene orden 1 si n es 1, 5, 13, 29 o 61, y William Browder  (1969) demostró que tiene orden 2 si mod 4 no es de la forma . Del problema del invariante de Kervaire, ahora casi completamente resuelto, se deduce que tiene orden 2 para todo n mayor que 126; el caso sigue abierto. El orden de para es ${\displaystyle bP_{n+1}}$ ${\displaystyle n=4k+3}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle 2^{k}-3}$ ${\displaystyle n=126}$ ${\displaystyle bP_{4k}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle 2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,}$

donde B es el numerador de y es un número de Bernoulli . (La fórmula en la literatura topológica difiere ligeramente porque los topólogos usan una convención diferente para nombrar los números de Bernoulli; este artículo usa la convención de los teóricos de números). ${\displaystyle 4B_{2k}/k}$ ${\displaystyle B_{2k}}$

Mapa entre cocientes

El grupo cociente tiene una descripción en términos de grupos homotópicos estables de esferas módulo la imagen del homomorfismo J ; es igual al cociente o al índice 2. Más precisamente, hay un mapa inyectivo ${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,}$

donde es el n- ésimo grupo de esferas de homotopía estable, y J es la imagen del J -homomorfismo. Al igual que con , la imagen de J es un grupo cíclico y es trivial o de orden 2 excepto en el caso , en cuyo caso puede ser grande, con su orden relacionado con los números de Bernoulli . El grupo cociente es la parte "dura" de los grupos de esferas de homotopía estable y, en consecuencia, es la parte difícil de las esferas exóticas, pero se reduce casi por completo a calcular grupos de esferas de homotopía. El mapa es un isomorfismo (la imagen es el grupo completo) o un mapa inyectivo con índice 2. Este último es el caso si y sólo si existe una variedad enmarcada de n dimensiones con invariante de Kervaire 1, que se conoce como Problema del invariante de Kervaire . Por tanto, un factor de 2 en la clasificación de esferas exóticas depende del problema del invariante de Kervaire. ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ ${\displaystyle bP_{n+1}}$ ${\displaystyle n=4k+3}$ ${\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}$ ${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

El problema del invariante de Kervaire está casi completamente resuelto y sólo queda abierto el caso. Este es principalmente el trabajo de Browder (1969), que demostró que tales variedades solo existían en dimensión , y Hill, Hopkins y Ravenel (2016), que demostró que no existían tales variedades para dimensión y superiores. Se han construido variedades con invariante Kervaire 1 en las dimensiones 2, 6, 14, 30 y 62, pero la dimensión 126 está abierta y no se ha construido ni refutado ninguna variedad. ${\displaystyle n=126}$ ${\displaystyle n=2^{j}-2}$ ${\displaystyle 254=2^{8}-2}$

Orden de Θnorte

El orden del grupo se da en esta tabla (secuencia A001676 en la OEIS ) de (Kervaire & Milnor 1963) (excepto que la entrada para es incorrecta por un factor de 2 en su artículo; ver la corrección en el volumen III p. 97 de las obras completas de Milnor). ${\displaystyle \Theta _{n}}$ ${\displaystyle n=19}$

Tenga en cuenta que para atenuar , entonces son , , y . Se pueden calcular más entradas en esta tabla a partir de la información anterior junto con la tabla de grupos de esferas de homotopía estable . ${\displaystyle n=4k-1}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)}$ ${\displaystyle 992=2^{5}(2^{5}-1)}$ ${\displaystyle 16256=2^{7}(2^{7}-1)}$ ${\displaystyle 523264=2^{10}(2^{9}-1)}$

Mediante cálculos de grupos de esferas de homotopía estable, Wang y Xu (2017) demuestran que la esfera S ⁶¹ tiene una estructura suave única y que es la última esfera de dimensiones impares con esta propiedad; las únicas son S ¹ , S ^3. , S ⁵ y S ⁶¹ .

Ejemplos explícitos de esferas exóticas.

Cuando me encontré con un ejemplo así a mediados de los años 50, quedé muy desconcertado y no supe qué hacer con él. Al principio pensé que había encontrado un contraejemplo a la conjetura generalizada de Poincaré en la dimensión siete. Pero un estudio cuidadoso demostró que la variedad realmente era homeomorfa . Por tanto, existe una estructura diferenciable y no difeomorfa de la estándar. ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{7}}$

John Milnor (2009, p.12)

La construcción de Milnor.

Uno de los primeros ejemplos de esfera exótica encontrados por Milnor (1956, sección 3) fue el siguiente. Sea la bola unitaria en y sea su límite , una 3 esferas que identificamos con el grupo de cuaterniones unitarios . Ahora tome dos copias de , cada una con un límite , y péguelas identificando el primer límite con el segundo límite. La variedad resultante tiene una estructura suave natural y es homeomorfa , pero no difeomorfa . Milnor demostró que no es el límite de ninguna variedad 8 suave con un cuarto número de Betti que desaparece, y no tiene difeomorfismo de inversión de orientación consigo mismo; cualquiera de estas propiedades implica que no es una 7 esferas estándar. Milnor demostró que esta variedad tiene una función Morse con sólo dos puntos críticos , ambos no degenerados, lo que implica que topológicamente es una esfera. ${\displaystyle B^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle B^{4}\times S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,a^{2}ba^{-1})}$ ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{7}}$

