En topología , una rama de las matemáticas , la planitud local es una condición de suavidad que se puede imponer a subvariedades topológicas . En la categoría de variedades topológicas, las subvariedades localmente planas desempeñan un papel similar al de las subvariedades incrustadas en la categoría de variedades suaves . Las violaciones de la planitud local describen redes de crestas y estructuras arrugadas , con aplicaciones en el procesamiento de materiales y la ingeniería mecánica .
Supongamos que una variedad N de d dimensiones está incrustada en una variedad M de n dimensiones (donde d < n ). Si decimos que N es localmente plano en x si hay una vecindad de x tal que el par topológico es homeomorfo al par , con la inclusión estándar de Es decir, existe un homeomorfismo tal que la imagen de coincide con . En términos esquemáticos, el siguiente cuadrado debe conmutar :
Llamamos a N localmente plano en M si N es localmente plano en todos los puntos. De manera similar, un mapa se llama localmente plano , incluso si no es una incrustación, si cada x en N tiene una vecindad U cuya imagen es localmente plana en M.
La definición anterior supone que, si M tiene un límite , x no es un punto límite de M. Si x es un punto en el límite de M , entonces la definición se modifica de la siguiente manera. Decimos que N es localmente plano en un punto límite x de M si existe una vecindad de x tal que el par topológico sea homeomorfo al par , donde es un semiespacio estándar y se incluye como un subespacio estándar de su límite.
La planitud local de una incrustación implica propiedades fuertes que no comparten todas las incrustaciones. Brown (1962) demostró que si d = n − 1, entonces N tiene collar; es decir, tiene una vecindad que es homeomorfa a N × [0,1] y el propio N corresponde a N × 1/2 (si N está en el interior de M ) o N × 0 (si N está en el límite de M ).