Esferas de Brieskorn

Como lo muestra Egbert Brieskorn  (1966, 1966b) (ver también (Hirzebruch & Mayer 1968)) la intersección de la variedad compleja de puntos que satisfacen ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\ }$

con una pequeña esfera alrededor del origen da las 28 posibles estructuras suaves en las 7 esferas orientadas. Las variedades similares se denominan esferas de Brieskorn . ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,28}$

Esferas retorcidas

Dado un difeomorfismo (que preserva la orientación) , al pegar los límites de dos copias del disco estándar mediante f se obtiene una variedad llamada esfera torcida (con torsión f ). Es una homotopía equivalente a la n -esfera estándar porque el mapa de pegado es homotópico a la identidad (siendo un difeomorfismo que preserva la orientación, por lo tanto, grado 1), pero no en general difeomorfo a la esfera estándar. (Milnor 1959b) Si se establece como el grupo de n -esferas retorcidas (bajo suma conectada), se obtiene la secuencia exacta ${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}}$ ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$

${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to \Gamma _{n}\to 0.}$

Porque , cada n -esfera exótica es difeomorfa a una esfera retorcida, un resultado demostrado por Stephen Smale que puede verse como una consecuencia del teorema del h -cobordismo . (Por el contrario, en la configuración lineal por partes, el mapa más a la izquierda se encuentra a través de una extensión radial : cada esfera retorcida linealmente por partes es estándar). El grupo de esferas retorcidas siempre es isomorfo al grupo . Las notaciones son diferentes porque al principio no se sabía que eran las mismas para o 4; por ejemplo, el caso equivale a la conjetura de Poincaré . ${\displaystyle n>5}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ ${\displaystyle \Theta _{n}}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=3}$

En 1970, Jean Cerf demostró el teorema de la pseudoisotopía que implica que es el grupo trivial proporcionado , y así proporcionado . ${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})}$ ${\displaystyle n\geq 6}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})}$ ${\displaystyle n\geq 6}$

Aplicaciones

Si M es una variedad lineal por partes, entonces el problema de encontrar estructuras suaves compatibles en M depende del conocimiento de los grupos Γ _k = Θ _k . Más precisamente, los obstáculos a la existencia de cualquier estructura suave se encuentran en los grupos H _k+1 ( M , Γ _k ) para varios valores de k , mientras que si existe una estructura suave, entonces todas esas estructuras suaves se pueden clasificar usando los grupos H _k ( METRO , Γ _k ) . En particular, los grupos Γ _k desaparecen si k < 7 , por lo que todas las variedades PL de dimensión como máximo 7 tienen una estructura suave, que es esencialmente única si la variedad tiene dimensión como máximo 6.

Los siguientes grupos abelianos finitos son esencialmente iguales:

• El grupo Θ _n de clases de h-cobordismo de homotopía orientada n -esferas.
• El grupo de clases de h-cobordismo de n -esferas orientadas.
• El grupo Γ _n de n -esferas orientadas retorcidas .
• El grupo de homotopía π _n (PL/DIFF)
• Si n ≠ 3 , el grupo de homotopía π _n (TOP/DIFF) (si n = 3 este grupo tiene orden 2; ver invariante de Kirby-Siebenmann ).
• El grupo de estructuras lisas de una PL n -esfera orientada.
• Si n ≠ 4 , el grupo de estructuras suaves de una n -esfera topológica orientada.
• Si n ≠ 5 , el grupo de componentes del grupo de todos los difeomorfismos que preservan la orientación de S ^{n −1} .

Esferas exóticas de 4 dimensiones y giros de Gluck.

En 4 dimensiones no se sabe si hay estructuras lisas exóticas en las 4 esferas. La afirmación de que no existen se conoce como la "conjetura suave de Poincaré" y es discutida por Michael Freedman , Robert Gompf y Scott Morrison et al. (2010) quienes dicen que se cree que es falso.

Algunos candidatos propuestos para 4 esferas exóticas son las esferas de Cappell-Shaneson ( Sylvain Cappell y Julius Shaneson  (1976)) y las derivadas de giros de Gluck (Gluck 1962). Las esferas de torsión de Gluck se construyen cortando una vecindad tubular de una S de 2 esferas en S ⁴ y pegándola nuevamente usando un difeomorfismo de su límite S ² × S ¹ . El resultado es siempre homeomorfo a S ⁴ . A lo largo de los años, se descartaron muchos casos como posibles contraejemplos de la suave conjetura de Poincaré en 4 dimensiones. Por ejemplo, Cameron Gordon  (1976), José Montesinos (1983), Steven P. Plotnick (1984), Gompf (1991), Habiro, Marumoto & Yamada (2000), Selman Akbulut  (2010), Gompf (2010), Kim & Yamada (2017).

Ver también

• esfera de milnor
• Atlas (topología)
• Construcción de embrague
• Exótico R ⁴
• Teoría de Cerf
• Espacio de siete dimensiones

Referencias

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• Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Esfera de Milnor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

enlaces externos

• Esferas exóticas en el Atlas múltiple
• Página de inicio de la esfera exótica en la página de inicio de Andrew Ranicki. Material de origen variado relacionado con esferas exóticas.
• Una animación de 7 esferas exóticas. Vídeo de una presentación de Niles Johnson en la Segunda Conferencia Abel en honor a John Milnor .
• La construcción de Gluck en el Atlas múltiple